Тема 18

Векторы и преобразования в пространстве

Что проверяют по спецификации:

Координаты вектораДлина вектора и расстояниеСкалярное произведение и уголКоллинеарность и перпендикулярностьСимметрия в пространстве

Суть за минуту

Вектор в пространстве задаётся тремя координатами (x;y;z)(x;y;z). С координатами легко находить длины, расстояния, середины отрезков, скалярное произведение и угол между векторами. Перпендикулярность проверяют по равенству скалярного произведения нулю, коллинеарность — по пропорциональности координат.

Объясняем просто

Вектор — «стрелка-перемещение»: важны длина и направление, а не место. В координатах вектор — это просто тройка чисел «на сколько сдвинуться по xx, yy, zz».

Координаты вектора

Из точки A(1;2;3)A(1;2;3) в точку B(4;6;3)B(4;6;3): из конца вычитаем начало — AB→=(3;4;0)\overrightarrow{AB}=(3;4;0). Длина — Пифагор в 3D: 9+16+0=5\sqrt{9+16+0}=5.

Скалярное произведение — «насколько векторы смотрят в одну сторону»

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=|\vec a||\vec b|\cos\varphi. Ноль — перпендикулярны, положительно — угол острый, отрицательно — тупой.

Коллинеарные — «параллельные стрелки»

Координаты пропорциональны: (2;4;6)(2;4;6) и (1;2;3)(1;2;3) коллинеарны, так как первый — удвоенный второй.

Главные формулы

AB→=(xB−xA; yB−yA; zB−zA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)
Координаты вектора
∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
Длина вектора
M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)
Середина отрезка
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
Скалярное произведение
cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}
Угол между векторами
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
Уравнение сферы

Понятия и термины

Коллинеарные векторы
x1x2=y1y2=z1z2\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}
Перпендикулярные векторы
a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0
Симметрия относительно плоскости OxyOxy
(x;y;z)→(x;y;−z)(x;y;z)\to(x;y;-z)
Симметрия относительно начала координат
(x;y;z)→(−x;−y;−z)(x;y;z)\to(-x;-y;-z)

Разбор темы

Преобразования

Относительно оси OxOx меняют знак yy и zz; относительно плоскости OxzOxz меняет знак только yy.

Параллельный перенос на вектор p⃗\vec p: к координатам точки прибавляются координаты p⃗\vec p.

Уравнение сферы и плоскости 10–11 класс

Сфера: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. Плоскость: Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0, вектор (A;B;C)(A;B;C) перпендикулярен плоскости.

Расстояние от точки до плоскости: d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Примеры задач с решением

Задача 1A(1;2;3)A(1;2;3), B(3;−2;7)B(3;-2;7). Найдите AB→\overrightarrow{AB}, ∣AB∣|AB| и середину ABAB.
  1. AB→=(2;−4;4)\overrightarrow{AB}=(2;-4;4).
  2. ∣AB∣=4+16+16=6|AB|=\sqrt{4+16+16}=6.
  3. M(2;0;5)M(2;0;5).
Ответ (2;−4;4); 6; M(2;0;5)(2;-4;4);\ 6;\ M(2;0;5)
Задача 2Найдите угол между a⃗(1;1;0)\vec a(1;1;0) и b⃗(0;1;1)\vec b(0;1;1).
  1. a⃗⋅b⃗=1\vec a\cdot\vec b=1, ∣a⃗∣=∣b⃗∣=2|\vec a|=|\vec b|=\sqrt2.
  2. cos⁡φ=12\cos\varphi=\dfrac12.
Ответ 60∘60^\circ
Задача 3При каком mm векторы (2;m;4)(2;m;4) и (1;3;2)(1;3;2) коллинеарны?
  1. 21=m3=42\dfrac21=\dfrac m3=\dfrac42.
Ответ m=6m=6

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Найдите угол между векторами a⃗=(1;2;2)\vec a=(1;2;2) и b⃗=(2;−1;2)\vec b=(2;-1;2), а также при каком mm вектор c⃗=(m;1;−1)\vec c=(m;1;-1) перпендикулярен a⃗\vec a.

Идея: cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}; перпендикулярность — скалярное произведение 0.

  1. Скалярное произведение
    1⋅2+2⋅(−1)+2⋅2=41\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot2=4.
  2. Длины
    ∣a⃗∣=1+4+4=3|\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3, ∣b⃗∣=4+1+4=3|\vec b|=\sqrt{4+1+4}=3.
  3. Угол
    cos⁡φ=49\cos\varphi=\dfrac49, φ=arccos⁡49\varphi=\arccos\dfrac49.
  4. Перпендикулярность
    a⃗⋅c⃗=m+2−2=m=0\vec a\cdot\vec c=m+2-2=m=0.
Ответ arccos⁡49\arccos\dfrac49; m=0m=0
Задача 2Найдите расстояние от точки M(1;2;3)M(1;2;3) до плоскости 2x−y+2z−1=02x-y+2z-1=0.

Идея: Формула расстояния от точки до плоскости.

  1. Подставляем точку
    ∣2⋅1−2+2⋅3−1∣=∣5∣=5|2\cdot1-2+2\cdot3-1|=|5|=5.
  2. Длина нормали
    4+1+4=3\sqrt{4+1+4}=3.
  3. Делим
    d=53d=\dfrac53.
Ответ 53\dfrac53

Частые ловушки на ЕНТ

  • Координаты вектора — «конец минус начало».
  • Скалярное произведение — число, а не вектор.
  • Симметрия относительно оси меняет две координаты, относительно плоскости — одну.

Запомнить

Перпендикулярны — a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0; коллинеарны — координаты пропорциональны.

Проверь себя

1. ∣a⃗∣|\vec a| при a⃗(2;−1;2)\vec a(2;-1;2):
  1. 3
  2. 9
  3. 5
  4. 5\sqrt5
Показать ответ

3 4+1+4\sqrt{4+1+4}.

2. Точка, симметричная (2;−3;5)(2;-3;5) относительно OxyOxy:
  1. (2;−3;−5)(2;-3;-5)
  2. (−2;3;5)(-2;3;5)
  3. (−2;3;−5)(-2;3;-5)
  4. (2;3;5)(2;3;5)
Показать ответ

(2;−3;−5)(2;-3;-5) Меняется знак zz.

3. a⃗(1;2;3)⋅b⃗(3;0;−1)=\vec a(1;2;3)\cdot\vec b(3;0;-1)=
  1. 0
  2. 6
  3. 2
  4. −3-3
Показать ответ

0 3+0−33+0-3.

4. Векторы (1;2;3)(1;2;3) и (3;0;−1)(3;0;-1):
  1. коллинеарны
  2. перпендикулярны
  3. равны
  4. сонаправлены
Показать ответ

перпендикулярны 3+0−3=03+0-3=0.

Связанные темы

15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования16. Геометрические фигуры в пространстве17. Метрические соотношения в пространстве

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ