Действия с радикалами. Числовые, буквенные, дробные и целые выражения

Разбор темы

Как упрощать корни

Разложите подкоренное число на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$.

Складывать можно только подобные корни: $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$, но $\sqrt2+\sqrt3$ дальше не упрощается.

Внести множитель под корень: $3\sqrt2=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}$ (только для положительного множителя).

Дробные и целые выражения

Целое выражение не содержит деления на переменную, дробное — содержит. В дробном выражении знаменатель не может быть равен нулю.

Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\sqrt{x-3}$ определён при $x\ge3$, а $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$ — при $x>3$.

Действительные числа 8 класс

Натуральные $\mathbb N\subset$ целые $\mathbb Z\subset$ рациональные $\mathbb Q\subset$ действительные $\mathbb R$. Рациональное число — дробь $\dfrac pq$; в десятичной записи оно конечное или периодическое.

Иррациональные числа ($\sqrt2$, $\pi$, $\sqrt3$) записываются бесконечной непериодической дробью.

Периодическую дробь переводят в обыкновенную: $x=0,(3)$; $10x=3,(3)$; $10x-x=3$; $x=\dfrac13$. Так же $0,(27)=\dfrac{27}{99}=\dfrac3{11}$.

Оценка и сравнение корней 8 класс

Чтобы оценить $\sqrt{40}$, найдите соседние квадраты: $36<40<49$, значит $6<\sqrt{40}<7$.

Сравнить $3\sqrt5$ и $2\sqrt{11}$: внесите множители под корень: $\sqrt{45}$ и $\sqrt{44}$ — первое больше.

Внесение множителя: $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ при $a\ge0$; при $a<0$ знак «минус» остаётся снаружи: $-2\sqrt3=-\sqrt{12}$.

Корень n-й степени 11 класс

$\sqrt[n]a=b$, если $b^n=a$. Корень нечётной степени существует из любого числа: $\sqrt[3]{-8}=-2$; корень чётной степени — только из неотрицательного.

Свойства: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b$, $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$, $\sqrt[n]{\sqrt[k]a}=\sqrt[nk]a$, $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$.

$\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|$, а $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a$.

Порядок действий и проценты в выражениях 5–6 класс

Порядок: скобки → степени и корни → умножение и деление слева направо → сложение и вычитание.

Процент — сотая часть: $p\%$ от $A$ равно $A\cdot\dfrac p{100}$. Увеличить на $p\%$ — умножить на $\left(1+\dfrac p{100}\right)$, уменьшить — на $\left(1-\dfrac p{100}\right)$.