Тема 13

Начала анализа. Задачи на моделирование

Что проверяют по спецификации:

Производная и её смыслКасательная к графикуВозрастание, убывание, экстремумыПервообразная и интегралЗадачи на оптимизацию

Суть за минуту

Производная показывает скорость изменения функции. Геометрически f′(x0)f'(x_0) — угловой коэффициент касательной, физически — мгновенная скорость. По знаку производной находят промежутки возрастания и убывания и точки экстремума. Первообразная и интеграл — обратная операция: с их помощью находят площади.

Объясняем просто

Производная — это «спидометр» функции: она показывает, как быстро меняется значение в данной точке. Если производная положительна — функция растёт, отрицательна — убывает, равна нулю — «вершина» или «впадина».

Производная как наклон

Проведите касательную к графику в точке: её крутизна (тангенс угла наклона) и есть f′(x0)f'(x_0). Горизонтальная касательная — производная 0.

Как исследовать функцию за 4 шага

1) Находим f′(x)f'(x). 2) Решаем f′(x)=0f'(x)=0 — получаем «подозрительные» точки. 3) Расставляем знаки f′f' на интервалах. 4) «+» — растёт, «−» — убывает; смена «+» на «−» — максимум, «−» на «+» — минимум.

Интеграл — «обратная перемотка»

Знаем скорость — находим путь. Первообразная FF — это функция, производная которой равна ff. Определённый интеграл — площадь под графиком: ∫abf dx=F(b)−F(a)\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a).

Предел — к чему «стремится»

lim⁡x→2(x2+1)=5\lim_{x\to2}(x^2+1)=5: чем ближе xx к 2, тем ближе значение к 5. Неопределённость 00\dfrac00 раскрывают сокращением: x2−4x−2=x+2→4\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4.

Главные формулы

(xn)′=nxn−1, (C)′=0(x^n)'=nx^{n-1},\ (C)'=0
Степень и константа
(sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x, (tg⁡x)′=1cos⁡2x(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tg x)'=\dfrac1{\cos^2x}
Тригонометрические
(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1x, (ax)′=axln⁡a(e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\dfrac1x,\ (a^x)'=a^x\ln a
Показательные и логарифм
(uv)′=u′v+uv′, (uv)′=u′v−uv′v2(uv)'=u'v+uv',\ \left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Произведение и частное
(f(g(x)))′=f′(g)⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g)\cdot g'(x)
Сложная функция
y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)
Уравнение касательной
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)
Формула Ньютона — Лейбница

Понятия и термины

Критическая точка
Точка, где f′(x)=0f'(x)=0 или не существует
Экстремум
Максимум: f′f' меняет знак с «+» на «−»; минимум — с «−» на «+»
Первообразная
F(x)F(x), для которой F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)
Скорость и ускорение
v(t)=s′(t)v(t)=s'(t), a(t)=v′(t)a(t)=v'(t)

Разбор темы

Исследование функции

1) Найдите f′(x)f'(x). 2) Решите f′(x)=0f'(x)=0. 3) Определите знаки f′f' на промежутках. 4) Сделайте вывод о возрастании, убывании и экстремумах.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке: сравните значения в критических точках внутри отрезка и на его концах.

Моделирование

Задачу на оптимизацию переводят в функцию одной переменной и ищут её максимум или минимум с помощью производной.

Пример: из всех прямоугольников с периметром 20 наибольшую площадь имеет квадрат 5×55\times5.

Предел и непрерывность 10 класс

Функция непрерывна в точке, если её предел равен значению: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a); график «рисуется без отрыва карандаша».

На бесконечности: lim⁡x→∞3x2+1x2−5=3\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=3 — делим на старшую степень. Первый замечательный предел: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.

Асимптоты: вертикальная x=ax=a (где знаменатель 0), горизонтальная y=lim⁡x→∞f(x)y=\lim_{x\to\infty}f(x).

Физический смысл и вторая производная 10 класс

s(t)s(t) — путь, v(t)=s′(t)v(t)=s'(t) — скорость, a(t)=v′(t)=s′′(t)a(t)=v'(t)=s''(t) — ускорение.

Вторая производная показывает выпуклость: f′′>0f''>0 — график выпуклый вниз (как чаша), f′′<0f''<0 — вверх. Точка, где выпуклость меняется, — точка перегиба.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке 10 класс

1) Найдите критические точки внутри отрезка. 2) Вычислите ff в них и на концах. 3) Выберите наибольшее и наименьшее из чисел.

Методы интегрирования и объём тела вращения 11 класс

Замена переменной: ∫(2x+1)5dx=(2x+1)612+C\int(2x+1)^5dx=\dfrac{(2x+1)^6}{12}+C. По частям: ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du.

Площадь между кривыми: ∫ab(f−g) dx\int_a^b(f-g)\,dx, где f≥gf\ge g. Объём тела вращения вокруг OxOx: V=π∫abf2(x) dxV=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx.

Текстовые задачи: движение, работа, смеси, проценты 5–9 класс

Движение: s=vts=vt; навстречу — скорости складываются, вдогонку — вычитаются.

Работа: производительность = работа / время; вместе производительности складываются. Всю работу принимают за 1.

Смеси и сплавы: масса чистого вещества = масса раствора × концентрация; при смешивании массы веществ складываются.

Проценты: изменение на p%p\% — умножение на 1±p1001\pm\dfrac p{100}; два изменения подряд перемножаются.

Дифференциальные уравнения (знакомство) 11 класс

Уравнение, содержащее производную: y′=kyy'=ky — его решение y=Cekxy=Ce^{kx} (рост бактерий, радиоактивный распад). y′′=−ω2yy''=-\omega^2y — уравнение гармонических колебаний, решение y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi).

Примеры задач с решением

Задача 1Найдите точки экстремума f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2.
  1. f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2), нули 00 и 22.
  2. Знаки f′f': +,−,++,-,+. В x=0x=0 — максимум, в x=2x=2 — минимум.
  3. f(0)=0f(0)=0, f(2)=8−12=−4f(2)=8-12=-4.
Ответ xmax=0, xmin=2x_{max}=0,\ x_{min}=2
Задача 2Уравнение касательной к y=x2y=x^2 в точке x0=1x_0=1.
  1. f(1)=1f(1)=1, f′(x)=2xf'(x)=2x, f′(1)=2f'(1)=2.
  2. y=1+2(x−1)=2x−1y=1+2(x-1)=2x-1.
Ответ y=2x−1y=2x-1
Задача 3Найдите площадь под y=x2y=x^2 на [0;2][0;2].
  1. ∫02x2dx=x33∣02=83\int_0^2x^2dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^2=\dfrac83.
Ответ 83\frac83
Задача 4Точка движется по закону s(t)=t3−2ts(t)=t^3-2t. Найдите скорость при t=2t=2.
  1. v(t)=s′(t)=3t2−2v(t)=s'(t)=3t^2-2.
  2. v(2)=12−2=10v(2)=12-2=10.
Ответ 10
Задача 5Найдите lim⁡x→3x2−9x−3\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}.
  1. (x−3)(x+3)x−3=x+3\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.
  2. →6\to6.
Ответ 6
Задача 6Две бригады вместе выполняют работу за 6 дней, первая одна — за 10 дней. За сколько дней выполнит работу вторая?
  1. Производительности: вместе 16\dfrac16, первая 110\dfrac1{10}.
  2. Вторая: 16−110=115\dfrac16-\dfrac1{10}=\dfrac1{15} → 15 дней.
Ответ 15 дней
Задача 7Сколько граммов воды нужно добавить к 200 г 30 %-го раствора соли, чтобы получить 20 %-й?
  1. Соли 200⋅0,3=60200\cdot0{,}3=60 г — её масса не меняется.
  2. 60200+x=0,2⇒200+x=300\dfrac{60}{200+x}=0{,}2\Rightarrow200+x=300.
Ответ 100 г

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Найдите наибольшее и наименьшее значения f(x)=x3−3x2−9x+5f(x)=x^3-3x^2-9x+5 на отрезке [−2;4][-2;4].

Идея: Сравниваем значения в критических точках и на концах.

  1. Производная
    f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1).
  2. Критические точки на отрезке
    x=−1x=-1 и x=3x=3 — обе в [−2;4][-2;4].
  3. Значения
    f(−2)=−8−12+18+5=3f(-2)=-8-12+18+5=3; f(−1)=−1−3+9+5=10f(-1)=-1-3+9+5=10; f(3)=27−27−27+5=−22f(3)=27-27-27+5=-22; f(4)=64−48−36+5=−15f(4)=64-48-36+5=-15.
  4. Выбираем
    Наибольшее 10, наименьшее −22-22.
Ответ max⁡=10\max=10, min⁡=−22\min=-22
Задача 2Составьте уравнение касательной к графику y=x2−3x+2y=x^2-3x+2 в точке с абсциссой x0=2x_0=2 и найдите, где она пересекает ось OyOy.

Идея: y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

  1. Значение функции
    f(2)=4−6+2=0f(2)=4-6+2=0.
  2. Значение производной
    f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3, f′(2)=1f'(2)=1.
  3. Уравнение
    y=0+1⋅(x−2)=x−2y=0+1\cdot(x-2)=x-2.
  4. Пересечение с OyOy
    x=0⇒y=−2x=0\Rightarrow y=-2.
Ответ y=x−2y=x-2; точка (0;−2)(0;-2)
Задача 3Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=4−x2y=4-x^2 и прямой y=x+2y=x+2.

Идея: Находим точки пересечения, затем интеграл от «верхней минус нижняя».

  1. Точки пересечения
    4−x2=x+2⇒x2+x−2=0⇒x=−2, x=14-x^2=x+2\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x=-2,\ x=1.
  2. Кто сверху
    При x=0x=0: парабола 4, прямая 2 — парабола сверху.
  3. Интеграл
    ∫−21(4−x2−x−2)dx=∫−21(2−x−x2)dx=[2x−x22−x33]−21\int_{-2}^1(4-x^2-x-2)dx=\int_{-2}^1(2-x-x^2)dx=\left[2x-\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_{-2}^1.
  4. Считаем
    При x=1x=1: 2−12−13=762-\dfrac12-\dfrac13=\dfrac76. При x=−2x=-2: −4−2+83=−103-4-2+\dfrac83=-\dfrac{10}3.
    76+103=276=4,5\dfrac76+\dfrac{10}3=\dfrac{27}6=4{,}5.
Ответ 4,54{,}5
Задача 4Из листа картона 30 × 30 см делают открытую коробку, вырезая по углам квадраты со стороной xx. При каком xx объём коробки наибольший?

Идея: Задача на оптимизацию: составляем функцию объёма и ищем максимум.

  1. Функция
    Дно (30−2x)×(30−2x)(30-2x)\times(30-2x), высота xx: V=x(30−2x)2V=x(30-2x)^2, 0<x<150<x<15.
  2. Производная
    V′=(30−2x)2−4x(30−2x)=(30−2x)(30−6x)V'=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)(30-6x).
  3. Критические точки
    x=15x=15 (не подходит) и x=5x=5.
  4. Проверяем максимум
    При x<5x<5 V′>0V'>0, при 5<x<155<x<15 V′<0V'<0 — максимум. V(5)=5⋅400=2000V(5)=5\cdot400=2000 см³.
Ответ x=5x=5 см, V=2000V=2000 см³
Задача 5Цену товара сначала повысили на 20 %, а затем снизили на 20 %. Как изменилась цена?

Идея: Проценты «от разного» — перемножаем коэффициенты.

  1. Коэффициенты
    Повышение: ×1,2. Снижение: ×0,8.
  2. Итог
    1,2⋅0,8=0,961{,}2\cdot0{,}8=0{,}96 — цена стала 96 % от исходной.
Ответ Снизилась на 4 %
Задача 6Из пунктов A и B, расстояние между которыми 300 км, навстречу выехали два автомобиля. Скорость первого на 10 км/ч больше. Они встретились через 2,5 ч. Найдите скорости.

Идея: При встречном движении скорости складываются.

  1. Скорость сближения
    3002,5=120\dfrac{300}{2{,}5}=120 км/ч.
  2. Уравнение
    v+(v+10)=120⇒v=55v+(v+10)=120\Rightarrow v=55.
Ответ 55 и 65 км/ч

Частые ловушки на ЕНТ

  • f′(x0)=0f'(x_0)=0 ещё не значит экстремум: у x3x^3 в нуле его нет.
  • (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x — со знаком минус.
  • Для сложной функции не забывайте умножить на производную внутренней: (sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin2x)'=2\cos2x.
  • Наибольшее значение на отрезке может достигаться на конце, а не в точке экстремума.
  • В задачах на смеси концентрацию переводите в доли: 30 % = 0,3.

Запомнить

f′>0f'>0 — растёт, f′<0f'<0 — падает, смена знака — экстремум.

Проверь себя

1. (x4)′=(x^4)'=
  1. x3x^3
  2. 4x34x^3
  3. 4x44x^4
  4. x55\frac{x^5}5
Показать ответ

4x34x^3 nxn−1nx^{n-1}.

2. Угловой коэффициент касательной к y=x3y=x^3 в x0=1x_0=1:
  1. 1
  2. 3
  3. 0
  4. 2
Показать ответ

3 3x2=33x^2=3.

3. Первообразная f(x)=2xf(x)=2x:
  1. x2+Cx^2+C
  2. 22
  3. 2x2+C2x^2+C
  4. x22+C\frac{x^2}2+C
Показать ответ

x2+Cx^2+C (x2)′=2x(x^2)'=2x.

4. lim⁡x→∞2x+1x=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x}=
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. ∞
Показать ответ

2 Делим на xx.

5. Если s(t)=t3s(t)=t^3, ускорение при t=1t=1:
  1. 3
  2. 6
  3. 1
  4. 0
Показать ответ

6 s′′=6ts''=6t.

6. Цену подняли на 10 %, потом ещё на 10 %. Всего на:
  1. 20 %
  2. 21 %
  3. 19 %
  4. 11 %
Показать ответ

21 % 1,12=1,211{,}1^2=1{,}21.

Связанные темы

12. Арифметическая и геометрическая прогрессии5. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения10. Линейные, квадратные, рациональные и другие неравенства

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ