Тема 11

Системы неравенств

Что проверяют по спецификации:

Системы линейных неравенствСистемы дробно-рациональных неравенствСистемы нелинейных неравенствСистемы показательных и логарифмических неравенств

Суть за минуту

Решение системы неравенств — это значения

x

, которые удовлетворяют всем неравенствам сразу, то есть пересечение их решений. Каждое неравенство решают отдельно, а затем находят общую часть на числовой прямой.

Объясняем просто

Система неравенств — это несколько условий одновременно, как фильтры в интернет-магазине: «цена от 5000» И «цена до 20 000». Ответ — числа, прошедшие через все фильтры, то есть пересечение решений.

Решаем каждое отдельно, потом пересекаем

Решите каждое неравенство, нарисуйте ответы на одной прямой (штриховкой разного цвета) и возьмите место, где штриховки накладываются.

Система и совокупность — не путать

Фигурная скобка $\{$ — система, нужно «и»: пересечение. Квадратная скобка $[$ — совокупность, нужно «или»: объединение.

Если пересечения нет

$x>5$ и $x<2$ одновременно невозможны — система не имеет решений. Это тоже ответ: $\varnothing$ .

Главные формулы

\begin{cases}x>a\\x<b\end{cases}\Rightarrow x\in(a;b),\ a<b

Пересечение

\begin{cases}x>a\\x>b\end{cases}\Rightarrow x>\max(a,b)

Больше большего

\begin{cases}x<a\\x<b\end{cases}\Rightarrow x<\min(a,b)

Меньше меньшего

Понятия и термины

Пересечение: Общая часть решений, обозначается $\cap$
Целые решения: Целые числа, попавшие в промежуток ответа

Разбор темы

Алгоритм

1) Решите каждое неравенство. 2) Изобразите решения на одной прямой разной штриховкой. 3) Ответ — там, где штриховки совпадают. 4) Если общей части нет, система решений не имеет.

Двойные неравенства 6 класс

$-3<2x+1\le7$ решают «сразу во всех частях»: вычтем 1: $-4<2x\le6$ ; разделим на 2: $-2<x\le3$ .

Целые решения и наибольшее/наименьшее 6–8 класс

Часто спрашивают количество целых решений или их сумму. Выпишите промежуток и аккуратно учтите, входят ли концы.

Примеры задач с решением

Задача 1Решите

\begin{cases}2x-1>3\\x+4\le10\end{cases}

$x>2$ и $x\le6$ .

Ответ

(2;6]

Задача 2Решите

\begin{cases}x^2-4<0\\x>0\end{cases}

$x^2<4\Rightarrow-2<x<2$ .
Пересечение с $x>0$ .

Ответ

(0;2)

Задача 3Решите

\begin{cases}2^x\ge4\\\log_2x<3\end{cases}

$x\ge2$ .
$0<x<8$ .
Пересечение: $2\le x<8$ .

Ответ

[2;8)

Задача 4Сколько целых решений у

\begin{cases}x^2-x-6\le0\\x>0\end{cases}

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)\le0\Rightarrow-2\le x\le3$ .
С учётом $x>0$ : $(0;3]$ , целые: 1, 2, 3.

Ответ 3

Задача 5Сколько целых решений у системы

\begin{cases}3x-2<10\\5-x\le8\end{cases}

$x<4$ и $x\ge-3$ .
Целые: $-3,-2,-1,0,1,2,3$ .

Ответ 7

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Решите систему

\begin{cases}x^2-4x-5\le0\\\dfrac{x-1}{x-3}>0\end{cases}

Идея: Каждое неравенство методом интервалов, потом пересечение.

Первое неравенство
$(x-5)(x+1)\le0\Rightarrow-1\le x\le5$ .
Второе неравенство
Нули 1 и 3 (3 выколота): «+» при $x<1$ и $x>3$ .
Пересекаем на одной прямой
$[-1;5]\cap\big((-\infty;1)\cup(3;+\infty)\big)=[-1;1)\cup(3;5]$ .

Ответ

[-1;1)\cup(3;5]

Задача 2Найдите сумму целых решений системы

\begin{cases}2^{x}\ge\dfrac14\\\log_3(x+4)<1\end{cases}

Идея: Показательное и логарифмическое неравенства по отдельности.

Первое
$2^x\ge2^{-2}\Rightarrow x\ge-2$ .
Второе с ОДЗ
$x+4>0$ и $x+4<3\Rightarrow-4<x<-1$ .
Пересечение
$-2\le x<-1$ : целые решения — только $-2$ .

Ответ

-2

Частые ловушки на ЕНТ

Ответ системы — пересечение, а не объединение.
Следите за концами промежутков: строгие и нестрогие знаки.
Не забывайте ОДЗ логарифмов внутри системы.

Запомнить

Система — «и», совокупность — «или».

Проверь себя

\begin{cases}x>1\\x>4\end{cases}

$x>1$
$x>4$
$(1;4)$
нет решений

Показать ответ

$x>4$ Больше большего.

\begin{cases}x<2\\x>5\end{cases}

$(2;5)$
$x<2$
нет решений
$x>5$

Показать ответ

нет решений Общей части нет.

3. Целые решения

\begin{cases}x\ge-1\\x<2\end{cases}

$-1;0;1$
$0;1$
$-1;0;1;2$
$0;1;2$

Показать ответ

$-1;0;1$ $[-1;2)$ .

4. Система

x\ge2

x<2

имеет решений:

одно
нет
бесконечно много
два

Показать ответ

нет Пересечение пусто.

Связанные темы

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ