Тема 4

Алгебраические выражения и их преобразования

Что проверяют по спецификации:

Формулы сокращённого умноженияСтепень дробиРазложение многочлена на множителиУпрощение алгебраических выражений

Суть за минуту

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) и разложение на множители — основной инструмент упрощения выражений. Почти любая дробь на ЕНТ сокращается после того, как числитель и знаменатель разложены на множители.

Объясняем просто

Алгебраическое выражение — это «рецепт» вычисления с буквами. Упростить — значит переписать рецепт короче, не меняя результата при любых допустимых значениях букв.

Подобные слагаемые — одинаковая «буквенная часть»

3x2y3x^2y и −5x2y-5x^2y — подобные (буквенная часть x2yx^2y), их складывают как числа: −2x2y-2x^2y. А 3x2y3x^2y и 3xy23xy^2 — разные.

Формулы сокращённого умножения — готовые ответы

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 — квадрат суммы: «квадрат первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго».

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) — самая полезная формула: 99⋅101=1002−1=999999\cdot101=100^2-1=9999.

Разложить на множители — как «разобрать» число

12=2⋅2⋅312=2\cdot2\cdot3. Так и x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Порядок действий: 1) вынести общий множитель; 2) попробовать формулы; 3) группировка; 4) для квадратного трёхчлена — корни.

Дробь сокращают только на множитель

x2−4x+2=(x−2)(x+2)x+2=x−2\dfrac{x^2-4}{x+2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2 — можно. А в x+2x+5\dfrac{x+2}{x+5} «двойки и пятёрки» сокращать нельзя — это слагаемые.

Главные формулы

(a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2
Квадрат суммы и разности
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Разность квадратов
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3
Куб суммы и разности
a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)
Сумма и разность кубов
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
Разложение квадратного трёхчлена

Понятия и термины

Многочлен
Сумма одночленов
Вынесение общего множителя
6x2−9x=3x(2x−3)6x^2-9x=3x(2x-3)
Группировка
ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)

Разбор темы

Порядок разложения

1) Вынести общий множитель. 2) Применить ФСУ. 3) Сгруппировать. 4) Для квадратного трёхчлена — найти корни.

Перед сокращением дроби обязательно разложите и числитель, и знаменатель.

Удобный счёт

ФСУ ускоряют вычисления: 1012−992=(101−99)(101+99)=400101^2-99^2=(101-99)(101+99)=400; 492=(50−1)2=240149^2=(50-1)^2=2401.

Одночлены и многочлены 7 класс

Одночлен — произведение чисел и степеней переменных: −3a2b3-3a^2b^3, его степень 2+3=52+3=5. Многочлен — сумма одночленов; степень многочлена — наибольшая степень его членов.

Умножение многочленов: каждый член первого умножаем на каждый член второго: (x+2)(x2−x+3)=x3+x2+x+6(x+2)(x^2-x+3)=x^3+x^2+x+6.

Выделение полного квадрата 8 класс

x2+6x+11=(x2+6x+9)+2=(x+3)2+2x^2+6x+11=(x^2+6x+9)+2=(x+3)^2+2. Отсюда сразу видно: наименьшее значение выражения равно 2 (при x=−3x=-3).

Квадратный трёхчлен раскладывается через корни: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Деление многочленов и теорема Безу 10 класс

Многочлен делят «уголком», как числа. Остаток от деления P(x)P(x) на (x−a)(x-a) равен P(a)P(a) — теорема Безу.

Следствие: если P(a)=0P(a)=0, то P(x)P(x) делится на (x−a)(x-a). Целые корни многочлена с целыми коэффициентами ищут среди делителей свободного члена.

Схема Горнера 10 класс

Быстрое деление на (x−a)(x-a): выписываем коэффициенты, первый сносим вниз, затем каждое число = (предыдущее нижнее × aa) + верхнее. Последнее число — остаток.

Пример: x3−6x2+11x−6x^3-6x^2+11x-6 на (x−1)(x-1): коэффициенты 1, −6, 11, −6 → 1, −5, 6, 0. Частное x2−5x+6x^2-5x+6, остаток 0.

Алгебраические дроби 7 класс

ОДЗ: знаменатель ≠0\ne0. Сложение — через общий знаменатель, умножение — «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель», деление — умножение на перевёрнутую дробь.

Перед сложением разложите знаменатели на множители — общий знаменатель будет меньше.

Примеры задач с решением

Задача 1Сократите x2−9x2+6x+9\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}.
  1. x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3), x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2.
  2. Сокращаем на x+3x+3 (при x≠−3x\ne-3).
Ответ x−3x+3\dfrac{x-3}{x+3}
Задача 2Разложите 2x2−5x+32x^2-5x+3 на множители.
  1. D=25−24=1D=25-24=1, x1=1x_1=1, x2=32x_2=\dfrac32.
  2. 2(x−1)(x−32)=(x−1)(2x−3)2(x-1)\left(x-\dfrac32\right)=(x-1)(2x-3).
Ответ (x−1)(2x−3)(x-1)(2x-3)
Задача 3Упростите (a+b)2−(a−b)2(a+b)^2-(a-b)^2.
  1. Разность квадратов: ((a+b)−(a−b))((a+b)+(a−b))\big((a+b)-(a-b)\big)\big((a+b)+(a-b)\big).
  2. 2b⋅2a=4ab2b\cdot2a=4ab.
Ответ 4ab4ab
Задача 4Найдите остаток от деления P(x)=x4−3x3+2x−5P(x)=x^4-3x^3+2x-5 на x−2x-2.
  1. По теореме Безу остаток =P(2)=P(2).
  2. 16−24+4−5=−916-24+4-5=-9.
Ответ −9-9
Задача 5Найдите наименьшее значение x2−8x+20x^2-8x+20.
  1. x2−8x+16+4=(x−4)2+4x^2-8x+16+4=(x-4)^2+4.
  2. Квадрат ≥0\ge0, минимум при x=4x=4.
Ответ 4

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Решите x3−2x2−5x+6=0x^3-2x^2-5x+6=0.

Идея: Ищем целый корень среди делителей свободного члена, потом делим по Горнеру.

  1. Кандидаты в целые корни
    Делители 6: ±1,±2,±3,±6\pm1,\pm2,\pm3,\pm6.
  2. Проверяем x=1x=1
    1−2−5+6=01-2-5+6=0 — корень найден.
  3. Делим по Горнеру на (x−1)(x-1)
    Коэффициенты 1, −2, −5, 6 → 1, −1, −6, 0. Частное: x2−x−6x^2-x-6.
  4. Решаем квадратное
    x2−x−6=0x^2-x-6=0: x=3x=3 или x=−2x=-2.
Ответ −2; 1; 3-2;\ 1;\ 3
Задача 2Упростите (aa−b−aa+b):2aba2−b2\left(\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{a}{a+b}\right):\dfrac{2ab}{a^2-b^2}.

Идея: Общий знаменатель скобки совпадает с a2−b2a^2-b^2.

  1. Общий знаменатель
    a(a+b)−a(a−b)(a−b)(a+b)=a2+ab−a2+aba2−b2=2aba2−b2\dfrac{a(a+b)-a(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{a^2+ab-a^2+ab}{a^2-b^2}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}.
  2. Делим
    2aba2−b2:2aba2−b2=1\dfrac{2ab}{a^2-b^2}:\dfrac{2ab}{a^2-b^2}=1.
Ответ 1
Задача 3Разложите на множители x4+4x^4+4.

Идея: Дополняем до полного квадрата и применяем разность квадратов.

  1. Добавляем и вычитаем 4x24x^2
    x4+4x2+4−4x2=(x2+2)2−(2x)2x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2.
  2. Разность квадратов
    (x2+2−2x)(x2+2+2x)=(x2−2x+2)(x2+2x+2)(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).
Ответ (x2−2x+2)(x2+2x+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

Частые ловушки на ЕНТ

  • (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2\ne a^2+b^2 — не забывайте 2ab2ab.
  • a2+b2a^2+b^2 на множители (с действительными числами) не раскладывается.
  • Сокращать можно только множители, а не слагаемые.
  • (a−b)2=(b−a)2(a-b)^2=(b-a)^2, но a−b=−(b−a)a-b=-(b-a) — следите за знаком при сокращении.

Запомнить

«Квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго».

Проверь себя

1. (2x−3)2=(2x-3)^2=
  1. 4x2−94x^2-9
  2. 4x2−12x+94x^2-12x+9
  3. 4x2−6x+94x^2-6x+9
  4. 2x2−12x+92x^2-12x+9
Показать ответ

4x2−12x+94x^2-12x+9 Удвоенное произведение 2⋅2x⋅3=12x2\cdot2x\cdot3=12x.

2. a3−8=a^3-8=
  1. (a−2)(a2+2a+4)(a-2)(a^2+2a+4)
  2. (a−2)3(a-2)^3
  3. (a−2)(a2−2a+4)(a-2)(a^2-2a+4)
  4. (a+2)(a2−2a+4)(a+2)(a^2-2a+4)
Показать ответ

(a−2)(a2+2a+4)(a-2)(a^2+2a+4) Разность кубов.

3. a2−b2a+b=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}=
  1. a+ba+b
  2. a−ba-b
  3. a2−ba^2-b
  4. 11
Показать ответ

a−ba-b (a−b)(a+b)/(a+b)(a-b)(a+b)/(a+b).

4. Остаток от деления x3+1x^3+1 на x+1x+1:
  1. 2
  2. 0
  3. 1
  4. −2
Показать ответ

0 P(−1)=−1+1=0P(-1)=-1+1=0.

5. x2+10x+30=(x+5)2+ ?x^2+10x+30=(x+5)^2+\ ?
  1. 5
  2. 25
  3. 30
  4. −5
Показать ответ

5 30−25=530-25=5.

Связанные темы

1. Действия с радикалами. Числовые, буквенные, дробные и целые выражения2. Действия со степенями5. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ