Тема 16

Геометрические фигуры в пространстве

Что проверяют по спецификации:

Аксиомы стереометрииВзаимное расположение прямых и плоскостейПерпендикулярность, теорема о трёх перпендикулярахМногогранникиТела вращения

Суть за минуту

Стереометрия изучает фигуры в пространстве. Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Многогранники (призма, параллелепипед, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар) — основа задач ЕНТ. Многие задачи сводятся к планиметрии в удачно выбранном сечении.

Объясняем просто

Стереометрия — геометрия в пространстве. Главное умение — увидеть внутри объёмной фигуры плоский треугольник и решить его как в планиметрии.

Как «разглядеть» пространство

Представьте комнату: пол и стена — пересекающиеся плоскости, линия плинтуса — их пересечение. Две противоположные стены — параллельные плоскости. Ребро потолка у одной стены и ребро пола у соседней — скрещивающиеся прямые: не пересекаются и не параллельны.

Перпендикуляр к плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости — как ножка стола к полу.

Теорема о трёх перпендикулярах простыми словами

Опустите из точки перпендикуляр на пол (вертикально) и проведите наклонную. Если «тень» наклонной на полу перпендикулярна прямой на полу, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.

Главные формулы

В−Р+Г=2\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2
Формула Эйлера для выпуклого многогранника
d2=a2+b2+c2d^2=a^2+b^2+c^2
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
d=a3d=a\sqrt3
Диагональ куба

Понятия и термины

Скрещивающиеся прямые
Не пересекаются и не параллельны (лежат в разных плоскостях)
Теорема о трёх перпендикулярах
Прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной
Правильная пирамида
В основании правильный многоугольник, вершина проецируется в его центр
Сечение
Фигура, по которой плоскость пересекает тело

Разбор темы

Взаимное расположение

Две прямые: пересекаются, параллельны или скрещиваются. Прямая и плоскость: прямая лежит в плоскости, пересекает её или параллельна ей. Две плоскости: параллельны или пересекаются по прямой.

Угол между скрещивающимися прямыми — угол между параллельными им пересекающимися прямыми.

Тела

Призма: два равных основания и боковые грани-параллелограммы. Пирамида: многоугольник в основании и треугольные грани с общей вершиной.

Цилиндр, конус, шар получаются вращением прямоугольника, прямоугольного треугольника и полукруга.

Многогранники 10–11 класс

Призма: два равных параллельных основания и боковые грани-параллелограммы; прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании.

Пирамида: основание-многоугольник и треугольные боковые грани с общей вершиной; правильная — в основании правильный многоугольник, вершина проектируется в его центр.

Формула Эйлера для выпуклых многогранников: В−Р+Г=2\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2.

Тела вращения 11 класс

Цилиндр получается вращением прямоугольника, конус — прямоугольного треугольника вокруг катета, шар — полукруга вокруг диаметра.

Сечения: осевое сечение цилиндра — прямоугольник, конуса — равнобедренный треугольник; любое сечение шара плоскостью — круг. Плоскость, касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу.

Примеры задач с решением

Задача 1Найдите число вершин, рёбер и граней шестиугольной призмы и проверьте формулу Эйлера.
  1. В=12\text{В}=12, Р=18\text{Р}=18, Г=8\text{Г}=8.
  2. 12−18+8=212-18+8=2.
Ответ 12; 18; 812;\ 18;\ 8
Задача 2Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4, 12.
  1. d=9+16+144=169d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}.
Ответ 13
Задача 3В кубе ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите угол между прямыми AB1AB_1 и BC1BC_1.
  1. BC1∥AD1BC_1\parallel AD_1, поэтому ищем угол между AB1AB_1 и AD1AD_1.
  2. Треугольник AB1D1AB_1D_1 равносторонний (все стороны — диагонали граней).
Ответ 60∘60^\circ

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, боковое ребро 5. Найдите высоту пирамиды и апофему.

Идея: Высота, половина диагонали основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник.

  1. Половина диагонали основания
    Диагональ квадрата 626\sqrt2, половина 323\sqrt2.
  2. Высота
    h2=52−(32)2=25−18=7h^2=5^2-(3\sqrt2)^2=25-18=7, h=7h=\sqrt7.
  3. Апофема (высота боковой грани)
    Из треугольника с боковым ребром и половиной стороны: l2=25−9=16l^2=25-9=16, l=4l=4.
Ответ h=7h=\sqrt7, апофема 4

Частые ловушки на ЕНТ

  • Непересекающиеся прямые в пространстве не обязательно параллельны — они могут скрещиваться.
  • Высота правильной пирамиды падает в центр основания, а не в вершину угла.
  • Диагональ куба a3a\sqrt3, диагональ грани a2a\sqrt2.

Запомнить

Пространственная задача решается в плоском сечении.

Проверь себя

1. Сколько рёбер у треугольной пирамиды?
  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 3
Показать ответ

6 3 в основании и 3 боковых.

2. Диагональ куба с ребром 2:
  1. 222\sqrt2
  2. 232\sqrt3
  3. 4
  4. 6
Показать ответ

232\sqrt3 a3a\sqrt3.

3. Прямые не пересекаются и не параллельны. Они:
  1. совпадают
  2. скрещиваются
  3. перпендикулярны
  4. невозможно
Показать ответ

скрещиваются Это определение скрещивающихся прямых.

4. У куба вершин, рёбер и граней соответственно:
  1. 8, 12, 6
  2. 6, 12, 8
  3. 8, 6, 12
  4. 4, 6, 4
Показать ответ

8, 12, 6 8−12+6=28-12+6=2.

Связанные темы

17. Метрические соотношения в пространстве18. Векторы и преобразования в пространстве14. Геометрические фигуры и их взаимное расположение

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ