Тема 3

Тригонометрия

Что проверяют по спецификации:

Радианная мера углаОпределения синуса, косинуса, тангенсаОсновные тождестваФормулы приведенияФормулы сложения и двойного угла

Суть за минуту

Тригонометрия связывает углы и стороны через функции sin⁡\sin, cos⁡\cos, tg⁡\tg, ctg⁡\ctg. На единичной окружности косинус угла — это абсцисса точки, синус — ордината. Почти все задачи ЕНТ решаются основным тождеством, формулами приведения и формулами двойного угла.

Объясняем просто

Тригонометрия начинается с прямоугольного треугольника, а дальше переезжает на «единичную окружность» — круг радиуса 1. Точка на окружности имеет координаты (cos⁡α; sin⁡α)(\cos\alpha;\ \sin\alpha): косинус — это «насколько вправо», синус — «насколько вверх».

Синус и косинус в треугольнике

sin⁡\sin = противолежащий катет / гипотенуза, cos⁡\cos = прилежащий катет / гипотенуза, tg⁡=sin⁡cos⁡\tg=\dfrac{\sin}{\cos} = противолежащий / прилежащий.

Подсказка: «sin — сбоку напротив», «cos — рядом».

Радианы — это длина дуги

Полный круг — 2π2\pi радиан =360∘=360^\circ. Значит π=180∘\pi=180^\circ, π2=90∘\dfrac\pi2=90^\circ, π6=30∘\dfrac\pi6=30^\circ.

Перевод: градусы ×π180\times\dfrac{\pi}{180} = радианы.

Основное тождество — это теорема Пифагора

Точка (cos⁡α;sin⁡α)(\cos\alpha;\sin\alpha) лежит на окружности радиуса 1, поэтому cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. Зная синус, всегда найдёте косинус (знак — по четверти).

Таблица значений по «ладошке»

sin⁡0∘,30∘,45∘,60∘,90∘=02,12,22,32,42\sin0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ=\dfrac{\sqrt0}2,\dfrac{\sqrt1}2,\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac{\sqrt4}2 — под корнем 0, 1, 2, 3, 4. Косинусы — тот же ряд в обратном порядке.

Формулы приведения без зубрёжки

1) Если в формуле π\pi или 2π2\pi — функция не меняется; если π2\dfrac\pi2 или 3π2\dfrac{3\pi}2 — меняется на «кофункцию» (sin↔cos, tg↔ctg). 2) Знак ставим по исходной функции в той четверти, считая α\alpha острым.

sin⁡(π−α)\sin(\pi-\alpha): функция та же, угол во II четверти, синус там «+» → sin⁡α\sin\alpha.

Главные формулы

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
Основное тригонометрическое тождество
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,tg⁡α⋅ctg⁡α=1\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \tg\alpha\cdot\ctg\alpha=1
Тангенс и котангенс
1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+\tg^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}
Связь тангенса и косинуса
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
Двойной угол
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
Синус суммы и разности
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
Косинус суммы и разности
180∘=π180^\circ=\pi рад
Перевод градусов в радианы

Понятия и термины

Единичная окружность
Окружность радиуса 1 с центром в начале координат; точка P(cos⁡α;sin⁡α)P(\cos\alpha;\sin\alpha)
Чётность
cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha — чётная, sin⁡\sin и tg⁡\tg — нечётные
Формулы приведения
Для углов π2±α\frac{\pi}{2}\pm\alpha, π±α\pi\pm\alpha: функция меняется на «кофункцию» только при π2\frac\pi2 и 3π2\frac{3\pi}2

Разбор темы

Знаки по четвертям

I четверть: все функции положительны. II: положителен только sin⁡\sin. III: положительны tg⁡\tg и ctg⁡\ctg. IV: положителен только cos⁡\cos.

По знаку функции и основному тождеству находят остальные функции угла.

Формулы приведения без зубрёжки

1) Если угол отсчитывается от горизонтальной оси (π±α\pi\pm\alpha, 2π−α2\pi-\alpha), функция сохраняется; от вертикальной (π2±α\frac\pi2\pm\alpha, 3π2±α\frac{3\pi}{2}\pm\alpha) — меняется на кофункцию.

2) Знак ставится по исходной функции в той четверти, где лежит угол: sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos(\frac\pi2+\alpha)=-\sin\alpha.

Тригонометрия прямоугольного треугольника 8 класс

Решение прямоугольного треугольника: по двум элементам (не два угла) находят остальные. Катет = гипотенуза × синус противолежащего угла = гипотенуза × косинус прилежащего.

Значения для 30∘,45∘,60∘30^\circ,45^\circ,60^\circ получают из равностороннего треугольника и равнобедренного прямоугольного.

Чётность и периодичность 9 класс

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha — косинус чётный; sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha, tg⁡(−α)=−tg⁡α\tg(-\alpha)=-\tg\alpha — нечётные.

Период синуса и косинуса 2π2\pi, тангенса и котангенса π\pi. Поэтому sin⁡750∘=sin⁡(720∘+30∘)=sin⁡30∘=12\sin 750^\circ=\sin(720^\circ+30^\circ)=\sin30^\circ=\dfrac12.

Сумма и разность в произведение 9 класс

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2; cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2; cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\sin\dfrac{\alpha-\beta}2.

Понижение степени: sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}2, cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}2.

Обратные тригонометрические функции 10 класс

arcsin⁡a\arcsin a — угол из [−π2;π2]\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right], синус которого равен aa (∣a∣≤1|a|\le1). arccos⁡a\arccos a — угол из [0;π][0;\pi]. arctg⁡a\arctg a — из (−π2;π2)\left(-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right).

arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac\pi6, но arccos⁡(−12)=2π3\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}3: arccos⁡(−a)=π−arccos⁡a\arccos(-a)=\pi-\arccos a.

Графики тригонометрических функций 10 класс

y=sin⁡xy=\sin x — волна от −1 до 1 с периодом 2π2\pi, нули в точках πk\pi k. y=cos⁡xy=\cos x — та же волна, сдвинутая на π2\dfrac\pi2 влево.

y=Asin⁡(kx+b)y=A\sin(kx+b): AA — растяжение по высоте (область значений [−∣A∣;∣A∣][-|A|;|A|]), период T=2π∣k∣T=\dfrac{2\pi}{|k|}.

Примеры задач с решением

Задача 1sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac35, α\alpha во II четверти. Найдите cos⁡α\cos\alpha и tg⁡α\tg\alpha.
  1. cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}, ∣cos⁡α∣=45|\cos\alpha|=\dfrac45.
  2. Во II четверти косинус отрицательный: cos⁡α=−45\cos\alpha=-\dfrac45.
  3. tg⁡α=3/5−4/5=−34\tg\alpha=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34.
Ответ cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac45, tg⁡α=−34\tg\alpha=-\frac34
Задача 2Вычислите sin⁡75∘\sin75^\circ.
  1. 75∘=45∘+30∘75^\circ=45^\circ+30^\circ.
  2. sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12.
Ответ 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
Задача 3Вычислите cos⁡215∘−sin⁡215∘\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ.
  1. Это формула cos⁡2α\cos2\alpha при α=15∘\alpha=15^\circ.
  2. cos⁡30∘=32\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}.
Ответ 32\dfrac{\sqrt3}{2}
Задача 4Найдите cos⁡α\cos\alpha и tg⁡α\tg\alpha, если sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac35, π2<α<π\dfrac\pi2<\alpha<\pi.
  1. cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}.
  2. Во II четверти косинус отрицателен: cos⁡α=−45\cos\alpha=-\dfrac45, tg⁡α=−34\tg\alpha=-\dfrac34.
Ответ −45; −34-\dfrac45;\ -\dfrac34
Задача 5Найдите период и область значений y=3cos⁡(2x−π4)+1y=3\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)+1.
  1. T=2π2=πT=\dfrac{2\pi}2=\pi.
  2. cos⁡∈[−1;1]⇒3cos⁡∈[−3;3]⇒y∈[−2;4]\cos\in[-1;1]\Rightarrow3\cos\in[-3;3]\Rightarrow y\in[-2;4].
Ответ T=πT=\pi, E(y)=[−2;4]E(y)=[-2;4]

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Вычислите sin⁡15∘⋅cos⁡15∘\sin15^\circ\cdot\cos15^\circ и sin⁡415∘+cos⁡415∘\sin^4 15^\circ+\cos^4 15^\circ.

Идея: Синус двойного угла и приём «полный квадрат».

  1. Произведение через двойной угол
    sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α⇒sin⁡15∘cos⁡15∘=12sin⁡30∘=14\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\Rightarrow\sin15^\circ\cos15^\circ=\dfrac12\sin30^\circ=\dfrac14.
  2. Сумма четвёртых степеней
    sin⁡4+cos⁡4=(sin⁡2+cos⁡2)2−2sin⁡2cos⁡2=1−2(14)2\sin^4+\cos^4=(\sin^2+\cos^2)^2-2\sin^2\cos^2=1-2\left(\dfrac14\right)^2.
  3. Считаем
    1−2⋅116=1−18=781-2\cdot\dfrac1{16}=1-\dfrac18=\dfrac78.
Ответ 14\dfrac14 и 78\dfrac78
Задача 2Найдите 2sin⁡α+3cos⁡αsin⁡α−cos⁡α\dfrac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}, если tg⁡α=3\tg\alpha=3.

Идея: Делим числитель и знаменатель на cos⁡α\cos\alpha — всё выражается через тангенс.

  1. Делим на cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0
    2tg⁡α+3tg⁡α−1\dfrac{2\tg\alpha+3}{\tg\alpha-1}.
  2. Подставляем
    2⋅3+33−1=92=4,5\dfrac{2\cdot3+3}{3-1}=\dfrac92=4{,}5.
Ответ 4,54{,}5
Задача 3Упростите sin⁡(π−α)cos⁡(3π2+α)tg⁡(π+α)cos⁡(2π−α)\dfrac{\sin(\pi-\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}2+\alpha\right)}{\tg(\pi+\alpha)\cos(2\pi-\alpha)}.

Идея: Каждый множитель — по формулам приведения.

  1. sin⁡(π−α)\sin(\pi-\alpha)
    π\pi — функция не меняется; II четверть, синус «+»: sin⁡α\sin\alpha.
  2. cos⁡(3π2+α)\cos\left(\dfrac{3\pi}2+\alpha\right)
    3π2\dfrac{3\pi}2 — меняем на синус; IV четверть, косинус «+»: sin⁡α\sin\alpha.
  3. Знаменатель
    tg⁡(π+α)=tg⁡α\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha (III четверть, тангенс «+»); cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha.
  4. Собираем
    sin⁡α⋅sin⁡αtg⁡αcos⁡α=sin⁡2αsin⁡α=sin⁡α\dfrac{\sin\alpha\cdot\sin\alpha}{\tg\alpha\cos\alpha}=\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha.
Ответ sin⁡α\sin\alpha

Частые ловушки на ЕНТ

  • sin⁡2α≠2sin⁡α\sin2\alpha\ne2\sin\alpha: sin⁡60∘≠2sin⁡30∘\sin60^\circ\ne2\sin30^\circ.
  • Не забывайте выбирать знак по четверти после извлечения корня.
  • tg⁡90∘\tg90^\circ не существует, ctg⁡0∘\ctg0^\circ не существует.
  • arccos⁡(−a)=π−arccos⁡a\arccos(-a)=\pi-\arccos a, а arcsin⁡(−a)=−arcsin⁡a\arcsin(-a)=-\arcsin a — не перепутайте.
  • Знак в формуле приведения определяют по исходной функции, а не по полученной.

Запомнить

«Все — синус — тангенс — косинус»: какие функции положительны в I, II, III, IV четвертях.

Проверь себя

1. cos⁡(−60∘)=\cos(-60^\circ)=
  1. −12-\frac12
  2. 12\frac12
  3. 32\frac{\sqrt3}{2}
  4. −32-\frac{\sqrt3}{2}
Показать ответ

12\frac12 Косинус — чётная функция.

2. tg⁡135∘=\tg135^\circ=
  1. 1
  2. −1-1
  3. 3\sqrt3
  4. 0
Показать ответ

−1-1 tg⁡(180∘−45∘)=−tg⁡45∘\tg(180^\circ-45^\circ)=-\tg45^\circ.

3. 2sin⁡15∘cos⁡15∘=2\sin15^\circ\cos15^\circ=
  1. 12\frac12
  2. 32\frac{\sqrt3}2
  3. 1
  4. 22\frac{\sqrt2}2
Показать ответ

12\frac12 sin⁡30∘\sin30^\circ.

4. sin⁡750∘=\sin750^\circ=
  1. 32\dfrac{\sqrt3}2
  2. 12\dfrac12
  3. −12-\dfrac12
  4. 1
Показать ответ

12\dfrac12 750∘=720∘+30∘750^\circ=720^\circ+30^\circ.

5. Период y=sin⁡4xy=\sin4x:
  1. 4π4\pi
  2. 2π2\pi
  3. π2\dfrac\pi2
  4. π\pi
Показать ответ

π2\dfrac\pi2 2π4\dfrac{2\pi}{4}.

Связанные темы

6. Тригонометрические и иррациональные уравнения9. Системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ