Тема 21

Элементы теории относительности

Что проверяют по спецификации:

Принцип относительности ГалилеяПостулаты специальной теории относительностиОтносительность одновременностиЗамедление времениСокращение длиныРелятивистский закон сложения скоростейСвязь массы и энергии

Суть за минуту

Специальная теория относительности (СТО) А. Эйнштейна (1905) описывает движение со скоростями, близкими к скорости света. Она основана на двух постулатах: законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта, а скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей. Из них следуют неожиданные выводы: время замедляется, длина сокращается, скорости складываются не простым сложением, а масса и энергия связаны формулой E = mc².

Главные формулы

\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}

Лоренц-фактор

\tau=\gamma\tau_0=\dfrac{\tau_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

Замедление времени (τ₀ — собственное время)

l=\dfrac{l_0}{\gamma}=l_0\sqrt{1-v^2/c^2}

Сокращение длины

v=\dfrac{v_1+v_2}{1+\dfrac{v_1v_2}{c^2}}

Релятивистское сложение скоростей

E_0=mc^2,\quad E=\gamma mc^2,\quad E_k=(\gamma-1)mc^2

Энергия покоя, полная и кинетическая энергия

\Delta E=\Delta m\,c^2

Связь изменения энергии и массы

Понятия и термины

Инерциальная система отсчёта: Система, в которой тело, на которое не действуют силы, движется равномерно и прямолинейно
Принцип относительности Галилея: Механические явления протекают одинаково во всех ИСО
Постулаты Эйнштейна: 1) Все законы природы одинаковы во всех ИСО; 2) скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит от скорости источника
Собственное время: Время, измеренное часами, покоящимися относительно события
Собственная длина: Длина тела в системе, где оно покоится
Энергия покоя: Энергия тела массой m в системе, где оно покоится

Разбор темы

От Галилея к Эйнштейну

В классической механике скорости складываются просто: v = v₁ + v₂, время и длина одинаковы для всех. Это хорошо работает при скоростях, малых по сравнению со скоростью света.

Уравнения Максвелла дают скорость света c, не зависящую от системы отсчёта. Опыт Майкельсона–Морли (1887) не обнаружил «эфирного ветра»: скорость света одинакова в любом направлении.

Эйнштейн распространил принцип относительности на все явления и принял постоянство скорости света как постулат.

Относительность одновременности

События, одновременные в одной системе отсчёта, могут быть неодновременными в другой, движущейся относительно неё.

Пример: вспышка в центре вагона достигает передней и задней стенок одновременно для пассажира, но не для наблюдателя на платформе.

Замедление времени и сокращение длины

Движущиеся часы идут медленнее неподвижных. Подтверждение: мюоны, рождённые в верхних слоях атмосферы, долетают до Земли, хотя по классическим расчётам должны распасться; атомные часы на самолётах и спутниках (поправки в GPS).

Размеры тела в направлении движения сокращаются; поперечные размеры не меняются.

При v = 0,6c γ = 1,25; при v = 0,8c γ = 5/3; при v → c γ → ∞. Поэтому тело с массой не может достичь скорости света.

Сложение скоростей

Сумма двух скоростей, меньших c, всегда меньше c. Если один из объектов — свет, результат равен c: свет фар движущегося автомобиля идёт со скоростью c.

При малых скоростях формула переходит в классическую v₁ + v₂ — принцип соответствия.

Масса и энергия

Любое тело массой m обладает энергией покоя mc². 1 кг массы эквивалентен 9 · 10¹⁶ Дж — столько энергии вырабатывает крупная электростанция за несколько лет.

Изменение энергии системы сопровождается изменением её массы: нагретое тело чуть тяжелее, при ядерных реакциях выделяется энергия за счёт дефекта масс (тема 23).

Примеры: ядерная энергетика, аннигиляция электрона и позитрона в два γ-кванта, энергия Солнца (каждую секунду оно теряет ≈ 4 млн т массы).

Примеры задач с решением

Задача 1Космический корабль летит со скоростью 0,8c. На корабле прошёл 1 год. Сколько прошло на Земле?

$\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-0{,}64}}=\dfrac1{0{,}6}\approx1{,}67$ .
$\tau=\gamma\tau_0\approx1{,}67$ года.

Ответ ≈ 1,67 года

Задача 2Стержень длиной 1 м движется вдоль своей оси со скоростью 0,6c. Какова его длина для неподвижного наблюдателя?

$l=l_0\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$ м.

Ответ 0,8 м

Задача 3Две частицы летят навстречу со скоростями 0,5c относительно Земли. Найдите их относительную скорость.

$v=\dfrac{0{,}5c+0{,}5c}{1+0{,}25}=0{,}8c$ .

Ответ 0,8c

Задача 4Найдите энергию покоя 1 г вещества.

$E=mc^2=10^{-3}\cdot9\cdot10^{16}=9\cdot10^{13}$ Дж.

Ответ 9 · 10¹³ Дж

Частые ловушки на ЕНТ

Скорость света в вакууме одинакова для всех ИСО и не зависит от движения источника.
Длина сокращается только вдоль направления движения.
Время замедляется для движущихся часов с точки зрения неподвижного наблюдателя.
Сумма скоростей меньше c, даже если каждая близка к c.
E = mc² — энергия покоя, а не кинетическая.

Запомнить

γ = 1/√(1 − v²/c²). τ = γτ₀, l = l₀/γ. E₀ = mc². При v ≪ c всё переходит в механику Ньютона.

Проверь себя

1. Какое утверждение — постулат СТО?

Время абсолютно
Скорость света одинакова во всех ИСО
Масса не зависит от энергии
Скорости складываются арифметически

Показать ответ

Скорость света одинакова во всех ИСО Второй постулат.

2. Длина стержня, движущегося вдоль оси со скоростью, близкой к c:

Увеличивается
Уменьшается
Не меняется
Становится нулём при любой v

Показать ответ

Уменьшается l = l₀√(1 − v²/c²).

3. Чему равна энергия покоя тела массой 2 кг?

6 · 10⁸ Дж
1,8 · 10¹⁷ Дж
9 · 10¹⁶ Дж
3,6 · 10¹⁷ Дж

Показать ответ

1,8 · 10¹⁷ Дж 2 · 9 · 10¹⁶.

4. Свет фар автомобиля, едущего со скоростью v, распространяется со скоростью:

c + v
c − v
c
√(c² + v²)

Показать ответ

c Постоянство скорости света.

5. Каким опытом подтверждается замедление времени?

Опыт Резерфорда
Время жизни мюонов
Опыт Юнга
Опыт Эрстеда

Показать ответ

Время жизни мюонов Мюоны долетают до поверхности.

Связанные темы

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ