Тема 10

Линейные, квадратные, рациональные и другие неравенства

Что проверяют по спецификации:

Линейные и квадратные неравенстваМетод интерваловПростейшие тригонометрические неравенстваПростейшие иррациональные неравенстваПоказательные и логарифмические неравенства

Суть за минуту

Неравенства решают так же, как уравнения, но ответ — промежуток. Квадратные и рациональные неравенства удобно решать методом интервалов. В показательных и логарифмических важно основание: при

a>1

знак сохраняется, при

0<a<1

— меняется. Для логарифмов нельзя забывать ОДЗ.

Объясняем просто

Неравенство ищет не одно число, а целый промежуток чисел. Решают его почти как уравнение, но с одним важным правилом про знак.

Главное правило

При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $-2x>6\Rightarrow x<-3$ . Проверьте на числе: $x=-4$ : $8>6$ ✓.

Метод интервалов — «светофор знаков»

1) Найдите нули числителя и знаменателя. 2) Отметьте их на прямой — она разобьётся на участки. 3) На каждом участке знак выражения постоянен: проверьте одной точкой. 4) Выберите участки с нужным знаком.

Нули знаменателя всегда «выколотые» (пустые кружки).

Квадратное неравенство — смотрим на параболу

$x^2-5x+6<0$ : парабола ветвями вверх, корни 2 и 3. Ниже оси (меньше нуля) она между корнями: $2<x<3$ .

Показательные и логарифмические: «знак зависит от основания»

$a^{f}>a^{g}$ : если $a>1$ — $f>g$ (знак сохраняется), если $0<a<1$ — $f<g$ (знак меняется). Для логарифмов то же, плюс ОДЗ.

Главные формулы

-2x>6\Rightarrow x<-3

При умножении на отрицательное число знак меняется

a^{f}>a^{g}\iff\begin{cases}f>g,& a>1\\ f<g,& 0<a<1\end{cases}

Показательные неравенства

\log_af>\log_ag\iff\begin{cases}f>g>0,& a>1\\ 0<f<g,& 0<a<1\end{cases}

Логарифмические неравенства

\sin x>\dfrac12:\ \dfrac\pi6+2\pi n<x<\dfrac{5\pi}6+2\pi n

Простейшее тригонометрическое

\sqrt f<g\iff\begin{cases}f\ge0\\g>0\\f<g^2\end{cases}

Простейшее иррациональное

Понятия и термины

Метод интервалов: Отмечаем нули числителя и знаменателя, определяем знаки на промежутках
Выколотая точка: Нуль знаменателя — никогда не входит в ответ
Строгое / нестрогое: $<,>$ — концы не входят; $\le,\ge$ — входят (кроме нулей знаменателя)

Разбор темы

Метод интервалов

1) Перенесите всё в одну сторону и разложите на множители. 2) Отметьте нули на прямой. 3) Определите знак в крайнем правом промежутке и чередуйте знаки (если множитель в чётной степени — знак не меняется). 4) Выберите нужные промежутки.

Квадратное неравенство

Найдите корни, нарисуйте параболу. При $a>0$ : $ax^2+bx+c<0$ между корнями, $>0$ — снаружи.

Числовые промежутки 6 класс

$[a;b]$ — с концами, $(a;b)$ — без концов, $[a;+\infty)$ — луч. Объединение $\cup$ — «хотя бы одно», пересечение $\cap$ — «оба сразу».

Неравенства с модулем 8–9 класс

$|f|<a\Leftrightarrow-a<f<a$ (расстояние меньше $a$ — «внутри»). $|f|>a\Leftrightarrow f<-a$ или $f>a$ («снаружи»).

Рациональные неравенства 8 класс

$\dfrac{f}{g}\ge0$ : нули $f$ — закрашенные точки, нули $g$ — выколотые. Множители чётной степени ( $(x-1)^2$ ) не меняют знак при переходе через корень.

Примеры задач с решением

Задача 1Решите

x^2-5x+6<0

Корни $2$ и $3$ , ветви вверх.
Меньше нуля — между корнями.

Ответ

(2;3)

Задача 2Решите

\dfrac{(x+2)(x-1)}{x-4}\ge0

Нули: $-2$ , $1$ (закрашены), $4$ (выколот).
Знаки справа налево: $+,-,+,-$ .

Ответ

[-2;1]\cup(4;+\infty)

Задача 3Решите

0{,}5^x>4

$0{,}5^x=2^{-x}$ , $4=2^2$ : $2^{-x}>2^2$ .
$-x>2\Rightarrow x<-2$ .

Ответ

(-\infty;-2)

Задача 4Решите

\log_3(x-2)<2

ОДЗ: $x>2$ .
$x-2<9\Rightarrow x<11$ .

Ответ

(2;11)

Задача 5Решите

|x-3|\le2

$-2\le x-3\le2$ .
$1\le x\le5$ .

Ответ

[1;5]

Задача 6Решите

\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-4}\le0

Нули: $x=1$ (чётной кратности), $x=-2$ , $x=4$ (выколота).
Знаки справа налево: $(4;+\infty)$ «+», $(1;4)$ «−», $(-2;1)$ «−», $(-\infty;-2)$ «+».
Добавляем $x=1$ и $x=-2$ (равенство нулю).

Ответ

[-2;4)

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Решите

\dfrac{x^2-x-6}{x^2-1}\ge0

Идея: Метод интервалов: раскладываем числитель и знаменатель.

Раскладываем
$\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}\ge0$ .
Отмечаем точки
Закрашенные $-2$ и $3$ , выколотые $-1$ и $1$ . Порядок: $-2<-1<1<3$ .
Знаки
При $x>3$ все множители положительны — «+». Дальше знаки чередуются: $(1;3)$ «−», $(-1;1)$ «+», $(-2;-1)$ «−», $x<-2$ «+».
Выбираем «+» и нули числителя
$(-\infty;-2]\cup(-1;1)\cup[3;+\infty)$ .

Ответ

(-\infty;-2]\cup(-1;1)\cup[3;+\infty)

Задача 2Решите

\log_{0{,}5}(2x-1)>-2

Идея: Основание меньше 1 — знак меняется; плюс ОДЗ.

ОДЗ
$2x-1>0\Rightarrow x>\dfrac12$ .
Число справа — логарифм
$-2=\log_{0{,}5}4$ , так как $0{,}5^{-2}=4$ .
Снимаем логарифм, меняя знак
$2x-1<4\Rightarrow x<2{,}5$ .
С учётом ОДЗ
$\dfrac12<x<2{,}5$ .

Ответ

(0{,}5;\ 2{,}5)

Задача 3Решите

\left(\dfrac13\right)^{x^2-2x}\ge\dfrac1{27}

Идея: Одно основание $\dfrac13<1$ — при переходе к показателям знак меняется.

Одно основание
$\dfrac1{27}=\left(\dfrac13\right)^3$ .
Сравниваем показатели (знак меняем)
$x^2-2x\le3\Rightarrow x^2-2x-3\le0$ .
Решаем
Корни $-1$ и $3$ ; парабола ≤ 0 между корнями.

Ответ

[-1;3]

Частые ловушки на ЕНТ

Нуль знаменателя всегда выколот, даже при знаке $\ge$ .
Основание меньше 1 — знак неравенства меняется.
Логарифм: пересечение с ОДЗ обязательно.
Нули знаменателя никогда не входят в ответ.
Не умножайте неравенство на выражение с переменной — его знак неизвестен; используйте метод интервалов.

Запомнить

Нули на прямую, знаки справа налево, выколотые — знаменатель.

Проверь себя

x^2\le9

$x\le3$
$[-3;3]$
$(-3;3)$
$x\ge-3$

Показать ответ

$[-3;3]$ Между корнями, концы входят.

\left(\frac13\right)^x<9

$x<-2$
$x>-2$
$x<2$
$x>2$

Показать ответ

$x>-2$ $3^{-x}<3^2\Rightarrow-x<2$ .

\dfrac{x-1}{x+3}<0

$(-3;1)$
$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$
$[-3;1]$
$(1;3)$

Показать ответ

$(-3;1)$ Между нулями знак минус.

4. Решение

|x|>3

$(-3;3)$
$x>3$
$x<-3$ или $x>3$
$[-3;3]$

Показать ответ

$x<-3$ или $x>3$ «Снаружи» отрезка.

0{,}2^x<0{,}2^5

⇔

$x<5$
$x>5$
$x=5$
$x\le5$

Показать ответ

$x>5$ Основание меньше 1.

Связанные темы

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ