Тема 17

Метрические соотношения в пространстве

Что проверяют по спецификации:

Объёмы многогранниковОбъёмы тел вращенияПлощади поверхностейРасстояния и углы в пространстве

Суть за минуту

В метрических задачах стереометрии находят объёмы, площади поверхностей, расстояния и углы. Объём призмы и цилиндра — площадь основания на высоту, пирамиды и конуса — в три раза меньше. Для шара нужны формулы V=43πR3V=\frac43\pi R^3 и S=4πR2S=4\pi R^2.

Объясняем просто

Объём — «сколько воды поместится внутрь», площадь поверхности — «сколько бумаги нужно, чтобы обклеить». Почти все формулы объёма устроены одинаково: площадь основания × высота, а для «заострённых» тел (пирамида, конус) — ещё делить на 3.

Почему у пирамиды 13\dfrac13

Треугольную призму можно разрезать на три пирамиды равного объёма, одна из которых имеет то же основание и ту же высоту. Поэтому Vпир=13SоснhV_{\text{пир}}=\dfrac13S_{\text{осн}}h. С конусом и цилиндром — то же самое.

Шар запомнить легко

V=43πR3V=\dfrac43\pi R^3, S=4πR2S=4\pi R^2 — площадь сферы ровно в 4 раза больше площади большого круга.

Масштаб в пространстве

Увеличили все размеры в kk раз — площадь поверхности растёт в k2k^2, объём в k3k^3 раз. Арбуз вдвое больше по диаметру весит в 8 раз больше.

Главные формулы

V=Sосн⋅hV=S_{\text{осн}}\cdot h
Призма, цилиндр
V=13Sосн⋅hV=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h
Пирамида, конус
Sбок=2πrh,V=πr2hS_{\text{бок}}=2\pi rh,\quad V=\pi r^2h
Цилиндр
Sбок=πrl,l=r2+h2S_{\text{бок}}=\pi rl,\quad l=\sqrt{r^2+h^2}
Конус
V=43πR3,S=4πR2V=\dfrac43\pi R^3,\quad S=4\pi R^2
Шар и сфера
Sбок=12Pосн⋅haS_{\text{бок}}=\dfrac12P_{\text{осн}}\cdot h_a
Правильная пирамида (hah_a — апофема)

Понятия и термины

Апофема
Высота боковой грани правильной пирамиды
Образующая конуса
Отрезок от вершины до окружности основания
Осевое сечение
Сечение плоскостью, проходящей через ось тела вращения

Разбор темы

Как не путаться

«Треть» есть только у тел с вершиной: пирамиды и конуса.

Площадь полной поверхности = боковая + основания (у цилиндра два основания, у конуса одно).

Расстояния и углы

Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Угол между боковой гранью и основанием правильной пирамиды — угол между апофемой и радиусом вписанной в основание окружности.

Усечённые тела 11 класс

Объём усечённой пирамиды V=13h(S1+S2+S1S2)V=\dfrac13h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}), усечённого конуса V=13πh(R2+Rr+r2)V=\dfrac13\pi h(R^2+Rr+r^2).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса S=π(R+r)lS=\pi(R+r)l.

Углы и расстояния 10 класс

Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией. Двугранный угол измеряют линейным углом: проводим в обеих гранях перпендикуляры к ребру из одной точки.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра; между скрещивающимися прямыми — длина общего перпендикуляра.

Примеры задач с решением

Задача 1Конус: r=3r=3, h=4h=4. Найдите SбокS_{\text{бок}} и VV.
  1. l=9+16=5l=\sqrt{9+16}=5.
  2. Sбок=π⋅3⋅5=15πS_{\text{бок}}=\pi\cdot3\cdot5=15\pi, V=13π⋅9⋅4=12πV=\frac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi.
Ответ 15π; 12π15\pi;\ 12\pi
Задача 2Объём шара 36π36\pi. Найдите площадь его поверхности.
  1. 43πR3=36π⇒R3=27\frac43\pi R^3=36\pi\Rightarrow R^3=27, R=3R=3.
  2. S=4π⋅9=36πS=4\pi\cdot9=36\pi.
Ответ 36π36\pi
Задача 3Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Найдите SбокS_{\text{бок}} и VV.
  1. Апофема ha=42+32=5h_a=\sqrt{4^2+3^2}=5.
  2. Sбок=12⋅24⋅5=60S_{\text{бок}}=\frac12\cdot24\cdot5=60, V=13⋅36⋅4=48V=\frac13\cdot36\cdot4=48.
Ответ 60; 4860;\ 48

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Конус: радиус основания 6, образующая 10. Найдите объём и площадь полной поверхности.

Идея: Высоту находим по Пифагору из осевого сечения.

  1. Высота
    h=102−62=8h=\sqrt{10^2-6^2}=8.
  2. Объём
    V=13π⋅36⋅8=96πV=\dfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi.
  3. Поверхность
    S=πr2+πrl=36π+60π=96πS=\pi r^2+\pi rl=36\pi+60\pi=96\pi.
Ответ V=96πV=96\pi, S=96πS=96\pi
Задача 2В шар радиуса 5 вписан цилиндр с радиусом основания 3. Найдите объём цилиндра.

Идея: Осевое сечение: прямоугольник, вписанный в круг; диагональ — диаметр шара.

  1. Половина высоты
    (h2)2+32=52⇒h2=4\left(\dfrac h2\right)^2+3^2=5^2\Rightarrow\dfrac h2=4, h=8h=8.
  2. Объём
    V=π⋅9⋅8=72πV=\pi\cdot9\cdot8=72\pi.
Ответ 72π72\pi

Частые ловушки на ЕНТ

  • Не забудьте 13\frac13 у пирамиды и конуса.
  • Апофема пирамиды не равна её высоте.
  • У цилиндра два основания: Sполн=2πr(r+h)S_{\text{полн}}=2\pi r(r+h).

Запомнить

Призма и цилиндр — ShSh, пирамида и конус — 13Sh\frac13Sh, шар — 43πR3\frac43\pi R^3.

Проверь себя

1. Объём куба с ребром 3:
  1. 9
  2. 27
  3. 18
  4. 54
Показать ответ

27 333^3.

2. Цилиндр r=2r=2, h=5h=5. Объём:
  1. 10π10\pi
  2. 20π20\pi
  3. 40π40\pi
  4. 4π4\pi
Показать ответ

20π20\pi π⋅4⋅5\pi\cdot4\cdot5.

3. Площадь сферы радиуса 1:
  1. π\pi
  2. 2π2\pi
  3. 4π4\pi
  4. 43π\frac43\pi
Показать ответ

4π4\pi 4πR24\pi R^2.

4. Радиус шара увеличили в 2 раза. Объём увеличился в:
  1. 2 раза
  2. 4 раза
  3. 8 раз
  4. 6 раз
Показать ответ

8 раз k3k^3.

Связанные темы

16. Геометрические фигуры в пространстве18. Векторы и преобразования в пространстве15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ