Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения

Разбор темы

Неполные квадратные уравнения

$ax^2+bx=0\Rightarrow x(ax+b)=0$: $x=0$ или $x=-\frac ba$.

$ax^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac ca$: корни есть, только если $-\frac ca\ge0$.

Дробно-рациональные уравнения

1) Найдите ОДЗ: знаменатели $\ne0$. 2) Умножьте на общий знаменатель. 3) Решите целое уравнение. 4) Отбросьте корни вне ОДЗ.

Уравнения с модулем 8 класс

$|f(x)|=a$: при $a<0$ решений нет; при $a\ge0$: $f(x)=a$ или $f(x)=-a$.

$|f(x)|=g(x)$: решаем $f=g$ и $f=-g$, затем оставляем корни, где $g(x)\ge0$.

Уравнения вида $ax^2+b|x|+c=0$ решают заменой $t=|x|\ge0$ (так как $x^2=|x|^2$).

Биквадратные уравнения и замена 8 класс

$ax^4+bx^2+c=0$: замена $t=x^2\ge0$ даёт квадратное уравнение. Отрицательные $t$ отбрасываем, из положительных $x=\pm\sqrt t$.

Замена работает и для $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0$: $t=x^2+x$.

Уравнения с параметром 8–9 класс

Квадратное уравнение имеет два корня при $D>0$, один — при $D=0$, не имеет — при $D<0$. Если старший коэффициент содержит параметр, отдельно рассмотрите случай, когда он равен 0 (уравнение становится линейным).

Комплексные числа 11 класс

$i$ — число, для которого $i^2=-1$. Комплексное число $z=a+bi$; модуль $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$; сопряжённое $\bar z=a-bi$.

При $D<0$ квадратное уравнение имеет комплексные корни: $x^2+4=0\Rightarrow x=\pm2i$; $x^2-2x+5=0\Rightarrow x=1\pm2i$.

Степени $i$ повторяются через 4: $i,\ -1,\ -i,\ 1$.

Текстовые задачи на уравнения 6–8 класс

Алгоритм: 1) обозначьте неизвестное через $x$ (лучше то, о чём спрашивают); 2) выразите через $x$ остальные величины; 3) составьте уравнение из условия «равенства»; 4) решите и проверьте смысл (время и длина не отрицательны).