Тема 4

Законы сохранения

Что проверяют по спецификации:

Импульс тела и импульс силыЗакон сохранения импульса, реактивное движениеМеханическая работа и мощностьКинетическая и потенциальная энергияЗакон сохранения механической энергииУпругий и неупругий ударКПД

Суть за минуту

Законы сохранения позволяют решать задачи, не разбираясь в деталях взаимодействия. В замкнутой системе сохраняется суммарный импульс, а при отсутствии трения — и механическая энергия. С их помощью описывают удары, выстрелы, реактивное движение, полёт на качелях и работу любых машин. Работа силы связывает их: работа равна изменению энергии.

Главные формулы

p⃗=mv⃗,F⃗Δt=Δp⃗\vec p=m\vec v,\quad \vec F\Delta t=\Delta\vec p
Импульс тела и импульс силы
m1v⃗1+m2v⃗2=m1v⃗1 ′+m2v⃗2 ′m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec v_1^{\,\prime}+m_2\vec v_2^{\,\prime}
Закон сохранения импульса
A=Fscos⁡αA=Fs\cos\alpha
Механическая работа
N=At=FvN=\dfrac{A}{t}=Fv
Мощность
Ek=mv22,Ep=mgh,Ep=kx22E_k=\dfrac{mv^2}{2},\quad E_p=mgh,\quad E_p=\dfrac{kx^2}{2}
Кинетическая и потенциальная энергия
Ek+Ep=constE_k+E_p=\text{const}
Закон сохранения механической энергии
A=ΔEkA=\Delta E_k
Теорема о кинетической энергии
v=m1v1+m2v2m1+m2v=\dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}
Скорость после абсолютно неупругого удара

Понятия и термины

Импульс
Векторная величина, равная произведению массы на скорость, кг·м/с
Замкнутая система
Система тел, на которую не действуют внешние силы (или их сумма равна нулю)
Реактивное движение
Движение за счёт отделения части массы с некоторой скоростью (ракеты, кальмары)
Работа
Скалярная величина, мера действия силы на пути; джоуль (Дж)
Мощность
Работа в единицу времени; ватт (Вт)
Упругий удар
Удар, при котором сохраняются и импульс, и кинетическая энергия
Неупругий удар
Удар, после которого тела движутся вместе; часть энергии переходит в тепло

Разбор темы

Импульс и закон его сохранения

Изменение импульса тела равно импульсу силы: FΔt=ΔpF\Delta t=\Delta p. Поэтому при мягком приземлении (большое Δt\Delta t) сила удара меньше.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов не меняется при любых взаимодействиях внутри неё.

Импульс — вектор: при отскоке мяча от стены со скоростью vv изменение импульса равно 2mv2mv, а не нулю.

Реактивное движение

Ракета выбрасывает газы назад и получает импульс вперёд: Mv=mгuMv=m_{\text{г}}u.

К. Э. Циолковский — основоположник теории ракет; С. П. Королёв — создатель первых космических ракет.

Казахстан: космодром Байконур — отсюда запущены первый искусственный спутник (1957), первый человек в космосе Ю. А. Гагарин (1961). Первый космонавт-казах — Токтар Аубакиров (1991), также летал Талгат Мусабаев.

Работа и мощность

Работа положительна, если сила направлена по движению (α<90∘\alpha<90^\circ), отрицательна — против (сила трения), равна нулю при α=90∘\alpha=90^\circ (сила тяжести при горизонтальном движении, центростремительная сила).

Работу можно найти графически — как площадь под графиком F(s).

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории: A=mg(h1−h2)A=mg(h_1-h_2). Работа силы упругости: A=kx122−kx222A=\dfrac{k x_1^2}{2}-\dfrac{k x_2^2}{2}.

1 кВт·ч = 3,6 · 10⁶ Дж. Лошадиная сила ≈ 736 Вт.

Энергия и её сохранение

Кинетическая энергия — энергия движения, потенциальная — энергия взаимодействия (поднятое тело, сжатая пружина).

Если нет трения и сопротивления, полная механическая энергия сохраняется: падающее тело теряет потенциальную энергию и столько же приобретает кинетической.

При наличии трения механическая энергия убывает, превращаясь во внутреннюю (нагрев). Полная энергия при этом сохраняется — это общий закон природы.

Удары

Абсолютно неупругий удар: тела слипаются, сохраняется импульс, кинетическая энергия частично переходит в тепло.

Абсолютно упругий удар: сохраняются импульс и кинетическая энергия. При лобовом упругом ударе одинаковых шаров они обмениваются скоростями (бильярд).

Задачи на удар решают законом сохранения импульса, затем проверяют энергию.

КПД

η=AполAзатр=NполNзатр\eta=\dfrac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}=\dfrac{N_{\text{пол}}}{N_{\text{затр}}}, всегда меньше 1.

Для подъёмного крана полезная работа — mgh, затраченная — работа двигателя.

Примеры задач с решением

Задача 1Тележка массой 2 кг, движущаяся со скоростью 3 м/с, сцепляется с неподвижной тележкой массой 1 кг. Найдите скорость после сцепки и потерю кинетической энергии.
  1. v=2⋅32+1=2v=\dfrac{2\cdot3}{2+1}=2 м/с.
  2. До удара Ek=2⋅92=9E_k=\dfrac{2\cdot9}{2}=9 Дж, после — 3⋅42=6\dfrac{3\cdot4}{2}=6 Дж.
  3. Потеря: 9 − 6 = 3 Дж (перешли в тепло).
Ответ 2 м/с; 3 Дж
Задача 2Тело свободно падает с высоты 20 м. Какова его скорость у земли?
  1. mgh=mv22mgh=\dfrac{mv^2}{2}, v=2gh=400=20v=\sqrt{2gh}=\sqrt{400}=20 м/с.
Ответ 20 м/с
Задача 3Подъёмник поднимает груз массой 50 кг на высоту 10 м за 10 с. Какую работу совершает и какова мощность?
  1. A=mgh=50⋅10⋅10=5000A=mgh=50\cdot10\cdot10=5000 Дж.
  2. N=At=500N=\dfrac{A}{t}=500 Вт.
Ответ 5 кДж; 500 Вт
Задача 4Пружину пистолета жёсткостью 400 Н/м сжали на 5 см. С какой скоростью вылетит шарик массой 10 г?
  1. Ep=kx22=400⋅0,00252=0,5E_p=\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{400\cdot0{,}0025}{2}=0{,}5 Дж.
  2. v=2Em=10,01=10v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}01}}=10 м/с.
Ответ 10 м/с

Частые ловушки на ЕНТ

  • Импульс — вектор: при отскоке изменение импульса 2mv.
  • При неупругом ударе кинетическая энергия не сохраняется, а импульс сохраняется.
  • Работа силы тяжести не зависит от траектории.
  • Работа силы, перпендикулярной перемещению, равна нулю.
  • Энергию пружины считают по квадрату деформации: при вдвое большем сжатии энергия в 4 раза больше.

Запомнить

Импульс сохраняется всегда в замкнутой системе, энергия — без трения. A = Fs cos α, N = A/t, Ek = mv²/2, Ep = mgh = kx²/2.

Проверь себя

1. Единица импульса:
  1. Н
  2. Дж
  3. кг·м/с
  4. Вт
Показать ответ

кг·м/с p = mv.

2. Скорость тела увеличилась в 2 раза. Кинетическая энергия:
  1. Увеличилась в 2 раза
  2. Увеличилась в 4 раза
  3. Не изменилась
  4. Уменьшилась
Показать ответ

Увеличилась в 4 раза Ek ~ v².

3. Работа силы тяжести при движении тела по горизонтали равна:
  1. mgs
  2. 0
  3. mgh
  4. Fs
Показать ответ

0 Сила перпендикулярна перемещению.

4. Кто основоположник теории ракетного движения?
  1. С. П. Королёв
  2. К. Э. Циолковский
  3. И. Ньютон
  4. Ю. А. Гагарин
Показать ответ

К. Э. Циолковский Константин Эдуардович Циолковский.

5. При абсолютно упругом ударе сохраняется:
  1. Только импульс
  2. Только энергия
  3. Импульс и кинетическая энергия
  4. Ничего
Показать ответ

Импульс и кинетическая энергия Это определение упругого удара.

Связанные темы

1. Кинематика2. Динамика15. Механические колебания

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ