Тема 8

Системы линейных и нелинейных уравнений с двумя переменными

Что проверяют по спецификации:

Способ подстановкиСпособ сложенияГрафический способЧисло решений линейной системыНелинейные системы

Суть за минуту

Систему двух уравнений с двумя переменными решают подстановкой, сложением или графически. Решение — пара чисел (x;y)(x;y), удовлетворяющая обоим уравнениям. Графически это точка пересечения линий; у линейной системы может быть одно решение, ни одного или бесконечно много.

Объясняем просто

Система уравнений — это несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — такие xx и yy, которые подходят во все уравнения сразу. Геометрически — точки пересечения графиков.

Подстановка: «вырази и подставь»

Из одного уравнения выражаем одну переменную (y=5−xy=5-x) и подставляем в другое — остаётся уравнение с одной буквой.

Сложение: «уничтожь переменную»

Если в уравнениях есть +3y+3y и −3y-3y, сложите их — yy исчезнет. Если коэффициенты не противоположны, предварительно умножьте уравнение на число.

Сколько решений у линейной системы

Две прямые на плоскости: пересекаются (одно решение), параллельны (нет решений), совпадают (бесконечно много). Сравните коэффициенты: a1a2≠b1b2\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2} — одно решение.

Главные формулы

a1a2≠b1b2\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}
Одно решение (прямые пересекаются)
a1a2=b1b2≠c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}
Нет решений (прямые параллельны)
a1a2=b1b2=c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}
Бесконечно много решений (совпадают)
{x+y=Sxy=P⇒t2−St+P=0\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}\Rightarrow t^2-St+P=0
Симметричная система через Виета

Понятия и термины

Подстановка
Выражаем одну переменную и подставляем во второе уравнение
Сложение
Складываем уравнения, чтобы одна переменная исчезла
Графический способ
Строим графики и ищем точки пересечения

Разбор темы

Выбор способа

Если в уравнении есть переменная с коэффициентом 1 — подстановка. Если коэффициенты при одной переменной противоположны — сложение.

Для систем вида x+yx+y, xyxy удобно перейти к квадратному уравнению по теореме Виета.

Нелинейные системы

Выразите из линейного уравнения одну переменную и подставьте в нелинейное.

Число решений нелинейной системы может быть больше одного.

Текстовые задачи системами 6–9 класс

Удобно, когда в задаче две неизвестные величины: числа, скорости, цены. Каждое условие — одно уравнение.

Задачи на «двузначное число»: число =10a+b=10a+b, где aa — десятки, bb — единицы; число с переставленными цифрами =10b+a=10b+a.

Симметричные системы 9–10 класс

Если система не меняется при замене x↔yx\leftrightarrow y, вводят u=x+yu=x+y, v=xyv=xy. Помогают формулы x2+y2=u2−2vx^2+y^2=u^2-2v, x3+y3=u(u2−3v)x^3+y^3=u(u^2-3v).

Неравенства с двумя переменными 9 класс

y>x2y>x^2 — множество точек выше параболы; x2+y2≤4x^2+y^2\le4 — круг радиуса 2. Система неравенств — пересечение таких областей.

Примеры задач с решением

Задача 1Решите {2x+3y=12x−y=1\begin{cases}2x+3y=12\\x-y=1\end{cases}
  1. Из второго: x=y+1x=y+1.
  2. 2(y+1)+3y=12⇒5y=10⇒y=22(y+1)+3y=12\Rightarrow5y=10\Rightarrow y=2, x=3x=3.
Ответ (3;2)(3;2)
Задача 2Решите {x+y=5xy=6\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}
  1. xx и yy — корни t2−5t+6=0t^2-5t+6=0: t=2t=2 и t=3t=3.
Ответ (2;3), (3;2)(2;3),\ (3;2)
Задача 3Решите {x2+y2=25x−y=1\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=1\end{cases}
  1. x=y+1x=y+1: (y+1)2+y2=25⇒y2+y−12=0(y+1)^2+y^2=25\Rightarrow y^2+y-12=0.
  2. y=3⇒x=4y=3\Rightarrow x=4; y=−4⇒x=−3y=-4\Rightarrow x=-3.
Ответ (4;3), (−3;−4)(4;3),\ (-3;-4)
Задача 4Сумма двух чисел 20, разность 4. Найдите числа.
  1. x+y=20x+y=20, x−y=4x-y=4. Складываем: 2x=242x=24, x=12x=12, y=8y=8.
Ответ 12 и 8
Задача 5При каком aa система {2x+3y=54x+ay=1\begin{cases}2x+3y=5\\4x+ay=1\end{cases} не имеет решений?
  1. Параллельность: 24=3a≠51\dfrac24=\dfrac3a\ne\dfrac51.
  2. a=6a=6.
Ответ 6

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Решите систему {x+y=5xy=6\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases} и затем {x2+y2=13x+y=5\begin{cases}x^2+y^2=13\\x+y=5\end{cases}.

Идея: Первая — теорема Виета; во второй находим xyxy через квадрат суммы.

  1. Первая система по Виету
    x,yx,y — корни t2−5t+6=0t^2-5t+6=0: t=2t=2 и 33. Решения (2;3)(2;3) и (3;2)(3;2).
  2. Вторая: находим xyxy
    (x+y)2=x2+y2+2xy⇒25=13+2xy⇒xy=6(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\Rightarrow25=13+2xy\Rightarrow xy=6.
  3. Свелась к первой
    Те же решения (2;3)(2;3) и (3;2)(3;2).
Ответ (2;3), (3;2)(2;3),\ (3;2)
Задача 2Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр. Если к нему прибавить 27, получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите число.

Идея: Число 10a+b10a+b, перевёрнутое 10b+a10b+a.

  1. Первое условие
    10a+b=4(a+b)⇒6a=3b⇒b=2a10a+b=4(a+b)\Rightarrow6a=3b\Rightarrow b=2a.
  2. Второе условие
    10a+b+27=10b+a⇒9a−9b=−27⇒b−a=310a+b+27=10b+a\Rightarrow9a-9b=-27\Rightarrow b-a=3.
  3. Решаем
    2a−a=3⇒a=32a-a=3\Rightarrow a=3, b=6b=6.
  4. Проверка
    36=4⋅936=4\cdot9 ✓; 36+27=6336+27=63 ✓.
Ответ 36
Задача 3Решите {x2+y2=25y−x=1\begin{cases}x^2+y^2=25\\y-x=1\end{cases}.

Идея: Подстановка y=x+1y=x+1 в уравнение окружности.

  1. Подставляем
    x2+(x+1)2=25⇒2x2+2x−24=0⇒x2+x−12=0x^2+(x+1)^2=25\Rightarrow2x^2+2x-24=0\Rightarrow x^2+x-12=0.
  2. Корни
    x=3x=3 или x=−4x=-4.
  3. Находим yy
    y=4y=4 и y=−3y=-3.
Ответ (3;4), (−4;−3)(3;4),\ (-4;-3)

Частые ловушки на ЕНТ

  • Ответ — пара чисел, а не одно число.
  • В симметричных системах не забудьте обе пары (2;3)(2;3) и (3;2)(3;2).
  • Пропорциональные коэффициенты — признак параллельных или совпадающих прямых.
  • Записывайте решение системы парами (x;y)(x;y) — перепутанный порядок даёт неверный ответ.

Запомнить

Решение системы — точка пересечения графиков.

Проверь себя

1. Сколько решений у {x+2y=32x+4y=6\begin{cases}x+2y=3\\2x+4y=6\end{cases}?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. бесконечно много
Показать ответ

бесконечно много Второе уравнение — это первое, умноженное на 2.

2. {x+y=10x−y=4\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases}
  1. (7;3)(7;3)
  2. (3;7)(3;7)
  3. (6;4)(6;4)
  4. (5;5)(5;5)
Показать ответ

(7;3)(7;3) Сложим: 2x=142x=14.

3. Когда у {2x+y=14x+2y=c\begin{cases}2x+y=1\\4x+2y=c\end{cases} нет решений?
  1. c=2c=2
  2. c≠2c\ne2
  3. c=1c=1
  4. всегда
Показать ответ

c≠2c\ne2 24=12≠1c\frac24=\frac12\ne\frac1c при c≠2c\ne2.

4. Система x+y=1x+y=1, 2x+2y=22x+2y=2 имеет решений:
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. бесконечно много
Показать ответ

бесконечно много Уравнения равносильны — прямые совпадают.

5. Если x+y=4x+y=4, xy=3xy=3, то x2+y2=x^2+y^2=
  1. 10
  2. 16
  3. 13
  4. 7
Показать ответ

10 16−6=1016-6=10.

Связанные темы

5. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения9. Системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений11. Системы неравенств

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ