Тема 15

Метрические соотношения. Векторы и преобразования

Что проверяют по спецификации:

Теорема ПифагораТеоремы синусов и косинусовПлощади фигурПодобиеВекторы на плоскостиДвижения и гомотетия

Суть за минуту

Метрические соотношения позволяют вычислять стороны, углы и площади: теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, формулы площадей. Векторы задают направление и длину, их сравнивают через скалярное произведение. Преобразования плоскости — симметрия, поворот, параллельный перенос и гомотетия.

Объясняем просто

Метрические соотношения — это способы находить длины, углы и площади. Выбор формулы зависит от того, что известно: прямой угол — Пифагор, две стороны и угол — теорема косинусов, сторона и противолежащий угол — теорема синусов.

Пифагор — «квадраты катетов складываются»

$a^2+b^2=c^2$ . «Египетский треугольник» 3-4-5 и его кратные (6-8-10, 9-12-15), а также 5-12-13 и 8-15-17 встречаются в задачах постоянно.

Теорема косинусов — «Пифагор с поправкой»

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ . Если $C=90^\circ$ , $\cos C=0$ — получаем Пифагора. Тупой угол делает сторону длиннее, острый — короче.

Подобие — «копия в масштабе»

Подобные фигуры — увеличенная или уменьшенная копия. Если стороны в $k$ раз больше, то площадь в $k^2$ раз больше (как у фотографии 10×15 и 20×30).

Координаты превращают геометрию в алгебру

Расстояние между точками — это Пифагор: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ . Середина отрезка — среднее арифметическое координат.

Главные формулы

c^2=a^2+b^2

Теорема Пифагора

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Теорема косинусов

\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R

Теорема синусов

S=\dfrac12ah=\dfrac12ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Площадь треугольника

S=pr=\dfrac{abc}{4R}

Через радиусы вписанной и описанной окружностей

\dfrac{S_1}{S_2}=k^2

Площади подобных фигур

\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a||\vec b|\cos\varphi

Скалярное произведение

Понятия и термины

Подобие: Углы равны, стороны пропорциональны с коэффициентом $k$
Коллинеарные векторы: Лежат на параллельных прямых: координаты пропорциональны
Гомотетия: Растяжение от центра в $k$ раз

Разбор темы

Какую теорему выбрать

Известны две стороны и угол между ними — теорема косинусов. Известны сторона и противолежащий угол — теорема синусов.

Известны три стороны — формула Герона для площади, теорема косинусов для углов.

Векторы

$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$ . Векторы перпендикулярны, если $\vec a\cdot\vec b=0$ .

При сложении — правило треугольника или параллелограмма, при умножении на число длина умножается на $|k|$ .

Метод координат на плоскости 8 класс

Середина: $\left(\dfrac{x_1+x_2}2;\dfrac{y_1+y_2}2\right)$ . Точка, делящая отрезок в отношении $\lambda=m:n$ : $x=\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}$ .

Уравнение окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ . Уравнение прямой: $ax+by+c=0$ или $y=kx+b$ ; прямая через две точки: $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$ .

Соотношения в прямоугольном треугольнике 8 класс

Высота к гипотенузе: $h^2=a_cb_c$ (проекции катетов); катет $a^2=c\cdot a_c$ .

Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы; центр описанной окружности — середина гипотенузы.

Радиусы и площади 9 класс

$S=\dfrac12ab\sin C$ ; формула Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ; $S=pr$ ; $S=\dfrac{abc}{4R}$ ; по теореме синусов $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ .

Правильный треугольник со стороной $a$ : $S=\dfrac{a^2\sqrt3}4$ , $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$ , $r=\dfrac{a}{2\sqrt3}$ . Правильный шестиугольник: сторона равна $R$ .

Подобие и биссектриса 9 класс

Признаки подобия: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам.

Свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}$ .

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Векторы и движения 9 класс

Вектор раскладывается по двум неколлинеарным векторам: $\vec c=x\vec a+y\vec b$ . Коллинеарность: координаты пропорциональны.

Движения (симметрии, поворот, параллельный перенос) сохраняют расстояния; гомотетия с коэффициентом $k$ меняет длины в $|k|$ раз.

Примеры задач с решением

Задача 1В треугольнике

b=5

c=8

\angle A=60^\circ

. Найдите

a

$a^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=49$ .

Ответ 7

Задача 2Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15.

$p=21$ .
$S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$ .

Ответ 84

Задача 3Векторы

\vec a(3;4)

\vec b(4;-3)

. Найдите

|\vec a|

и угол между векторами.

$|\vec a|=\sqrt{9+16}=5$ .
$\vec a\cdot\vec b=12-12=0$ — векторы перпендикулярны.

Ответ

5;\ 90^\circ

Задача 4Подобные треугольники с коэффициентом

\frac23

. Площадь меньшего 8. Найдите площадь большего.

$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac49\Rightarrow S_2=8\cdot\dfrac94=18$ .

Ответ 18

Задача 5Найдите центр и радиус окружности

x^2+y^2-6x+4y-12=0

Выделяем квадраты: $(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-12=0$ .
$(x-3)^2+(y+2)^2=25$ .

Ответ Центр

(3;-2)

r=5

Задача 6Стороны треугольника 13, 14, 15. Найдите площадь,

R

r

$p=21$ ; $S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$ .
$r=\dfrac Sp=4$ ; $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{2730}{336}=8{,}125$ .

Ответ

S=84

r=4

R=8{,}125

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1В треугольнике

AB=6

BC=10

\angle B=120^\circ

. Найдите

AC

, площадь и радиус описанной окружности.

Идея: Две стороны и угол между ними — теорема косинусов.

Теорема косинусов
$AC^2=36+100-2\cdot6\cdot10\cdot\cos120^\circ=136+60=196$ , $AC=14$ .
Площадь
$S=\dfrac12\cdot6\cdot10\cdot\sin120^\circ=30\cdot\dfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3$ .
Радиус по теореме синусов
$2R=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{14}{\sqrt3/2}=\dfrac{28}{\sqrt3}$ , $R=\dfrac{14}{\sqrt3}=\dfrac{14\sqrt3}3$ .

Ответ

AC=14

S=15\sqrt3

R=\dfrac{14\sqrt3}3

Задача 2В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на отрезки 4 и 9. Найдите высоту, катеты и площадь.

Идея: $h^2$ = произведению проекций; катет² = гипотенуза × своя проекция.

Высота
$h=\sqrt{4\cdot9}=6$ .
Гипотенуза и катеты
$c=13$ ; $a=\sqrt{13\cdot4}=2\sqrt{13}$ , $b=\sqrt{13\cdot9}=3\sqrt{13}$ .
Площадь
$S=\dfrac12\cdot13\cdot6=39$ .

Ответ

h=6

2\sqrt{13}

3\sqrt{13}

S=39

Задача 3Треугольник

ABC

A(1;1)

B(4;5)

C(7;1)

. Докажите, что он равнобедренный, и найдите его площадь.

Идея: Длины сторон по формуле расстояния; высота — из вершины к основанию.

Стороны
$AB=\sqrt{9+16}=5$ ; $BC=\sqrt{9+16}=5$ ; $AC=6$ . $AB=BC$ — равнобедренный.
Высота
Середина $AC$ : $M(4;1)$ ; $BM=4$ .
Площадь
$S=\dfrac12\cdot6\cdot4=12$ .

Ответ

S=12

Задача 4Площадь треугольника 48. Через середины двух сторон провели среднюю линию. Найдите площадь отсечённого треугольника и трапеции.

Идея: Отсечённый треугольник подобен исходному с $k=\dfrac12$ .

Коэффициент
Средняя линия вдвое короче стороны: $k=\dfrac12$ .
Отношение площадей
$k^2=\dfrac14$ : $S_1=12$ .
Трапеция
$48-12=36$ .

Ответ 12 и 36

Частые ловушки на ЕНТ

Отношение площадей подобных фигур — $k^2$ , а не $k$ .
В теореме косинусов знак «минус» перед $2bc\cos A$ .
Теорема синусов даёт $2R$ , а не $R$ .

Запомнить

Две стороны и угол — косинусы; сторона и противолежащий угол — синусы.

Проверь себя

1. Катеты 6 и 8. Гипотенуза:

10
14
12
$\sqrt{28}$

Показать ответ

10 $\sqrt{36+64}$ .

S=\frac12\cdot4\cdot5\cdot\sin30^\circ=

Показать ответ

5 $10\cdot\frac12$ .

\vec a(1;2)

\vec b(4;-2)

\vec a\cdot\vec b=

0
8
6
$-4$

Показать ответ

0 $4-4=0$ .

4. Расстояние между

(1;2)

(4;6)

5
7
25
$\sqrt7$

Показать ответ

5 $\sqrt{9+16}$ .

5. Площади подобных треугольников относятся как 9 : 16. Стороны:

9 : 16
3 : 4
81 : 256
1 : 2

Показать ответ

3 : 4 $k=\sqrt{9/16}$ .

Связанные темы

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ