Тема 2

Действия со степенями

Что проверяют по спецификации:

Степень с целым показателемСвойства степенейСтепень с рациональным показателемСтандартный вид числа

Суть за минуту

Степень

a^n

— это произведение

n

одинаковых множителей

a

. Свойства степеней позволяют быстро упрощать выражения: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении в степень перемножаются. Отрицательный показатель переворачивает дробь, а дробный превращает степень в корень.

Объясняем просто

Степень — это короткая запись повторного умножения: $2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$ . Все правила степеней получаются, если просто посчитать, сколько одинаковых множителей стоит в произведении.

Умножение — показатели складываем

$2^3\cdot2^4$ : это $(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)$ — всего 7 двоек, то есть $2^7$ . Отсюда $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ .

Деление — вычитаем

$\dfrac{2^5}{2^3}$ : три двойки сокращаются, остаются две: $2^2$ . Значит $a^m:a^n=a^{m-n}$ .

Почему $a^0=1$ и $a^{-1}=\dfrac1a$

$\dfrac{2^3}{2^3}=1$ , но по правилу это $2^{3-3}=2^0$ . Значит $2^0=1$ .

$\dfrac{2^2}{2^3}=\dfrac12$ , а по правилу $2^{-1}$ . Минус в показателе — «переверни дробь»: $\left(\dfrac23\right)^{-2}=\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94$ .

Дробный показатель — это корень

$a^{1/2}=\sqrt a$ , потому что $(a^{1/2})^2=a^1$ . Аналогично $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=2^2=4$ : знаменатель — степень корня, числитель — степень числа.

Главный приём ЕНТ

Приведите все числа к одному основанию: $4=2^2$ , $8=2^3$ , $0{,}25=2^{-2}$ , $\sqrt2=2^{1/2}$ . После этого остаётся только сложить и вычесть показатели.

Главные формулы

a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}

Умножение и деление

(a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^nb^n

Степень степени и произведения

\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n},\qquad \left(\dfrac ab\right)^{-n}=\left(\dfrac ba\right)^n

Степень дроби

a^0=1,\qquad a^{-n}=\dfrac1{a^n}

Нулевой и отрицательный показатель,

a\ne0

a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}

Рациональный показатель,

a>0

x=a\cdot10^n,\quad 1\le a<10

Стандартный вид числа

Понятия и термины

Основание и показатель: В $a^n$ : $a$ — основание, $n$ — показатель
Стандартный вид: Запись числа как $a\cdot10^n$ , где $1\le a<10$
Порядок числа: Показатель $n$ в стандартном виде

Разбор темы

Главный приём

Приведите все степени к одному основанию: $4=2^2$ , $8=2^3$ , $27=3^3$ , $0{,}25=2^{-2}$ .

После этого работайте только с показателями.

Рациональный показатель

$27^{\frac23}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9$ . Сначала удобно извлечь корень, потом возвести в степень.

$16^{0{,}75}=16^{\frac34}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$ .

Последняя цифра степени 7 класс

Последние цифры степеней повторяются с периодом не больше 4. Для 7: $7^1\to7$ , $7^2\to9$ , $7^3\to3$ , $7^4\to1$ , затем снова 7, 9, 3, 1.

Чтобы найти последнюю цифру $7^{2026}$ , делим показатель на 4: $2026=4\cdot506+2$ , остаток 2 — цифра как у $7^2$ , то есть 9.

Стандартный вид и погрешности 7 класс

Стандартный вид: $a\cdot10^n$ , где $1\le a<10$ . Масса Земли $5{,}97\cdot10^{24}$ кг, размер атома $10^{-10}$ м.

При умножении чисел в стандартном виде мантиссы перемножают, показатели складывают: $(3\cdot10^5)(4\cdot10^{-2})=12\cdot10^3=1{,}2\cdot10^4$ .

Абсолютная погрешность $|x-a|$ , относительная $\dfrac{|x-a|}{|x|}\cdot100\%$ .

Как меняются площадь и объём 7 класс

Если сторону квадрата увеличить в $k$ раз, площадь вырастет в $k^2$ раз; ребро куба в $k$ раз — объём в $k^3$ раз. Сторона ×2 → площадь ×4, объём ×8.

Степенная функция 11 класс

$y=x^n$ : при чётном $n$ график симметричен относительно оси $Oy$ (как парабола), при нечётном — относительно начала координат (как кубическая парабола).

$y=x^{-1}=\dfrac1x$ — гипербола; $y=x^{1/2}=\sqrt x$ — «половина параболы, лежащая на боку».

Примеры задач с решением

Задача 1Вычислите

\dfrac{2^5\cdot4^3}{8^3}

$4^3=(2^2)^3=2^6$ , $8^3=(2^3)^3=2^9$ .
$\dfrac{2^5\cdot2^6}{2^9}=2^{5+6-9}=2^2$ .

Ответ 4

Задача 2Вычислите

\left(\dfrac23\right)^{-2}+27^{\frac23}

$\left(\dfrac23\right)^{-2}=\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94$ .
$27^{\frac23}=9$ .
$\dfrac94+9=\dfrac{45}{4}$ .

Ответ

11{,}25

Задача 3Запишите в стандартном виде

0{,}00052

Переносим запятую на 4 знака вправо: $5{,}2$ .
Число уменьшили — показатель отрицательный: $5{,}2\cdot10^{-4}$ .

Ответ

5{,}2\cdot10^{-4}

Задача 4Найдите последнюю цифру числа

3^{2025}

Цикл последних цифр 3: 3, 9, 7, 1 (длина 4).
$2025=4\cdot506+1$ , остаток 1 — цифра как у $3^1$ .

Ответ 3

Задача 5Вычислите

\dfrac{(4{,}8\cdot10^{6})\cdot(5\cdot10^{-4})}{1{,}2\cdot10^{3}}

Мантиссы: $\dfrac{4{,}8\cdot5}{1{,}2}=20$ .
Показатели: $6-4-3=-1$ . $20\cdot10^{-1}=2$ .

Ответ 2

Сложные задачи: шаг за шагом

Задача 1Вычислите

\dfrac{2^{10}\cdot9^{5}}{6^{9}\cdot 3}

Идея: Разложите всё на простые множители 2 и 3.

Раскладываем
$9^5=(3^2)^5=3^{10}$ ; $6^9=2^9\cdot3^9$ .
Подставляем
$\dfrac{2^{10}\cdot3^{10}}{2^9\cdot3^9\cdot3^1}=\dfrac{2^{10}\cdot3^{10}}{2^{9}\cdot3^{10}}$ .
Сокращаем одинаковые основания
$2^{10-9}\cdot3^{10-10}=2^1\cdot3^0=2$ .

Ответ 2

Задача 2Вычислите

\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0{,}75}+810000^{0{,}25}-\left(7\dfrac{19}{32}\right)^{0{,}2}

Идея: Десятичный показатель переводим в дробь, число — в степень простого.

Первое слагаемое
$\dfrac1{16}=2^{-4}$ , $-0{,}75=-\dfrac34$ : $(2^{-4})^{-3/4}=2^{3}=8$ .
Второе
$810000=30^4$ , $0{,}25=\dfrac14$ : $(30^4)^{1/4}=30$ .
Третье
$7\dfrac{19}{32}=\dfrac{243}{32}=\left(\dfrac32\right)^5$ ; $0{,}2=\dfrac15$ : $\left(\dfrac32\right)^{1}=1{,}5$ .
Складываем
$8+30-1{,}5=36{,}5$ .

Ответ

36{,}5

Задача 3Упростите

\dfrac{a^{1/3}-a^{-2/3}}{a^{1/3}+a^{-2/3}}

и найдите значение при

a=3

Идея: Вынесите общий множитель с наименьшим показателем $a^{-2/3}$ .

Выносим $a^{-2/3}$
$a^{1/3}=a^{-2/3}\cdot a^{1}$ , поэтому числитель $=a^{-2/3}(a-1)$ , знаменатель $=a^{-2/3}(a+1)$ .
Сокращаем
$\dfrac{a-1}{a+1}$ (при $a>0$ ).
Подставляем $a=3$
$\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac12$ .

Ответ

\dfrac{a-1}{a+1}

; при

a=3

—

0{,}5

Частые ловушки на ЕНТ

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ , а не $a^{mn}$ .
$(-2)^4=16$ , но $-2^4=-16$ : минус перед степенью не возводится.
$a^0=1$ только при $a\ne0$ ; $0^0$ не определено.
$(a^m)^n=a^{mn}$ , а $a^{m^n}$ — это другое: $2^{3^2}=2^9$ .

Запомнить

Сначала одно основание — потом действия с показателями.

Проверь себя

5^{-2}=

$-25$
$-10$
$\frac{1}{25}$
$\frac{1}{10}$

Показать ответ

$\frac{1}{25}$ $5^{-2}=\frac1{5^2}$ .

16^{0{,}75}=

Показать ответ

8 $(\sqrt[4]{16})^3=2^3$ .

3. Упростите

(a^3)^4\cdot a^{-5}

$a^{2}$
$a^{7}$
$a^{12}$
$a^{17}$

Показать ответ

$a^{7}$ $a^{12-5}=a^7$ .

4. Последняя цифра

2^{100}

Показать ответ

6 Цикл 2, 4, 8, 6; $100$ делится на 4 → 6.

5. Сторону куба увеличили в 3 раза. Объём увеличился в:

3 раза
9 раз
27 раз
6 раз

Показать ответ

27 раз $k^3=27$ .

Связанные темы

Узнай свой уровень: бесплатная диагностика ЕНТ

Суть за минуту

Объясняем просто

Умножение — показатели складываем

Деление — вычитаем

Почему a0=1a^0=1 и a−1=1aa^{-1}=\dfrac1a

Дробный показатель — это корень

Главный приём ЕНТ

Главные формулы

Понятия и термины

Разбор темы

Главный приём

Рациональный показатель

Последняя цифра степени 7 класс

Стандартный вид и погрешности 7 класс

Как меняются площадь и объём 7 класс

Степенная функция 11 класс

Примеры задач с решением

Сложные задачи: шаг за шагом

Частые ловушки на ЕНТ

Запомнить

Проверь себя

Связанные темы

Почему $a^0=1$ и $a^{-1}=\dfrac1a$