Тема 6

Тригонометрические и иррациональные уравнения

Что проверяют по спецификации:

Простейшие тригонометрические уравненияЗамена переменнойОднородные уравненияИррациональные уравнения, проверка корней

Суть за минуту

Простейшие тригонометрические уравнения sin⁡x=a\sin x=a, cos⁡x=a\cos x=a, tg⁡x=a\tg x=a решаются по готовым формулам и имеют бесконечно много корней. Сложные сводят к простейшим заменой переменной или делением на cos⁡x\cos x. Иррациональные уравнения решают возведением в квадрат, но затем обязательно проверяют корни.

Объясняем просто

Тригонометрическое уравнение почти всегда сводится к простейшему: sin⁡x=a\sin x=a, cos⁡x=a\cos x=a или tg⁡x=a\tg x=a. Решить простейшее — значит найти все точки на единичной окружности с нужной координатой и прибавить «полные обороты».

Почему ответ содержит πn\pi n или 2πn2\pi n

Синус повторяется каждые 2π2\pi (полный оборот). Если x=π6x=\dfrac\pi6 подходит, подходят и π6+2π\dfrac\pi6+2\pi, π6−2π\dfrac\pi6-2\pi… Запись +2πn, n∈Z+2\pi n,\ n\in\mathbb Z — это «и все такие же через оборот».

cos⁡x=a\cos x=a: ищем по горизонтали

Косинус — абсцисса. Проводим вертикальную линию x=ax=a: она пересекает окружность в двух симметричных точках ±arccos⁡a\pm\arccos a. Ответ: x=±arccos⁡a+2πnx=\pm\arccos a+2\pi n.

sin⁡x=a\sin x=a: ищем по вертикали

Горизонтальная линия y=ay=a даёт две точки: arcsin⁡a\arcsin a и π−arcsin⁡a\pi-\arcsin a. Общая запись: x=(−1)narcsin⁡a+πnx=(-1)^n\arcsin a+\pi n.

Иррациональные уравнения: проверка обязательна

Возводя в квадрат, мы «склеиваем» x=3\sqrt{x}=3 и x=−3\sqrt{x}=-3 — может появиться лишний корень. Поэтому в конце подставляем ответы в исходное уравнение.

Главные формулы

sin⁡x=a: x=(−1)narcsin⁡a+πn, ∣a∣≤1\sin x=a:\ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ |a|\le1
n∈Zn\in\mathbb Z
cos⁡x=a: x=±arccos⁡a+2πn, ∣a∣≤1\cos x=a:\ x=\pm\arccos a+2\pi n,\ |a|\le1
n∈Zn\in\mathbb Z
tg⁡x=a: x=arctg⁡a+πn\tg x=a:\ x=\arctg a+\pi n
при любом aa
sin⁡x=0⇒x=πn;cos⁡x=0⇒x=π2+πn\sin x=0\Rightarrow x=\pi n;\quad \cos x=0\Rightarrow x=\dfrac\pi2+\pi n
Частные случаи
f(x)=g(x)  ⟺  {f(x)=g2(x)g(x)≥0\sqrt{f(x)}=g(x)\iff \begin{cases}f(x)=g^2(x)\\ g(x)\ge0\end{cases}
Иррациональное уравнение

Понятия и термины

Арксинус
arcsin⁡a\arcsin a — угол из [−π2;π2]\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right], синус которого равен aa
Арккосинус
arccos⁡a\arccos a — угол из [0;π][0;\pi], косинус которого равен aa
Однородное уравнение
asin⁡x+bcos⁡x=0a\sin x+b\cos x=0: делим на cos⁡x\cos x

Разбор темы

Методы

Замена: 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2x-\sin x-1=0, t=sin⁡xt=\sin x, ∣t∣≤1|t|\le1.

Однородные: sin⁡x=3cos⁡x⇒tg⁡x=3\sin x=\sqrt3\cos x\Rightarrow\tg x=\sqrt3.

Если ∣a∣>1|a|>1, уравнения sin⁡x=a\sin x=a и cos⁡x=a\cos x=a корней не имеют.

Иррациональные уравнения

После возведения в квадрат могут появиться посторонние корни. Проверка подстановкой или условие g(x)≥0g(x)\ge0 обязательны.

Метод разложения на множители 10 класс

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: sin⁡x(2cos⁡x−1)=0⇒sin⁡x=0\sin x(2\cos x-1)=0\Rightarrow\sin x=0 или cos⁡x=12\cos x=\dfrac12.

Не делите на sin⁡x\sin x или cos⁡x\cos x — потеряете корни; выносите за скобку.

Универсальная подстановка и вспомогательный угол 10 класс

asin⁡x+bcos⁡x=ca\sin x+b\cos x=c решают введением угла: a2+b2sin⁡(x+φ)=c\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=c, где cos⁡φ=aa2+b2\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}. Например, sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π4)\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right).

Отсюда: уравнение имеет решения только при ∣c∣≤a2+b2|c|\le\sqrt{a^2+b^2}.

Тригонометрические неравенства 10 класс

sin⁡x>12\sin x>\dfrac12: на окружности дуга между π6\dfrac\pi6 и 5π6\dfrac{5\pi}6: π6+2πn<x<5π6+2πn\dfrac\pi6+2\pi n<x<\dfrac{5\pi}6+2\pi n.

cos⁡x≤a\cos x\le a: дуга «левее» вертикали x=ax=a, от arccos⁡a\arccos a до 2π−arccos⁡a2\pi-\arccos a.

Иррациональные уравнения: методы 11 класс

1) Уединить корень и возвести в квадрат. 2) Замена t=…t=\sqrt{\ldots}. 3) Равносильный переход: f=g⇔f=g2, g≥0\sqrt{f}=g\Leftrightarrow f=g^2,\ g\ge0.

Иррациональные неравенства: f<g⇔f≥0, g>0, f<g2\sqrt f<g\Leftrightarrow f\ge0,\ g>0,\ f<g^2.

Примеры задач с решением

Задача 1Решите 2cos⁡x−1=02\cos x-1=0.
  1. cos⁡x=12\cos x=\dfrac12.
  2. x=±arccos⁡12+2πn=±π3+2πnx=\pm\arccos\dfrac12+2\pi n=\pm\dfrac\pi3+2\pi n.
Ответ ±π3+2πn, n∈Z\pm\frac\pi3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z
Задача 2Решите 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2x-\sin x-1=0.
  1. t=sin⁡xt=\sin x: 2t2−t−1=02t^2-t-1=0, t1=1t_1=1, t2=−12t_2=-\dfrac12.
  2. sin⁡x=1⇒x=π2+2πn\sin x=1\Rightarrow x=\dfrac\pi2+2\pi n.
  3. sin⁡x=−12⇒x=(−1)n+1π6+πn\sin x=-\dfrac12\Rightarrow x=(-1)^{n+1}\dfrac\pi6+\pi n.
Ответ π2+2πn; (−1)n+1π6+πn\frac\pi2+2\pi n;\ (-1)^{n+1}\frac\pi6+\pi n
Задача 3Решите x+2=x\sqrt{x+2}=x.
  1. Условие x≥0x\ge0. Возводим в квадрат: x+2=x2x+2=x^2, x2−x−2=0x^2-x-2=0.
  2. x1=2x_1=2, x2=−1x_2=-1. Корень −1-1 не удовлетворяет x≥0x\ge0.
Ответ 2
Задача 4Решите sin⁡2x=cos⁡x\sin2x=\cos x.
  1. 2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=0⇒cos⁡x(2sin⁡x−1)=02\sin x\cos x-\cos x=0\Rightarrow\cos x(2\sin x-1)=0.
  2. cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac\pi2+\pi n; sin⁡x=12⇒x=(−1)nπ6+πn\sin x=\dfrac12\Rightarrow x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n.
Ответ π2+πn; (−1)nπ6+πn\dfrac\pi2+\pi n;\ (-1)^n\dfrac\pi6+\pi n
Задача 5Решите неравенство cos⁡x≥12\cos x\ge\dfrac12.
  1. arccos⁡12=π3\arccos\dfrac12=\dfrac\pi3; нужная дуга справа: от −π3-\dfrac\pi3 до π3\dfrac\pi3.
Ответ −π3+2πn≤x≤π3+2πn-\dfrac\pi3+2\pi n\le x\le\dfrac\pi3+2\pi n

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Решите 2cos⁡2x+3sin⁡x−3=02\cos^2x+3\sin x-3=0.

Идея: Через cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x получаем квадратное уравнение относительно sin⁡x\sin x.

  1. Всё через синус
    2(1−sin⁡2x)+3sin⁡x−3=0⇒−2sin⁡2x+3sin⁡x−1=0⇒2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02(1-\sin^2x)+3\sin x-3=0\Rightarrow-2\sin^2x+3\sin x-1=0\Rightarrow2\sin^2x-3\sin x+1=0.
  2. Замена t=sin⁡xt=\sin x, ∣t∣≤1|t|\le1
    2t2−3t+1=02t^2-3t+1=0: t=1t=1 или t=12t=\dfrac12.
  3. sin⁡x=1\sin x=1
    x=π2+2πnx=\dfrac\pi2+2\pi n.
  4. sin⁡x=12\sin x=\dfrac12
    x=(−1)nπ6+πnx=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n.
Ответ π2+2πn; (−1)nπ6+πn\dfrac\pi2+2\pi n;\ (-1)^n\dfrac\pi6+\pi n
Задача 2Решите однородное уравнение sin⁡2x−3sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x=0\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0.

Идея: Все слагаемые второй степени — делим на cos⁡2x\cos^2x.

  1. Проверяем cos⁡x=0\cos x=0
    Тогда sin⁡2x=1\sin^2x=1 и уравнение даёт 1=01=0 — неверно. Значит, cos⁡x≠0\cos x\ne0 и делить можно.
  2. Делим на cos⁡2x\cos^2x
    tg⁡2x−3tg⁡x+2=0\tg^2x-3\tg x+2=0.
  3. Решаем
    tg⁡x=1\tg x=1 или tg⁡x=2\tg x=2.
  4. Ответ
    x=π4+πnx=\dfrac\pi4+\pi n; x=arctg⁡2+πnx=\arctg2+\pi n.
Ответ π4+πn; arctg⁡2+πn\dfrac\pi4+\pi n;\ \arctg2+\pi n
Задача 3Решите 2x+3=x\sqrt{2x+3}=x.

Идея: Возводим в квадрат и обязательно проверяем: правая часть должна быть ≥0\ge0.

  1. Условие
    x≥0x\ge0 (корень неотрицателен).
  2. Возводим в квадрат
    2x+3=x2⇒x2−2x−3=0⇒x=32x+3=x^2\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3 или x=−1x=-1.
  3. Отбор
    x=−1<0x=-1<0 — посторонний (проверка: 1=1≠−1\sqrt1=1\ne-1). x=3x=3: 9=3\sqrt9=3 ✓.
Ответ 3
Задача 4Решите x+5+x=5\sqrt{x+5}+\sqrt{x}=5.

Идея: Уединяем один корень и возводим в квадрат.

  1. Уединяем
    x+5=5−x\sqrt{x+5}=5-\sqrt x, нужно 5−x≥05-\sqrt x\ge0.
  2. Возводим в квадрат
    x+5=25−10x+x⇒10x=20⇒x=2x+5=25-10\sqrt x+x\Rightarrow10\sqrt x=20\Rightarrow\sqrt x=2.
  3. Находим xx и проверяем
    x=4x=4: 9+4=3+2=5\sqrt9+\sqrt4=3+2=5 ✓.
Ответ 4

Частые ловушки на ЕНТ

  • Для cos⁡x=a\cos x=a период 2πn2\pi n, а не πn\pi n.
  • sin⁡x=2\sin x=2 корней не имеет.
  • В иррациональных уравнениях проверка обязательна.
  • Для sin⁡x=a\sin x=a и cos⁡x=a\cos x=a при ∣a∣>1|a|>1 решений нет.

Запомнить

sin⁡\sin — (−1)n(-1)^n и πn\pi n; cos⁡\cos — ±\pm и 2πn2\pi n; tg⁡\tg — просто πn\pi n.

Проверь себя

1. cos⁡x=0\cos x=0:
  1. πn\pi n
  2. π2+πn\frac\pi2+\pi n
  3. 2πn2\pi n
  4. π2+2πn\frac\pi2+2\pi n
Показать ответ

π2+πn\frac\pi2+\pi n Частный случай.

2. 2x−1=3\sqrt{2x-1}=3:
  1. 2
  2. 4
  3. 5
  4. ±5\pm5
Показать ответ

5 2x−1=92x-1=9.

3. tg⁡x=1\tg x=1:
  1. π4+πn\frac\pi4+\pi n
  2. π4+2πn\frac\pi4+2\pi n
  3. ±π4+2πn\pm\frac\pi4+2\pi n
  4. π2+πn\frac\pi2+\pi n
Показать ответ

π4+πn\frac\pi4+\pi n arctg⁡1=π4\arctg1=\frac\pi4.

4. Сколько решений у cos⁡x=1,2\cos x=1{,}2?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. бесконечно много
Показать ответ

0 ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le1.

5. Корни x=x−2\sqrt{x}=x-2:
  1. 1 и 4
  2. 4
  3. 1
  4. нет
Показать ответ

4 x=1x=1 — посторонний: 1≠−11\ne-1.

Связанные темы

3. Тригонометрия5. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения9. Системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ