Тема 7

Показательные и логарифмические уравнения

Что проверяют по спецификации:

Свойства логарифмовПоказательные уравненияЛогарифмические уравненияОДЗ логарифма

Суть за минуту

Показательная функция axa^x и логарифм log⁡ax\log_a x — взаимно обратные. Показательные уравнения решают приведением к одному основанию или заменой t=ax>0t=a^x>0. Логарифмические — по свойствам логарифмов, но всегда с проверкой ОДЗ: аргумент логарифма положителен, основание положительно и не равно 1.

Объясняем просто

Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число?». log⁡28=3\log_2 8=3, потому что 23=82^3=8. Логарифм — это просто «показатель степени, который мы ищем».

Перевод «туда-обратно»

log⁡ab=c ⇔ ac=b\log_a b=c\ \Leftrightarrow\ a^c=b. Застряли — переписывайте логарифм в виде степени: log⁡3x=2⇒x=32=9\log_3x=2\Rightarrow x=3^2=9.

Свойства — это правила степеней

При умножении степеней показатели складываются — поэтому log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log(xy)=\log x+\log y. При делении вычитаются — log⁡xy=log⁡x−log⁡y\log\dfrac xy=\log x-\log y. Степень выносится вперёд: log⁡x5=5log⁡x\log x^5=5\log x.

Что такое ОДЗ логарифма

Логарифм существует только от положительного числа, а основание положительно и не равно 1: log⁡ab\log_a b: b>0b>0, a>0a>0, a≠1a\ne1. Без проверки ОДЗ в ответе часто оказывается «лишний» корень.

Показательное уравнение — уравниваем основания

4x=324^x=32: 4=224=2^2, 32=2532=2^5 → 22x=252^{2x}=2^5 → 2x=52x=5. Одинаковые основания — равны показатели.

Главные формулы

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c\iff a^c=b
a>0, a≠1, b>0a>0,\ a\ne1,\ b>0
alog⁡ab=b,log⁡a1=0,log⁡aa=1a^{\log_a b}=b,\quad \log_a1=0,\quad \log_aa=1
Основные тождества
log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac,log⁡abc=log⁡ab−log⁡ac\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac,\quad \log_a\dfrac bc=\log_ab-\log_ac
Логарифм произведения и частного
log⁡abn=nlog⁡ab\log_ab^n=n\log_ab
Логарифм степени
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}
Переход к новому основанию
af(x)=ag(x)  ⟺  f(x)=g(x)a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)
Показательное уравнение

Понятия и термины

lg⁡x\lg x
Десятичный логарифм, основание 10
ln⁡x\ln x
Натуральный логарифм, основание e≈2,718e\approx2{,}718
ОДЗ логарифма
log⁡af(x)\log_a f(x): f(x)>0f(x)>0, a>0a>0, a≠1a\ne1

Разбор темы

Показательные уравнения

Одно основание: 2x+1=32=25⇒x=42^{x+1}=32=2^5\Rightarrow x=4.

Замена: 9x−4⋅3x+3=09^x-4\cdot3^x+3=0, t=3x>0t=3^x>0.

Логарифмические уравнения

Сначала ОДЗ, затем по свойствам приводим к виду log⁡af=log⁡ag\log_af=\log_ag, откуда f=gf=g.

Корни, не попавшие в ОДЗ, отбрасываем.

Показательная и логарифмическая функции 11 класс

y=axy=a^x: при a>1a>1 возрастает, при 0<a<10<a<1 убывает; всегда y>0y>0; график проходит через (0;1)(0;1).

y=log⁡axy=\log_ax — обратная функция: график симметричен графику axa^x относительно прямой y=xy=x; проходит через (1;0)(1;0); определена при x>0x>0.

Число e≈2,718e\approx2{,}718; ln⁡x=log⁡ex\ln x=\log_ex, lg⁡x=log⁡10x\lg x=\log_{10}x.

Методы решения 11 класс

1) Приведение к одному основанию. 2) Вынесение общего множителя: 3x+2−3x=72⇒3x(9−1)=723^{x+2}-3^x=72\Rightarrow3^x(9-1)=72. 3) Замена: 4x−3⋅2x+2=04^x-3\cdot2^x+2=0, t=2x>0t=2^x>0. 4) Логарифмирование: 2x=5⇒x=log⁡252^x=5\Rightarrow x=\log_25.

Формула перехода: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}; log⁡ab=1log⁡ba\log_ab=\dfrac1{\log_ba}; alog⁡ab=ba^{\log_ab}=b.

Производная и интеграл 11 класс

(ex)′=ex(e^x)'=e^x, (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x, ∫exdx=ex+C\int e^xdx=e^x+C, ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int\dfrac{dx}x=\ln|x|+C.

Примеры задач с решением

Задача 1Решите 9x−4⋅3x+3=09^x-4\cdot3^x+3=0.
  1. t=3x>0t=3^x>0: t2−4t+3=0t^2-4t+3=0, t=1t=1 или t=3t=3.
  2. 3x=1⇒x=03^x=1\Rightarrow x=0; 3x=3⇒x=13^x=3\Rightarrow x=1.
Ответ 0; 1
Задача 2Решите log⁡2(x−1)+log⁡2(x+1)=3\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.
  1. ОДЗ: x>1x>1.
  2. log⁡2((x−1)(x+1))=3⇒x2−1=8⇒x=±3\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3\Rightarrow x^2-1=8\Rightarrow x=\pm3.
  3. x=−3x=-3 не входит в ОДЗ.
Ответ 3
Задача 3Вычислите log⁡381+lg⁡0,01\log_3 81+\lg0{,}01.
  1. 34=81⇒log⁡381=43^4=81\Rightarrow\log_381=4.
  2. 10−2=0,01⇒lg⁡0,01=−210^{-2}=0{,}01\Rightarrow\lg0{,}01=-2.
Ответ 2
Задача 4Вычислите log⁡354−log⁡32+5log⁡57\log_3 54-\log_3 2+5^{\log_5 7}.
  1. log⁡3542=log⁡327=3\log_3\dfrac{54}2=\log_327=3.
  2. 5log⁡57=75^{\log_57}=7. Итого 1010.
Ответ 10
Задача 5Решите 3x+2−3x=723^{x+2}-3^x=72.
  1. 3x(9−1)=72⇒3x=93^x(9-1)=72\Rightarrow3^x=9.
  2. x=2x=2.
Ответ 2

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Решите 4x−6⋅2x+8=04^x-6\cdot2^x+8=0.

Идея: 4x=(2x)24^x=(2^x)^2 — замена превращает уравнение в квадратное.

  1. Замена t=2x>0t=2^x>0
    t2−6t+8=0t^2-6t+8=0.
  2. Корни
    t=2t=2 или t=4t=4 — оба положительны.
  3. Обратная замена
    2x=2⇒x=12^x=2\Rightarrow x=1; 2x=4⇒x=22^x=4\Rightarrow x=2.
Ответ 1; 2
Задача 2Решите log⁡2(x−2)+log⁡2(x−3)=1\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1.

Идея: Сумма логарифмов = логарифм произведения; не забыть ОДЗ.

  1. ОДЗ
    x−2>0x-2>0 и x−3>0⇒x>3x-3>0\Rightarrow x>3.
  2. Объединяем логарифмы
    log⁡2((x−2)(x−3))=1⇒(x−2)(x−3)=2\log_2((x-2)(x-3))=1\Rightarrow(x-2)(x-3)=2.
  3. Решаем
    x2−5x+4=0⇒x=1x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1 или x=4x=4.
  4. Отбор по ОДЗ
    x=1x=1 не входит в ОДЗ, x=4x=4 подходит.
Ответ 4
Задача 3Решите log⁡32x−log⁡3x−2=0\log_3^2x-\log_3x-2=0.

Идея: Логарифм как новая переменная.

  1. ОДЗ и замена
    x>0x>0; t=log⁡3xt=\log_3x: t2−t−2=0t^2-t-2=0.
  2. Корни
    t=2t=2 или t=−1t=-1.
  3. Обратно к xx
    x=32=9x=3^2=9; x=3−1=13x=3^{-1}=\dfrac13.
Ответ 13; 9\dfrac13;\ 9
Задача 4Вычислите log⁡23⋅log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡58\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 8.

Идея: Переходим к одному основанию — получится «цепочка», которая сокращается.

  1. Всё к основанию 2
    log⁡ab=log⁡2blog⁡2a\log_ab=\dfrac{\log_2b}{\log_2a}: log⁡231⋅log⁡24log⁡23⋅log⁡25log⁡24⋅log⁡28log⁡25\dfrac{\log_23}{1}\cdot\dfrac{\log_24}{\log_23}\cdot\dfrac{\log_25}{\log_24}\cdot\dfrac{\log_28}{\log_25}.
  2. Сокращаем
    Остаётся log⁡28=3\log_28=3.
Ответ 3

Частые ловушки на ЕНТ

  • log⁡a(b+c)≠log⁡ab+log⁡ac\log_a(b+c)\ne\log_ab+\log_ac.
  • Без проверки ОДЗ легко оставить посторонний корень.
  • t=axt=a^x всегда положительно: отрицательные tt отбрасывают.
  • log⁡a(x+y)≠log⁡ax+log⁡ay\log_a(x+y)\ne\log_ax+\log_ay.
  • Замена t=axt=a^x требует t>0t>0.

Запомнить

Логарифм — это показатель: log⁡ab\log_a b отвечает на вопрос «в какую степень возвести aa, чтобы получить bb».

Проверь себя

1. log⁡232=\log_2 32=
  1. 4
  2. 5
  3. 16
  4. 6
Показать ответ

5 25=322^5=32.

2. 5log⁡57=5^{\log_5 7}=
  1. 5
  2. 7
  3. 35
  4. log⁡57\log_5 7
Показать ответ

7 Основное логарифмическое тождество.

3. log⁡62+log⁡63=\log_6 2+\log_6 3=
  1. 1
  2. log⁡65\log_6 5
  3. 6
  4. log⁡126\log_{12}6
Показать ответ

1 log⁡66=1\log_6 6=1.

4. lg⁡1000=\lg1000=
  1. 2
  2. 3
  3. 100
  4. 10
Показать ответ

3 103=100010^3=1000.

5. График y=log⁡2xy=\log_2x проходит через точку:
  1. (0;1)(0;1)
  2. (1;0)(1;0)
  3. (0;0)(0;0)
  4. (2;0)(2;0)
Показать ответ

(1;0)(1;0) log⁡21=0\log_21=0.

Связанные темы

2. Действия со степенями9. Системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений10. Линейные, квадратные, рациональные и другие неравенства

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ