Тема 20

Комбинаторика, вероятность и статистика

Что проверяют по спецификации:

Множества и диаграммы Эйлера–ВеннаПерестановки, размещения, сочетанияБином НьютонаКлассическая и геометрическая вероятностьСложение и умножение вероятностей, формула БернуллиПолная вероятность и формула БайесаСтатистика: среднее, медиана, мода, дисперсия

Суть за минуту

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами?», теория вероятностей — «насколько это вероятно?», статистика — «что говорят данные?». В школьной программе это правила суммы и произведения, перестановки, размещения и сочетания, классическая вероятность, сложение и умножение вероятностей, формула Бернулли, а также среднее, медиана, мода, дисперсия и стандартное отклонение.

Объясняем просто

Вероятность — это доля «хороших» исходов среди всех равновозможных. Бросаем кубик: исходов 6, «чётное число» — 3 исхода, вероятность 36=12\dfrac36=\dfrac12.

Правило произведения — «дерево вариантов»

3 рубашки и 4 брюк: к каждой рубашке подходят 4 брюк — всего 3⋅4=123\cdot4=12 комплектов. Если выбор идёт в несколько шагов, варианты перемножаются.

Порядок важен или нет?

Важен (места, пароль, распределение должностей) — размещения AnkA_n^k или перестановки n!n!. Не важен (выбрать 3 человека в команду, набор фруктов) — сочетания CnkC_n^k.

«И» — умножаем, «или» — складываем

Вероятность, что монета дважды выпадет орлом: 12⋅12=14\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14 (событие 1 И событие 2). Выпадет 1 или 2 на кубике: 16+16=13\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13 (несовместные события).

«Хотя бы один» — через противоположное

Вероятность хотя бы одного орла при 3 бросках: проще найти «ни одного орла» (12)3=18\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18 и вычесть из 1: 78\dfrac78.

Среднее, медиана, мода

Зарплаты 100, 120, 130, 150, 1000: среднее 300 — его «тянет» один большой выброс. Медиана (середина упорядоченного ряда) 130 лучше показывает «типичное» значение. Мода — самое частое значение.

Главные формулы

n!=1⋅2⋅…⋅n,Pn=n!n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n,\quad P_n=n!
Факториал и число перестановок
Ank=n!(n−k)!A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}
Размещения: выбрать kk из nn с учётом порядка
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}
Сочетания: выбрать kk из nn без учёта порядка
P(A)=mnP(A)=\dfrac mn
Классическая вероятность: mm благоприятных из nn равновозможных
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB),P(Aˉ)=1−P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),\quad P(\bar A)=1-P(A)
Сложение вероятностей; противоположное событие
P(AB)=P(A)⋅P(B)P(AB)=P(A)\cdot P(B)
Умножение вероятностей независимых событий
Pn(k)=Cnkpkqn−k, q=1−pP_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k},\ q=1-p
Формула Бернулли
xˉ=x1+…+xnn,D=(x−xˉ)2‾,σ=D\bar x=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}n,\quad D=\overline{(x-\bar x)^2},\quad\sigma=\sqrt D
Среднее, дисперсия, стандартное отклонение
(a+b)n=∑Cnkan−kbk(a+b)^n=\sum C_n^ka^{n-k}b^k
Бином Ньютона

Понятия и термины

Перестановка
Упорядочивание всех nn элементов: n!n! способов
Достоверное / невозможное событие
Вероятность 1 / вероятность 0
Несовместные события
Не могут произойти одновременно
Независимые события
Наступление одного не меняет вероятность другого
Медиана
Значение, стоящее в середине упорядоченного ряда (при чётном количестве — полусумма двух средних)
Мода
Наиболее часто встречающееся значение
Размах
Разность наибольшего и наименьшего значений
Математическое ожидание
Среднее значение случайной величины: M(X)=∑xipiM(X)=\sum x_ip_i

Разбор темы

Множества и диаграммы Эйлера–Венна 5 класс

Объединение A∪BA\cup B — элементы хотя бы одного множества, пересечение A∩BA\cap B — общие элементы.

Число элементов объединения: ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| (общих нельзя считать дважды).

Правила комбинаторики 9 класс

Правило суммы: если объект A можно выбрать mm способами, а B — nn способами (и выбор A и B взаимоисключающий), то «A или B» — m+nm+n способов.

Правило произведения: «A и затем B» — m⋅nm\cdot n способов.

0!=10!=1; Cnk=Cnn−kC_n^k=C_n^{n-k}; Cn0=Cnn=1C_n^0=C_n^n=1; Cn1=nC_n^1=n.

Бином Ньютона и треугольник Паскаля 9–10 класс

Коэффициенты (a+b)n(a+b)^n — числа CnkC_n^k, они образуют треугольник Паскаля: каждое число — сумма двух над ним. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

Сумма всех коэффициентов 2n2^n.

Классическая, статистическая и геометрическая вероятность 9 класс

Классическая: mn\dfrac mn. Статистическая: относительная частота при большом числе опытов (закон больших чисел). Геометрическая: отношение длин, площадей или объёмов — например, вероятность попасть в круг внутри квадрата.

Полная вероятность и формула Байеса 10 класс

Если событие AA может произойти с одной из гипотез H1,…,HnH_1,\ldots,H_n: P(A)=∑P(Hi)P(A∣Hi)P(A)=\sum P(H_i)P(A|H_i).

Байес «пересчитывает» вероятность гипотезы после того, как AA произошло: P(Hi∣A)=P(Hi)P(A∣Hi)P(A)P(H_i|A)=\dfrac{P(H_i)P(A|H_i)}{P(A)}.

Случайные величины 10 класс

Закон распределения — таблица значений и их вероятностей (сумма вероятностей 1). Математическое ожидание M(X)=∑xipiM(X)=\sum x_ip_i, дисперсия D(X)=M(X2)−(M(X))2D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.

Для схемы Бернулли (nn испытаний с вероятностью успеха pp): M=npM=np, D=npqD=npq.

Статистика: таблицы, полигон, гистограмма 7–8, 11 класс

Вариационный ряд — данные в порядке возрастания. Абсолютная частота — сколько раз встречается значение, относительная — доля от общего числа.

Полигон частот — ломаная «значение — частота», гистограмма — столбики для интервалов. Накопленная частота — сумма частот до данного значения включительно.

Дисперсия — средний квадрат отклонения от среднего; стандартное отклонение показывает типичный «разброс» данных.

Примеры задач с решением

Задача 1Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь?
  1. Перестановки: 5!=1205!=120.
Ответ 120
Задача 2Из 10 учеников выбирают старосту и его заместителя. Сколько способов?
  1. Порядок важен (разные должности): A102=10⋅9=90A_{10}^2=10\cdot9=90.
Ответ 90
Задача 3Из 10 учеников выбирают двоих дежурных. Сколько способов?
  1. Порядок не важен: C102=10⋅92=45C_{10}^2=\dfrac{10\cdot9}{2}=45.
Ответ 45
Задача 4Найдите среднее, медиану, моду и размах ряда 3, 5, 5, 6, 8, 9.
  1. Среднее 366=6\dfrac{36}6=6; медиана 5+62=5,5\dfrac{5+6}2=5{,}5; мода 5; размах 9−3=69-3=6.
Ответ 6; 5,5; 5; 6
Задача 5Бросают два кубика. Какова вероятность, что сумма очков равна 8?
  1. Всего исходов 6⋅6=366\cdot6=36.
  2. Благоприятные: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) — 5.
Ответ 536\dfrac5{36}

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность, что оба белые и что шары разного цвета.

Идея: Порядок не важен — используем сочетания для числа исходов.

  1. Все исходы
    C82=8⋅72=28C_8^2=\dfrac{8\cdot7}2=28.
  2. Оба белые
    C52=10C_5^2=10, P=1028=514P=\dfrac{10}{28}=\dfrac5{14}.
  3. Разного цвета
    Белый И чёрный: 5⋅3=155\cdot3=15, P=1528P=\dfrac{15}{28}.
  4. Проверка
    Оба чёрные C32=3C_3^2=3. 10+15+3=2810+15+3=28 ✓.
Ответ 514\dfrac5{14} и 1528\dfrac{15}{28}
Задача 2Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет 3 раза. Найдите вероятность ровно двух попаданий и хотя бы одного попадания.

Идея: Независимые повторения — формула Бернулли; «хотя бы один» — через противоположное событие.

  1. Ровно 2 из 3
    P3(2)=C32⋅0,82⋅0,2=3⋅0,64⋅0,2=0,384P_3(2)=C_3^2\cdot0{,}8^2\cdot0{,}2=3\cdot0{,}64\cdot0{,}2=0{,}384.
  2. Ни одного попадания
    0,23=0,0080{,}2^3=0{,}008.
  3. Хотя бы одно
    1−0,008=0,9921-0{,}008=0{,}992.
Ответ 0,384 и 0,992
Задача 3Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «МАМА»? А слова «ПАРАЛЛЕЛЬ»?

Идея: Перестановки с повторениями: n!n1!n2!…\dfrac{n!}{n_1!n_2!\ldots}.

  1. МАМА
    4 буквы, М — 2 раза, А — 2 раза: 4!2! 2!=6\dfrac{4!}{2!\,2!}=6.
  2. ПАРАЛЛЕЛЬ
    9 букв: П1, А2, Р1, Л3, Е1, Ь1: 9!2! 3!=36288012=30240\dfrac{9!}{2!\,3!}=\dfrac{362880}{12}=30240.
Ответ 6 и 30 240
Задача 4Завод А выпускает 60 % деталей (брак 2 %), завод Б — 40 % (брак 5 %). Найдите вероятность, что случайная деталь бракованная, и вероятность, что бракованная деталь сделана на заводе Б.

Идея: Формула полной вероятности и формула Байеса.

  1. Полная вероятность брака
    P=0,6⋅0,02+0,4⋅0,05=0,012+0,02=0,032P=0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}012+0{,}02=0{,}032.
  2. Байес
    P(Б ∣ брак)=0,020,032=0,625P(\text{Б}\,|\,\text{брак})=\dfrac{0{,}02}{0{,}032}=0{,}625.
Ответ 0,032; 0,625
Задача 5Найдите дисперсию и стандартное отклонение ряда 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

Идея: Дисперсия — среднее квадратов отклонений от среднего.

  1. Среднее
    408=5\dfrac{40}8=5.
  2. Квадраты отклонений
    9,1,1,1,0,0,4,169,1,1,1,0,0,4,16; сумма 32.
  3. Дисперсия и σ
    D=328=4D=\dfrac{32}8=4, σ=2\sigma=2.
Ответ D=4D=4, σ=2\sigma=2

Частые ловушки на ЕНТ

  • Не путайте размещения (порядок важен) и сочетания (не важен).
  • Складывать вероятности можно только для несовместных событий, перемножать — только для независимых.
  • Медиану ищут в упорядоченном ряду.

Запомнить

«И» — умножаем, «или» — складываем. Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. «Хотя бы один» = 1 − «ни одного».

Проверь себя

1. C62=C_6^2=
  1. 12
  2. 15
  3. 30
  4. 36
Показать ответ

15 6⋅52\dfrac{6\cdot5}{2}.

2. 4!=4!=
  1. 4
  2. 16
  3. 24
  4. 10
Показать ответ

24 1⋅2⋅3⋅41\cdot2\cdot3\cdot4.

3. Вероятность выпадения «6» на кубике дважды подряд:
  1. 16\dfrac16
  2. 112\dfrac1{12}
  3. 136\dfrac1{36}
  4. 13\dfrac13
Показать ответ

136\dfrac1{36} 16⋅16\dfrac16\cdot\dfrac16.

4. Медиана ряда 7, 1, 3, 9, 5:
  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 5,5
Показать ответ

5 Упорядочим: 1, 3, 5, 7, 9.

5. Сумма коэффициентов (a+b)5(a+b)^5:
  1. 5
  2. 10
  3. 25
  4. 32
Показать ответ

32 252^5.

Связанные темы

12. Арифметическая и геометрическая прогрессии13. Начала анализа. Задачи на моделирование5. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ