Тема 9

Системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений

Что проверяют по спецификации:

Системы тригонометрических уравненийСистемы иррациональных уравненийСистемы показательных уравненийСистемы логарифмических уравнений

Суть за минуту

Системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений решают теми же способами, что и обычные: подстановкой и сложением. Главный приём — удачная замена (

u=2^x

u=\sqrt x

u=\log_2x

), после которой система становится линейной или симметричной.

Объясняем просто

Здесь те же системы, но уравнения в них «сложные»: с корнями, степенями, логарифмами. Секрет — сначала превратить каждое уравнение в простое (линейное или квадратное), а потом решать систему обычными способами.

Показательные: уравнять основания

$2^{x+y}=8$ превращается в $x+y=3$ . Каждое показательное уравнение с одинаковыми основаниями — это обычное линейное уравнение на показатели.

Логарифмические: убрать логарифм

$\log_2x+\log_2y=3\Rightarrow xy=8$ , $\lg x-\lg y=1\Rightarrow\dfrac xy=10$ . Не забудьте: $x>0$ , $y>0$ .

С корнями: замена

Если в системе $\sqrt x$ и $\sqrt y$ , обозначьте $u=\sqrt x\ge0$ , $v=\sqrt y\ge0$ — система станет алгебраической.

Главные формулы

a^x\cdot a^y=a^{x+y}

Для показательных систем

\log_ax+\log_ay=\log_a(xy)

Для логарифмических систем,

x,y>0

x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)

Для иррациональных систем

x+y=\dfrac\pi2\Rightarrow\sin y=\cos x

Для тригонометрических систем

Понятия и термины

Замена: Новая переменная упрощает систему
ОДЗ системы: Пересечение ОДЗ всех уравнений

Разбор темы

Алгоритм

1) Запишите ОДЗ. 2) Сделайте замену или примените свойства. 3) Решите получившуюся систему. 4) Вернитесь к исходным переменным. 5) Проверьте ОДЗ.

Системы тригонометрических уравнений 10 класс

Часто складывают и вычитают уравнения: из $x+y=\dfrac\pi2$ , $\sin x+\sin y=\sqrt2$ по формуле суммы синусов получают $2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2=\sqrt2$ .

В ответе у $x$ и $y$ могут быть разные целые параметры $n$ и $k$ .

Примеры задач с решением

Задача 1Решите

\begin{cases}3^x\cdot3^y=27\\x-y=1\end{cases}

$3^{x+y}=3^3\Rightarrow x+y=3$ .
Складываем с $x-y=1$ : $2x=4$ , $x=2$ , $y=1$ .

Ответ

(2;1)

Задача 2Решите

\begin{cases}\log_2x+\log_2y=3\\x+y=6\end{cases}

ОДЗ: $x,y>0$ . $\log_2(xy)=3\Rightarrow xy=8$ .
$x+y=6$ , $xy=8$ : $t^2-6t+8=0$ , $t=2$ или $4$ .

Ответ

(2;4),\ (4;2)

Задача 3Решите

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=5\\x-y=5\end{cases}

$x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)=5\Rightarrow\sqrt x-\sqrt y=1$ .
$\sqrt x=3$ , $\sqrt y=2$ .

Ответ

(9;4)

Задача 4Решите

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=5\\x-y=5\end{cases}

$x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)=5\Rightarrow\sqrt x-\sqrt y=1$ .
$\sqrt x=3$ , $\sqrt y=2$ → $x=9$ , $y=4$ .

Ответ

(9;4)

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Решите

\begin{cases}2^x\cdot3^y=12\\3^x\cdot2^y=18\end{cases}

Идея: Перемножаем и делим уравнения.

Перемножаем
$6^x\cdot6^y=216=6^3\Rightarrow x+y=3$ .
Делим первое на второе
$\left(\dfrac23\right)^x\cdot\left(\dfrac32\right)^y=\dfrac{12}{18}=\dfrac23\Rightarrow\left(\dfrac23\right)^{x-y}=\left(\dfrac23\right)^1\Rightarrow x-y=1$ .
Линейная система
$x=2$ , $y=1$ . Проверка: $4\cdot3=12$ ✓, $9\cdot2=18$ ✓.

Ответ

(2;1)

Задача 2Решите

\begin{cases}\log_2x+\log_2y=4\\x+y=10\end{cases}

Идея: Логарифмы → произведение, затем Виет.

ОДЗ
$x>0$ , $y>0$ .
Первое уравнение
$\log_2(xy)=4\Rightarrow xy=16$ .
Виет
$t^2-10t+16=0$ : $t=2$ , $t=8$ .

Ответ

(2;8),\ (8;2)

Частые ловушки на ЕНТ

После замены не забывайте вернуться к исходным переменным.
Логарифмические системы — только при положительных переменных.
В тригонометрических системах ответ записывают с параметром $n$ .
В логарифмических системах проверяйте положительность всех аргументов.

Запомнить

Замена превращает «страшную» систему в знакомую.

Проверь себя

\begin{cases}2^x=8\\2^y=4\end{cases}

, найдите

x+y

Показать ответ

5 $x=3$ , $y=2$ .

\begin{cases}\lg x+\lg y=2\\x=y\end{cases}

$(10;10)$
$(1;1)$
$(100;1)$
$(\pm10;\pm10)$

Показать ответ

$(10;10)$ $x^2=100$ , $x>0$ .

\begin{cases}\sqrt x=2\\\sqrt y=3\end{cases}

x+y=

Показать ответ

13 $4+9$ .

4. Из

3^{x-y}=1

следует:

$x-y=1$
$x=y$
$x-y=3$
$x+y=0$

Показать ответ

$x=y$ $3^0=1$ .

Связанные темы

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ