Тема 15

Механические колебания

Что проверяют по спецификации:

Свободные и вынужденные колебанияАмплитуда, период, частота, фазаГармонические колебания: уравнения x(t), v(t), a(t)Математический маятникПружинный маятникПревращения энергии при колебанияхЗатухающие колебания и резонанс

Суть за минуту

Колебания — движения, которые повторяются через равные промежутки времени: маятник часов, струна, сердце, поршень двигателя. Самые простые — гармонические, они описываются синусом или косинусом. Период математического маятника зависит только от длины нити и g, пружинного — от массы груза и жёсткости пружины. При колебаниях кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, а при совпадении частот наступает резонанс.

Главные формулы

T=tN,ν=1T,ω=2πν=2πTT=\dfrac{t}{N},\quad \nu=\dfrac1T,\quad \omega=2\pi\nu=\dfrac{2\pi}{T}
Период, частота (Гц), циклическая частота (рад/с)
x=xmcos⁡(ωt+φ0)x=x_m\cos(\omega t+\varphi_0)
Уравнение гармонических колебаний
vm=xmω,am=xmω2,a=−ω2xv_m=x_m\omega,\quad a_m=x_m\omega^2,\quad a=-\omega^2x
Амплитуды скорости и ускорения
T=2πlgT=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}
Математический маятник
T=2πmkT=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}
Пружинный маятник
E=kxm22=mvm22=kx22+mv22E=\dfrac{kx_m^2}{2}=\dfrac{mv_m^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2}
Полная механическая энергия колебаний

Понятия и термины

Свободные колебания
Происходят за счёт начального запаса энергии без внешнего воздействия
Вынужденные колебания
Происходят под действием периодической внешней силы с её частотой
Амплитуда
Наибольшее отклонение от положения равновесия
Фаза
Величина ωt + φ₀, определяющая состояние колебания в данный момент
Затухающие колебания
Колебания с уменьшающейся из-за трения амплитудой
Резонанс
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой

Разбор темы

Виды колебаний

Условия свободных колебаний: возвращающая сила, направленная к положению равновесия, и малое трение. Колебательная система: груз на пружине, маятник, струна.

Вынужденные колебания: качели, которые раскачивают, игла швейной машины, мембрана громкоговорителя.

Автоколебания поддерживаются за счёт источника энергии внутри системы: часы с гирями, сердце, смычок на струне.

Характеристики и уравнение колебаний

За один период тело проходит путь, равный четырём амплитудам.

Гармонические колебания: координата меняется по закону косинуса или синуса. Скорость опережает координату на четверть периода: v=−xmωsin⁡(ωt)v=-x_m\omega\sin(\omega t), ускорение противоположно смещению.

В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю; в крайних точках скорость равна нулю, ускорение максимально.

Графики x(t), v(t), a(t) — синусоиды; по графику находят амплитуду и период, а по ним — частоты.

Маятники

Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити. Его период не зависит от массы и (при малых углах) от амплитуды — изохронность, открытая Галилеем.

На Луне (g в 6 раз меньше) маятник колеблется в √6 ≈ 2,45 раза медленнее. Чтобы период вырос вдвое, нить удлиняют в 4 раза.

Пружинный маятник: период не зависит от g, поэтому одинаков на Земле и на Луне. Четырёхкратное увеличение массы удваивает период.

Превращения энергии

При отсутствии трения полная энергия сохраняется: в крайней точке она полностью потенциальная, в положении равновесия — кинетическая.

Кинетическая и потенциальная энергии меняются с удвоенной частотой (период их изменения T/2).

При трении энергия переходит во внутреннюю, амплитуда уменьшается — колебания затухают. Амортизаторы автомобиля специально гасят колебания.

Резонанс

При вынужденных колебаниях амплитуда наибольшая, когда частота внешней силы равна собственной частоте системы. Чем меньше трение, тем острее резонанс.

Польза: раскачивание качелей, музыкальные инструменты (резонаторы), радиоприёмник, МРТ. Вред: разрушение мостов (строй солдат идёт не в ногу), вибрации станков и зданий при землетрясениях.

Примеры задач с решением

Задача 1Маятник совершил 30 колебаний за 1 мин. Найдите период, частоту и длину нити (g = 10 м/с², π² ≈ 10).
  1. T=60/30=2T=60/30=2 с, ν=0,5\nu=0{,}5 Гц.
  2. l=gT24π2=10⋅440=1l=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}=\dfrac{10\cdot4}{40}=1 м.
Ответ 2 с; 0,5 Гц; 1 м
Задача 2Груз 0,4 кг на пружине жёсткостью 40 Н/м. Найдите период колебаний.
  1. T=2π0,440=2π⋅0,1≈0,63T=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{40}}=2\pi\cdot0{,}1\approx0{,}63 с.
Ответ ≈ 0,63 с
Задача 3Уравнение колебаний: x = 0,05 cos(4πt) (м). Найдите амплитуду, частоту, период и максимальную скорость.
  1. xm=0,05x_m=0{,}05 м, ω=4π\omega=4\pi рад/с, ν=2\nu=2 Гц, T=0,5T=0{,}5 с.
  2. vm=xmω=0,05⋅4π≈0,63v_m=x_m\omega=0{,}05\cdot4\pi\approx0{,}63 м/с.
Ответ 5 см; 2 Гц; 0,5 с; ≈ 0,63 м/с
Задача 4Пружинный маятник (k = 100 Н/м) колеблется с амплитудой 4 см. Найдите полную энергию.
  1. E=kxm22=100⋅0,00162=0,08E=\dfrac{kx_m^2}{2}=\dfrac{100\cdot0{,}0016}{2}=0{,}08 Дж.
Ответ 0,08 Дж

Частые ловушки на ЕНТ

  • Период математического маятника не зависит от массы груза.
  • Период пружинного маятника не зависит от g.
  • За период тело проходит путь 4 амплитуды, а перемещение равно нулю.
  • Энергия кинетическая и потенциальная меняются с частотой 2ν.
  • Чтобы период удвоить, длину увеличивают в 4 раза.

Запомнить

T = 2π√(l/g), T = 2π√(m/k), ω = 2π/T, v_m = x_mω, a_m = x_mω². Резонанс: ν_внеш = ν_соб.

Проверь себя

1. Как изменится период математического маятника, если массу груза увеличить в 4 раза?
  1. Увеличится в 2 раза
  2. Не изменится
  3. Уменьшится в 2 раза
  4. Увеличится в 4 раза
Показать ответ

Не изменится T не зависит от m.

2. Где скорость колеблющегося груза максимальна?
  1. В крайних точках
  2. В положении равновесия
  3. На полпути
  4. Везде одинакова
Показать ответ

В положении равновесия Там вся энергия кинетическая.

3. Пружинный маятник перенесли на Луну. Его период:
  1. Увеличится
  2. Уменьшится
  3. Не изменится
  4. Станет нулём
Показать ответ

Не изменится T = 2π√(m/k).

4. Частота 5 Гц соответствует периоду:
  1. 5 с
  2. 0,2 с
  3. 0,5 с
  4. 2 с
Показать ответ

0,2 с T = 1/ν.

5. Резкий рост амплитуды при совпадении частот называется:
  1. Интерференцией
  2. Резонансом
  3. Дисперсией
  4. Затуханием
Показать ответ

Резонансом Определение резонанса.

Связанные темы

16. Электромагнитные колебания. Переменный ток17. Волновое движение4. Законы сохранения

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ