Тақырып 9

Тригонометриялық, иррационал, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелері

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Тригонометриялық теңдеулер жүйелеріИррационал теңдеулер жүйелеріКөрсеткіштік теңдеулер жүйелеріЛогарифмдік теңдеулер жүйелері

Бір минутта мәні

Тригонометриялық, иррационал, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелері қарапайым жүйелер сияқты алмастыру және қосу тәсілдерімен шешіледі. Негізгі тәсіл — сәтті алмастыру (

u=2^x

u=\sqrt x

u=\log_2x

), одан кейін жүйе сызықтық немесе симметриялы болады.

Қарапайым тілмен

Мұнда да сол жүйелер, бірақ теңдеулері «күрделі»: түбір, дәреже, логарифм бар. Құпиясы — алдымен әр теңдеуді қарапайымға (сызықтық немесе квадрат) айналдырып, содан кейін жүйені әдеттегі тәсілдермен шешу.

Көрсеткіштік: негіздерді теңестіру

$2^{x+y}=8$ теңдеуі $x+y=3$ -ке айналады. Негіздері бірдей әр көрсеткіштік теңдеу — көрсеткіштерге қатысты қарапайым сызықтық теңдеу.

Логарифмдік: логарифмді алып тастау

$\log_2x+\log_2y=3\Rightarrow xy=8$ , $\lg x-\lg y=1\Rightarrow\dfrac xy=10$ . Ұмытпаңыз: $x>0$ , $y>0$ .

Түбірлі: алмастыру

Жүйеде $\sqrt x$ пен $\sqrt y$ болса, $u=\sqrt x\ge0$ , $v=\sqrt y\ge0$ деп белгілеңіз — жүйе алгебралық болады.

Басты формулалар

a^x\cdot a^y=a^{x+y}

Көрсеткіштік жүйелер үшін

\log_ax+\log_ay=\log_a(xy)

Логарифмдік жүйелер үшін,

x,y>0

x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)

Иррационал жүйелер үшін

x+y=\dfrac\pi2\Rightarrow\sin y=\cos x

Тригонометриялық жүйелер үшін

Ұғымдар мен терминдер

Алмастыру: Жаңа айнымалы жүйені жеңілдетеді
Жүйенің ММО-сы: Барлық теңдеулердің ММО-ларының қиылысуы

Тақырыпты талдау

Алгоритм

1) ММО-ны жазыңыз. 2) Алмастыру жасаңыз немесе қасиеттерді қолданыңыз. 3) Шыққан жүйені шешіңіз. 4) Бастапқы айнымалыларға қайтыңыз. 5) ММО-ны тексеріңіз.

Тригонометриялық теңдеулер жүйелері 10 сынып

Көбіне теңдеулерді қосып-азайтады: $x+y=\dfrac\pi2$ , $\sin x+\sin y=\sqrt2$ жүйесінен синустар қосындысы формуласы бойынша $2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2=\sqrt2$ алынады.

Жауапта $x$ пен $y$ -тің әртүрлі бүтін параметрлері $n$ және $k$ болуы мүмкін.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Шешіңіз:

\begin{cases}3^x\cdot3^y=27\\x-y=1\end{cases}

$3^{x+y}=3^3\Rightarrow x+y=3$ .
$x-y=1$ теңдеуімен қосамыз: $2x=4$ , $x=2$ , $y=1$ .

Жауабы

(2;1)

Есеп 2Шешіңіз:

\begin{cases}\log_2x+\log_2y=3\\x+y=6\end{cases}

ММО: $x,y>0$ . $\log_2(xy)=3\Rightarrow xy=8$ .
$x+y=6$ , $xy=8$ : $t^2-6t+8=0$ , $t=2$ немесе $4$ .

Жауабы

(2;4),\ (4;2)

Есеп 3Шешіңіз:

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=5\\x-y=5\end{cases}

$x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)=5\Rightarrow\sqrt x-\sqrt y=1$ .
$\sqrt x=3$ , $\sqrt y=2$ .

Жауабы

(9;4)

Есеп 4Шешіңіз:

\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=5\\x-y=5\end{cases}

$x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)=5\Rightarrow\sqrt x-\sqrt y=1$ .
$\sqrt x=3$ , $\sqrt y=2$ → $x=9$ , $y=4$ .

Жауабы

(9;4)

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Шешіңіз:

\begin{cases}2^x\cdot3^y=12\\3^x\cdot2^y=18\end{cases}

Идея: Теңдеулерді көбейтеміз және бөлеміз.

Көбейтеміз
$6^x\cdot6^y=216=6^3\Rightarrow x+y=3$ .
Біріншіні екіншіге бөлеміз
$\left(\dfrac23\right)^x\cdot\left(\dfrac32\right)^y=\dfrac{12}{18}=\dfrac23\Rightarrow\left(\dfrac23\right)^{x-y}=\left(\dfrac23\right)^1\Rightarrow x-y=1$ .
Сызықтық жүйе
$x=2$ , $y=1$ . Тексеру: $4\cdot3=12$ ✓, $9\cdot2=18$ ✓.

Жауабы

(2;1)

Есеп 2Шешіңіз:

\begin{cases}\log_2x+\log_2y=4\\x+y=10\end{cases}

Идея: Логарифмдер → көбейтінді, содан кейін Виет.

ММО
$x>0$ , $y>0$ .
Бірінші теңдеу
$\log_2(xy)=4\Rightarrow xy=16$ .
Виет
$t^2-10t+16=0$ : $t=2$ , $t=8$ .

Жауабы

(2;8),\ (8;2)

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

Алмастырудан кейін бастапқы айнымалыларға қайтуды ұмытпаңыз.
Логарифмдік жүйелер — тек оң айнымалылар үшін.
Тригонометриялық жүйелерде жауап $n$ параметрімен жазылады.
Логарифмдік жүйелерде барлық аргументтің оң екенін тексеріңіз.

Есте сақта

Алмастыру «қорқынышты» жүйені таныс жүйеге айналдырады.

Өзіңді тексер

\begin{cases}2^x=8\\2^y=4\end{cases}

x+y

табыңыз:

Жауабын көрсету

5 $x=3$ , $y=2$ .

\begin{cases}\lg x+\lg y=2\\x=y\end{cases}

$(10;10)$
$(1;1)$
$(100;1)$
$(\pm10;\pm10)$

Жауабын көрсету

$(10;10)$ $x^2=100$ , $x>0$ .

\begin{cases}\sqrt x=2\\\sqrt y=3\end{cases}

x+y=

Жауабын көрсету

13 $4+9$ .

3^{x-y}=1

теңдеуінен шығады:

$x-y=1$
$x=y$
$x-y=3$
$x+y=0$

Жауабын көрсету

$x=y$ $3^0=1$ .

Байланысты тақырыптар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика