Функции и их графики

Разбор темы

Способы задания и чтение графика 7, 10 класс

Функцию задают формулой, таблицей, графиком или словесно. По графику находят: $D(f)$ и $E(f)$ (проекции на оси), нули, промежутки, где $f>0$ и $f<0$, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения.

Вертикальная прямая пересекает график функции не более одного раза — так отличают график функции от произвольной кривой.

Линейная функция и прямая пропорциональность 6–7 класс

$y=kx$ — прямая через начало координат. $y=kx+b$: при $k_1=k_2$, $b_1\ne b_2$ прямые параллельны; при $k_1k_2=-1$ — перпендикулярны.

Точки пересечения с осями: $Oy$ — $(0;b)$, $Ox$ — $\left(-\dfrac bk;0\right)$.

Квадратичная функция 8 класс

Вершина $(x_0;y_0)$, ось симметрии $x=x_0$. При $a>0$ наименьшее значение $y_0$, при $a<0$ — наибольшее.

Построение: вершина → точка пересечения с $Oy$ → нули (если $D\ge0$) → симметричные точки.

Прикладные задачи: высота брошенного вверх тела $h(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}2$ — парабола; наибольшая высота — в вершине.

Степенные и другие функции 7–8 класс

$y=x^3$ — кубическая парабола (нечётная), $y=\sqrt x$ — ветвь параболы, лежащая на боку, $y=|x|$ — «галочка».

$y=\dfrac kx$ — гипербола из двух ветвей: при $k>0$ в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV.

Преобразования графиков 10 класс

$f(x)+n$, $f(x-m)$, $-f(x)$, $f(-x)$, $kf(x)$, $f(kx)$ (сжатие к оси $Oy$ в $k$ раз).

$|f(x)|$ — части графика под осью $Ox$ отражаются вверх; $f(|x|)$ — правая часть графика отражается налево.

Обратная и сложная функция 10 класс

Чтобы найти обратную: выразите $x$ через $y$ и поменяйте буквы. $y=2x+3\Rightarrow x=\dfrac{y-3}2\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}2$. Обратная существует у монотонной функции.

Композиция: $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$, а $g(f(x))=x^2+1$ — порядок важен.

Исследование функции по плану 10 класс

1) $D(f)$; 2) чётность и периодичность; 3) нули и знаки; 4) асимптоты; 5) производная: монотонность и экстремумы; 6) вторая производная: выпуклость и перегибы; 7) график.