Кинематика

Разбор темы

Механическое движение и система отсчёта

Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Движение относительно: пассажир неподвижен относительно вагона, но движется относительно перрона.

Чтобы описать движение, выбирают систему отсчёта. Тело считают материальной точкой, если его размеры малы по сравнению с расстояниями (Земля при движении вокруг Солнца).

Физические величины записывают в единицах СИ: длина — метр, масса — килограмм, время — секунда. Приставки: к = 10³, М = 10⁶, м = 10⁻³, мк = 10⁻⁶, н = 10⁻⁹. Перевод: 72 км/ч = 72 · 1000 / 3600 = 20 м/с.

Векторы и проекции

Векторы складывают по правилу треугольника или параллелограмма. Проекция вектора на ось: $a_x=a\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором и осью; проекция положительна, если вектор направлен по оси.

Путь всегда не меньше модуля перемещения: если тело прошло круг и вернулось, путь равен длине окружности, а перемещение — нулю.

Равномерное прямолинейное движение

Тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения: $x=x_0+v_xt$.

График x(t) — прямая; чем круче, тем больше скорость. График v(t) — горизонтальная прямая; площадь под ним равна перемещению.

Средняя скорость — не среднее арифметическое скоростей! Если половину пути тело шло со скоростью $v_1$, а половину — $v_2$, то $v_{\text{ср}}=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.

Равноускоренное движение

Скорость за равные промежутки времени меняется одинаково: $a=\text{const}$. Если $a$ направлено против скорости, тело тормозит (в проекции $a_x<0$).

График v(t) — наклонная прямая, наклон равен ускорению, площадь под графиком — перемещению. График x(t) — парабола.

При старте из покоя пути за последовательные равные промежутки времени относятся как $1:3:5:7\ldots$ (закон нечётных чисел).

Свободное падение и бросок под углом

Свободное падение — движение только под действием силы тяжести; в вакууме все тела падают с одинаковым ускорением $g$ (опыт с трубкой Ньютона).

Бросок вверх: время подъёма $t=v_0/g$, максимальная высота $H=v_0^2/(2g)$; тело возвращается с той же скоростью.

Горизонтальный бросок с высоты $h$: по горизонтали — равномерно ($x=v_0t$), по вертикали — свободное падение. Время полёта $t=\sqrt{2h/g}$ не зависит от $v_0$; траектория — парабола.

Бросок под углом $\alpha$: $v_x=v_0\cos\alpha$ постоянна, $v_y=v_0\sin\alpha-gt$. Наибольшая дальность — при 45°; углы $\alpha$ и $90^\circ-\alpha$ дают одинаковую дальность.

Движение по окружности

Даже при постоянной по модулю скорости направление скорости меняется, поэтому есть ускорение — центростремительное, направленное к центру.

Угловая скорость $\omega=\varphi/t=2\pi/T=2\pi\nu$ (рад/с). Связь с линейной: $v=\omega R$.

Точки вращающегося диска имеют одинаковую угловую, но разную линейную скорость: чем дальше от оси, тем больше.

Радиус кривизны траектории в данной точке можно найти из $a_n=v^2/R$.

Сложение скоростей

Скорость тела относительно неподвижной системы равна сумме его скорости относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы: $\vec v=\vec v_{\text{отн}}+\vec v_{\text{пер}}$.

Лодка, плывущая по течению: $v=v_{\text{л}}+v_{\text{т}}$; против течения: $v=v_{\text{л}}-v_{\text{т}}$; поперёк реки — по теореме Пифагора.

Встречные поезда: скорость сближения равна сумме скоростей; попутные — разности.