Тема 12

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Что проверяют по спецификации:

Формула n-го членаХарактеристическое свойствоСумма n первых членовБесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Суть за минуту

Арифметическая прогрессия — каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом dd. Геометрическая — каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q≠0q\ne0. На ЕНТ нужны формулы nn-го члена, суммы и характеристического свойства.

Объясняем просто

Прогрессия — это последовательность, построенная по простому правилу. В арифметической каждый раз прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же число.

Арифметическая — «лестница с равными ступеньками»

2, 5, 8, 11… — каждая ступенька +3+3, это разность dd. До nn-го члена нужно сделать n−1n-1 шаг: an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d.

Сумма — «трюк Гаусса»

1+2+…+1001+2+\ldots+100: сложим первый с последним (101), второй с предпоследним (101)… Таких пар 50, сумма 50⋅101=505050\cdot101=5050. Отсюда Sn=(a1+an)n2S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.

Геометрическая — «каждый раз в qq раз»

3, 6, 12, 24… — знаменатель q=2q=2. Так растут вклады в банке и число бактерий: bn=b1qn−1b_n=b_1q^{n-1}.

Бесконечная сумма бывает конечной

1+12+14+…1+\dfrac12+\dfrac14+\ldots — с каждым шагом добавляем половину оставшегося до 2 — и никогда не превышаем 2. Формула: S=b11−qS=\dfrac{b_1}{1-q} при ∣q∣<1|q|<1.

Главные формулы

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d
nn-й член арифметической
Sn=(a1+an)n2=2a1+(n−1)d2 nS_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n
Сумма арифметической
an=an−1+an+12a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
Характеристическое свойство арифметической
bn=b1qn−1b_n=b_1q^{n-1}
nn-й член геометрической
Sn=b1(qn−1)q−1, q≠1S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1},\ q\ne1
Сумма геометрической
S=b11−q, ∣q∣<1S=\dfrac{b_1}{1-q},\ |q|<1
Бесконечно убывающая геометрическая
bn2=bn−1bn+1b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}
Характеристическое свойство геометрической

Понятия и термины

Разность dd
d=an+1−and=a_{n+1}-a_n
Знаменатель qq
q=bn+1bnq=\frac{b_{n+1}}{b_n}, q≠0q\ne0
Среднее геометрическое
ab\sqrt{ab} — число между aa и bb в геометрической прогрессии

Разбор темы

Как находить неизвестное

Два члена арифметической: a5=17a_5=17, a10=37a_{10}=37 → 5d=205d=20, d=4d=4, a1=17−4⋅4=1a_1=17-4\cdot4=1.

Два члена геометрической: делим один на другой, чтобы найти qq.

Характеристическое свойство 9 класс

В арифметической прогрессии каждый член (кроме первого) — среднее арифметическое соседей: an=an−1+an+12a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2; в геометрической — среднее геометрическое: bn2=bn−1bn+1b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}.

Так проверяют, образуют ли три числа прогрессию.

Сложные проценты 9 класс

Вклад AA под p%p\% годовых с капитализацией через nn лет: A(1+p100)nA\left(1+\dfrac p{100}\right)^n — это геометрическая прогрессия со знаменателем 1+p1001+\dfrac p{100}.

Метод математической индукции 9 класс

Чтобы доказать утверждение для всех натуральных nn: 1) проверяем при n=1n=1; 2) предполагаем верным для n=kn=k; 3) доказываем для n=k+1n=k+1. Как «эффект домино»: падает первая костяшка и каждая роняет следующую.

Примеры задач с решением

Задача 1a1=3a_1=3, d=4d=4. Найдите a10a_{10} и S10S_{10}.
  1. a10=3+9⋅4=39a_{10}=3+9\cdot4=39.
  2. S10=(3+39)⋅102=210S_{10}=\dfrac{(3+39)\cdot10}{2}=210.
Ответ a10=39, S10=210a_{10}=39,\ S_{10}=210
Задача 2b1=2b_1=2, q=3q=3. Найдите b5b_5 и S5S_5.
  1. b5=2⋅34=162b_5=2\cdot3^4=162.
  2. S5=2(35−1)3−1=242S_5=\dfrac{2(3^5-1)}{3-1}=242.
Ответ b5=162, S5=242b_5=162,\ S_5=242
Задача 3Найдите сумму 12+6+3+…12+6+3+\dots
  1. b1=12b_1=12, q=12q=\dfrac12, ∣q∣<1|q|<1.
  2. S=121−12=24S=\dfrac{12}{1-\frac12}=24.
Ответ 24
Задача 4Вклад 100 000 тг под 10 % годовых. Сколько будет через 3 года?
  1. 100000⋅1,13=100000⋅1,331100000\cdot1{,}1^3=100000\cdot1{,}331.
Ответ 133 100 тг
Задача 5Запишите 0,(36)0,(36) как обыкновенную дробь через сумму геометрической прогрессии.
  1. 0,(36)=0,36+0,0036+…0,(36)=0{,}36+0{,}0036+\ldots, b1=0,36b_1=0{,}36, q=0,01q=0{,}01.
  2. S=0,360,99=3699=411S=\dfrac{0{,}36}{0{,}99}=\dfrac{36}{99}=\dfrac4{11}.
Ответ 411\dfrac4{11}

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1В арифметической прогрессии a3+a7=20a_3+a_7=20, a4⋅a6=96a_4\cdot a_6=96. Найдите a1a_1 и dd (d>0d>0).

Идея: Сумма симметричных членов равна удвоенному среднему: a3+a7=2a5a_3+a_7=2a_5.

  1. Находим a5a_5
    2a5=20⇒a5=102a_5=20\Rightarrow a_5=10.
  2. Выражаем a4a_4, a6a_6
    a4=10−da_4=10-d, a6=10+da_6=10+d; (10−d)(10+d)=96⇒100−d2=96⇒d2=4(10-d)(10+d)=96\Rightarrow100-d^2=96\Rightarrow d^2=4.
  3. Берём d>0d>0
    d=2d=2; a1=a5−4d=10−8=2a_1=a_5-4d=10-8=2.
Ответ a1=2, d=2a_1=2,\ d=2
Задача 2Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов её членов — 40,5. Найдите b1b_1 и qq.

Идея: Квадраты членов тоже образуют геометрическую прогрессию с b12b_1^2 и q2q^2.

  1. Две формулы
    b11−q=9\dfrac{b_1}{1-q}=9, b121−q2=40,5\dfrac{b_1^2}{1-q^2}=40{,}5.
  2. Делим второе на первое
    b12(1−q)(1+q)⋅1−qb1=b11+q=4,5\dfrac{b_1^2}{(1-q)(1+q)}\cdot\dfrac{1-q}{b_1}=\dfrac{b_1}{1+q}=4{,}5.
  3. Система из двух простых
    b1=9(1−q)=4,5(1+q)⇒9−9q=4,5+4,5q⇒q=13b_1=9(1-q)=4{,}5(1+q)\Rightarrow9-9q=4{,}5+4{,}5q\Rightarrow q=\dfrac13.
  4. Находим b1b_1
    b1=9⋅23=6b_1=9\cdot\dfrac23=6.
Ответ b1=6, q=13b_1=6,\ q=\dfrac13
Задача 3Сколько первых членов арифметической прогрессии 5, 9, 13, … нужно сложить, чтобы получить 230?

Идея: Сумма через a1a_1 и dd даёт квадратное уравнение относительно nn.

  1. Формула суммы
    Sn=2a1+(n−1)d2⋅n=10+4(n−1)2n=(2n+3)nS_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}2\cdot n=\dfrac{10+4(n-1)}2n=(2n+3)n.
  2. Уравнение
    2n2+3n−230=02n^2+3n-230=0, D=9+1840=1849=432D=9+1840=1849=43^2.
  3. Натуральный корень
    n=−3+434=10n=\dfrac{-3+43}{4}=10.
Ответ 10

Частые ловушки на ЕНТ

  • nn-й член содержит (n−1)(n-1), а не nn.
  • Формула суммы бесконечной прогрессии — только при ∣q∣<1|q|<1.
  • Между числами 4 и 36 в геометрической прогрессии может стоять и 12, и −12-12.

Запомнить

Арифметическая — «плюс dd», геометрическая — «умножить на qq».

Проверь себя

1. a1=5a_1=5, d=−2d=-2, a6=a_6=
  1. −5-5
  2. −7-7
  3. 15
  4. −3-3
Показать ответ

−5-5 5+5⋅(−2)5+5\cdot(-2).

2. b1=1b_1=1, q=2q=2, S5=S_5=
  1. 16
  2. 31
  3. 32
  4. 15
Показать ответ

31 25−12^5-1.

3. Сумма 1+13+19+⋯=1+\frac13+\frac19+\dots=
  1. 32\frac32
  2. 43\frac43
  3. 2
  4. 3
Показать ответ

32\frac32 11−1/3\frac{1}{1-1/3}.

4. Числа 4, xx, 9 образуют геометрическую прогрессию (x>0x>0). x=x=
  1. 6
  2. 6,5
  3. 5
  4. 36
Показать ответ

6 x2=36x^2=36.

Связанные темы

2. Действия со степенями13. Начала анализа. Задачи на моделирование5. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ