Тема 2

Динамика

Что проверяют по спецификации:

Инерция, масса, плотностьСила и равнодействующаяЗаконы НьютонаСила тяжести и закон всемирного тяготенияСила упругости, закон ГукаСила тренияВес тела, перегрузка и невесомостьИскусственные спутники, первая космическая скорость

Суть за минуту

Динамика объясняет, почему тела движутся именно так: причина изменения скорости — сила. Три закона Ньютона связывают силу, массу и ускорение, а конкретные силы — тяжести, упругости и трения — описываются своими законами. Алгоритм задач динамики один: нарисовать все силы, выбрать оси, записать второй закон Ньютона в проекциях и решить систему.

Главные формулы

F⃗=ma⃗\vec F=m\vec a
Второй закон Ньютона (равнодействующая всех сил)
F⃗12=−F⃗21\vec F_{12}=-\vec F_{21}
Третий закон Ньютона
F=Gm1m2r2,G=6,67⋅10−11 Н⋅м2/кг2F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2},\quad G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2
Закон всемирного тяготения
g=GMR2,gh=GM(R+h)2g=G\dfrac{M}{R^2},\quad g_h=G\dfrac{M}{(R+h)^2}
Ускорение свободного падения на поверхности и на высоте h
Fупр=k∣x∣F_{\text{упр}}=k|x|
Закон Гука
Fтр=μNF_{\text{тр}}=\mu N
Сила трения скольжения
P=m(g±a)P=m(g\pm a)
Вес тела в лифте, движущемся с ускорением вверх (+) или вниз (−)
v1=gR=GMR≈7,9v_1=\sqrt{gR}=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}\approx7{,}9 км/с
Первая космическая скорость
ρ=mV\rho=\dfrac{m}{V}
Плотность вещества

Понятия и термины

Инерция
Явление сохранения скорости тела при отсутствии действия других тел
Инертность и масса
Свойство тела сопротивляться изменению скорости; мера инертности — масса (кг)
Инерциальная система отсчёта
Система, в которой выполняется первый закон Ньютона
Сила
Векторная мера действия одного тела на другое; единица — ньютон (Н)
Вес
Сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес; приложена к опоре, а не к телу
Невесомость
Состояние, при котором вес равен нулю: тело движется только под действием силы тяжести
Жёсткость
Коэффициент пропорциональности в законе Гука, Н/м

Разбор темы

Инерция, масса и плотность

Первый закон Ньютона (закон инерции): существуют системы отсчёта, в которых тело сохраняет скорость, если на него не действуют силы или их действие скомпенсировано.

Чем больше масса, тем труднее изменить скорость тела. Массу измеряют на весах (электронных, рычажных).

Плотность ρ=m/V\rho=m/V (кг/м³). Вода — 1000 кг/м³, лёд — 900, алюминий — 2700, железо — 7800. Объём тела неправильной формы находят мензуркой: по изменению уровня воды.

Сила и равнодействующая

Силу изображают стрелкой в масштабе: точка приложения, направление, длина.

Равнодействующая — сила, заменяющая действие нескольких сил. Силы вдоль одной прямой в одну сторону складывают, в разные — вычитают; под углом — по правилу параллелограмма.

Если равнодействующая равна нулю, тело покоится или движется равномерно и прямолинейно.

Законы Ньютона

Второй закон: a⃗=F⃗/m\vec a=\vec F/m. Ускорение направлено так же, как равнодействующая. Единица силы: 1 Н = 1 кг·м/с².

Третий закон: силы взаимодействия равны по модулю, противоположны по направлению, одной природы и приложены к разным телам — поэтому не уравновешивают друг друга.

Алгоритм: 1) рисунок и все силы; 2) оси (одну — вдоль ускорения); 3) второй закон в проекциях; 4) выражения для сил (mg, μN, kx); 5) решение.

Тяготение и сила тяжести

Сила тяжести F=mgF=mg — частный случай всемирного тяготения. На высоте hh ускорение уменьшается: при h=Rh=R — в 4 раза.

Гравитационную постоянную измерил Г. Кавендиш с помощью крутильных весов.

Спутник на круговой орбите: сила тяготения сообщает центростремительное ускорение, GMmr2=mv2rG\dfrac{Mm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}, откуда v=GM/rv=\sqrt{GM/r}. Вторая космическая скорость ≈ 11,2 км/с, третья ≈ 16,7 км/с.

Геостационарный спутник обращается с периодом 24 ч над экватором и «висит» над одной точкой.

Сила упругости и трения

Деформации бывают упругие (исчезают) и пластические (остаются). Закон Гука для упругих деформаций: F=kxF=kx; жёсткость находят по наклону графика F(x). Пружины последовательно: 1/k=1/k1+1/k21/k=1/k_1+1/k_2; параллельно: k=k1+k2k=k_1+k_2.

Трение покоя не даёт телу сдвинуться и меняется от 0 до μN\mu N; трение скольжения F=μNF=\mu N не зависит от площади соприкосновения; трение качения намного меньше.

Трение полезно (ходьба, тормоза, гвоздь в доске) и вредно (износ деталей, нагрев). Его уменьшают смазкой и подшипниками.

Вес, перегрузка и невесомость

В покое или при равномерном движении P=mgP=mg. При ускорении вверх вес растёт (перегрузка), вниз — уменьшается; при a=ga=g — невесомость.

Вес и сила тяжести — разные силы: сила тяжести приложена к телу, вес — к опоре. Космонавты на орбите в невесомости, хотя сила тяжести на них действует.

Вес тела в верхней точке выпуклого моста: P=m(g−v2/R)P=m(g-v^2/R); в нижней точке вогнутого — P=m(g+v2/R)P=m(g+v^2/R).

Примеры задач с решением

Задача 1Брусок массой 2 кг тянут по столу горизонтальной силой 10 Н. Коэффициент трения 0,2. Найдите ускорение (g=10g=10 м/с²).
  1. Fтр=μmg=0,2⋅2⋅10=4F_{\text{тр}}=\mu mg=0{,}2\cdot2\cdot10=4 Н.
  2. a=F−Fтрm=10−42=3a=\dfrac{F-F_{\text{тр}}}{m}=\dfrac{10-4}{2}=3 м/с².
Ответ 3 м/с²
Задача 2Человек массой 60 кг стоит в лифте, который поднимается с ускорением 2 м/с². Каков его вес?
  1. По второму закону N−mg=maN-mg=ma, вес P=NP=N.
  2. P=m(g+a)=60⋅12=720P=m(g+a)=60\cdot12=720 Н.
Ответ 720 Н
Задача 3Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 5 см. Какова сила упругости?
  1. x=0,05x=0{,}05 м, F=kx=200⋅0,05=10F=kx=200\cdot0{,}05=10 Н.
Ответ 10 Н
Задача 4Найдите первую космическую скорость для Земли (R=6400R=6400 км, g=10g=10 м/с²).
  1. v=gR=10⋅6,4⋅106=6,4⋅107=8000v=\sqrt{gR}=\sqrt{10\cdot6{,}4\cdot10^6}=\sqrt{6{,}4\cdot10^7}=8000 м/с.
Ответ ≈ 8 км/с (точнее 7,9 км/с)

Частые ловушки на ЕНТ

  • Силы из третьего закона приложены к разным телам и не складываются.
  • Вес приложен к опоре, сила тяжести — к телу.
  • Сила трения покоя не всегда равна μN — только максимальная.
  • На высоте, равной радиусу Земли, g уменьшается в 4 раза, а не в 2.
  • Если тело движется равномерно, равнодействующая равна нулю, а не «сила тяги больше трения».
  • Масса не меняется при перегрузке, меняется вес.

Запомнить

ΣF = ma. Сила тяжести mg, упругость kx, трение μN, тяготение GMm/r². Лифт вверх с ускорением — вес больше.

Проверь себя

1. Если равнодействующая сил равна нулю, тело:
  1. Обязательно покоится
  2. Покоится или движется равномерно прямолинейно
  3. Движется с ускорением
  4. Падает
Показать ответ

Покоится или движется равномерно прямолинейно Первый закон Ньютона.

2. Как изменится сила тяготения, если расстояние между телами увеличить в 3 раза?
  1. Уменьшится в 3 раза
  2. Уменьшится в 9 раз
  3. Увеличится в 9 раз
  4. Не изменится
Показать ответ

Уменьшится в 9 раз F ~ 1/r².

3. Космонавт на орбите находится в невесомости, потому что:
  1. Сила тяжести на него не действует
  2. Он движется только под действием силы тяжести
  3. Он далеко от Земли
  4. Нет воздуха
Показать ответ

Он движется только под действием силы тяжести Вес равен нулю при свободном движении.

4. Сила трения скольжения зависит от:
  1. Площади соприкосновения
  2. Силы нормального давления и материалов
  3. Скорости
  4. Объёма тела
Показать ответ

Силы нормального давления и материалов F = μN.

5. Две пружины по 100 Н/м соединили параллельно. Общая жёсткость:
  1. 50 Н/м
  2. 100 Н/м
  3. 200 Н/м
  4. 400 Н/м
Показать ответ

200 Н/м k = k₁ + k₂.

Связанные темы

1. Кинематика3. Статика4. Законы сохранения

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ