Тема 14

Геометрические фигуры и их взаимное расположение

Что проверяют по спецификации:

Углы и параллельные прямыеТреугольникиЧетырёхугольникиОкружность: центральные и вписанные углыМногоугольники

Суть за минуту

Планиметрия начинается с углов, параллельных прямых, треугольников, четырёхугольников и окружности. Почти каждая задача ЕНТ использует сумму углов треугольника 180∘180^\circ, свойства параллельных прямых или связь вписанного и центрального угла.

Объясняем просто

Планиметрия — геометрия на листе бумаги. Почти все задачи решаются несколькими «главными фактами»: сумма углов треугольника, свойства параллельных прямых, равенство и подобие треугольников.

Сумма углов — 180°

Оторвите у бумажного треугольника три угла и приложите их вместе — получится развёрнутый угол, 180∘180^\circ. Внешний угол = сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Параллельные прямые и «буква Z»

Секущая с двумя параллельными образует «Z» — накрест лежащие углы равны; «F» — соответственные равны; односторонние в сумме 180∘180^\circ.

Вписанный угол — половина дуги

Угол с вершиной на окружности равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому опирающийся на диаметр угол всегда 90∘90^\circ.

Средняя линия — половина основания

Соедините середины двух сторон треугольника — отрезок параллелен третьей стороне и вдвое короче. В трапеции средняя линия — полусумма оснований.

Главные формулы

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ
Сумма углов треугольника
180∘(n−2)180^\circ(n-2)
Сумма углов выпуклого nn-угольника
∠вписанный=12∠центральный\angle_{\text{вписанный}}=\dfrac12\angle_{\text{центральный}}
Вписанный угол равен половине дуги
m=a+b2m=\dfrac{a+b}{2}
Средняя линия трапеции
∠A+∠C=∠B+∠D=180∘\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ
Вписанный четырёхугольник
a+c=b+da+c=b+d
Описанный четырёхугольник

Понятия и термины

Смежные углы
В сумме 180∘180^\circ
Вертикальные углы
Равны
Внешний угол треугольника
Равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
Угол на диаметр
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90∘90^\circ
Касательная
Перпендикулярна радиусу в точке касания

Разбор темы

Треугольники

Равнобедренный: углы при основании равны, медиана к основанию — высота и биссектриса.

Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.

Против большей стороны лежит больший угол.

Четырёхугольники

Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся пополам. Прямоугольник — диагонали равны. Ромб — диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами. Квадрат — всё сразу.

Треугольник и его линии 7–8 класс

Медиана — к середине стороны; биссектриса — делит угол пополам; высота — перпендикуляр к стороне.

Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1 от вершины. Биссектрисы — в центре вписанной окружности, серединные перпендикуляры — в центре описанной.

Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников 7 класс

По двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам. Для прямоугольных: по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу.

Четырёхугольники 8 класс

Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам. Прямоугольник — равные диагонали; ромб — диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов; квадрат — всё сразу.

Трапеция: основания параллельны. Средняя линия m=a+b2m=\dfrac{a+b}2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Теорема Фалеса 8 класс

Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой стороне отсекают равные. Обобщение: параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки.

Окружность и многоугольники 9 класс

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны.

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны; описать — если сумма противоположных углов 180∘180^\circ.

Сумма углов nn-угольника 180∘(n−2)180^\circ(n-2); у правильного nn-угольника каждый угол 180∘(n−2)n\dfrac{180^\circ(n-2)}n.

Построения циркулем и линейкой 7 класс

Основные построения: угол, равный данному; биссектриса угла; серединный перпендикуляр к отрезку (он же делит отрезок пополам); перпендикуляр к прямой; треугольник по трём сторонам.

Геометрическое место точек: серединный перпендикуляр — точки, равноудалённые от концов отрезка; биссектриса — от сторон угла.

Примеры задач с решением

Задача 1Вписанный угол опирается на дугу 140∘140^\circ. Найдите его.
  1. Вписанный угол равен половине дуги.
Ответ 70∘70^\circ
Задача 2Углы треугольника относятся как 2:3:42:3:4. Найдите их.
  1. 2x+3x+4x=180∘⇒x=20∘2x+3x+4x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ.
Ответ 40∘, 60∘, 80∘40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ
Задача 3Найдите угол правильного шестиугольника.
  1. Сумма углов 180∘⋅(6−2)=720∘180^\circ\cdot(6-2)=720^\circ.
  2. 720∘:6=120∘720^\circ:6=120^\circ.
Ответ 120∘120^\circ
Задача 4В трапеции основания 6 и 14. Найдите длину средней линии и отрезка средней линии между диагоналями.
  1. m=6+142=10m=\dfrac{6+14}2=10.
  2. Отрезок между диагоналями: 14−62=4\dfrac{14-6}2=4.
Ответ 10 и 4
Задача 5Сколько сторон у правильного многоугольника с углом 150∘150^\circ?
  1. Внешний угол 30∘30^\circ; сумма внешних 360∘360^\circ.
  2. n=36030=12n=\dfrac{360}{30}=12.
Ответ 12

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1В треугольнике ABCABC угол C=90∘C=90^\circ, CHCH — высота, ∠A=34∘\angle A=34^\circ. Найдите ∠BCH\angle BCH.

Идея: В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла создаёт два треугольника, подобных исходному.

  1. Угол B
    ∠B=90∘−34∘=56∘\angle B=90^\circ-34^\circ=56^\circ.
  2. Треугольник BCH
    Он прямоугольный (∠H=90∘\angle H=90^\circ), поэтому ∠BCH=90∘−∠B=34∘\angle BCH=90^\circ-\angle B=34^\circ.
  3. Вывод
    ∠BCH=∠A\angle BCH=\angle A — так бывает всегда.
Ответ 34∘34^\circ
Задача 2Вписанный угол ABCABC опирается на дугу ACAC, равную 110∘110^\circ. Найдите угол между хордой ACAC и касательной в точке AA.

Идея: Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри него.

  1. Вписанный угол
    ∠ABC=110∘2=55∘\angle ABC=\dfrac{110^\circ}2=55^\circ.
  2. Угол касательной и хорды
    Он тоже равен половине дуги ACAC: 55∘55^\circ.
Ответ 55∘55^\circ
Задача 3Диагонали ромба 12 и 16. Найдите сторону и высоту ромба.

Идея: Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам — получаются 4 прямоугольных треугольника.

  1. Половины диагоналей
    6 и 8.
  2. Сторона по Пифагору
    a=36+64=10a=\sqrt{36+64}=10.
  3. Площадь двумя способами
    S=12⋅162=96S=\dfrac{12\cdot16}2=96; S=a⋅h⇒h=9610=9,6S=a\cdot h\Rightarrow h=\dfrac{96}{10}=9{,}6.
Ответ 10 и 9,6

Частые ловушки на ЕНТ

  • Вписанный угол равен половине дуги, а не всей дуге.
  • Средняя линия треугольника — половина стороны, трапеции — полусумма оснований.
  • Диагонали ромба перпендикулярны, а у прямоугольника — равны.

Запомнить

Вписанный — половина центрального. Угол на диаметр — 90∘90^\circ.

Проверь себя

1. Сумма углов пятиугольника:
  1. 360∘360^\circ
  2. 540∘540^\circ
  3. 720∘720^\circ
  4. 900∘900^\circ
Показать ответ

540∘540^\circ 180∘⋅3180^\circ\cdot3.

2. Основания трапеции 6 и 10. Средняя линия:
  1. 16
  2. 8
  3. 4
  4. 6
Показать ответ

8 6+102\frac{6+10}2.

3. Внешний угол треугольника 110∘110^\circ, один из несмежных 40∘40^\circ. Другой:
  1. 70∘70^\circ
  2. 30∘30^\circ
  3. 140∘140^\circ
  4. 50∘50^\circ
Показать ответ

70∘70^\circ 110∘−40∘110^\circ-40^\circ.

4. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении:
  1. 1 : 1
  2. 2 : 1
  3. 3 : 1
  4. 1 : 3
Показать ответ

2 : 1 От вершины 2 : 1.

5. Около четырёхугольника можно описать окружность, если:
  1. суммы противоположных сторон равны
  2. сумма противоположных углов 180°
  3. диагонали равны
  4. он ромб
Показать ответ

сумма противоположных углов 180° Признак вписанного четырёхугольника.

Связанные темы

15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования3. Тригонометрия16. Геометрические фигуры в пространстве

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ