Тақырып 8

Екі айнымалысы бар сызықтық және сызықтық емес теңдеулер жүйесі

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Алмастыру тәсіліҚосу тәсіліГрафиктік тәсілСызықтық жүйе шешімдерінің саныСызықтық емес жүйелер

Бір минутта мәні

Екі айнымалысы бар екі теңдеу жүйесін алмастыру, қосу немесе графиктік тәсілмен шешеді. Шешім — екі теңдеуді де қанағаттандыратын (x;y)(x;y) сандар жұбы. Графикте бұл сызықтардың қиылысу нүктесі; сызықтық жүйенің бір шешімі болуы, мүлде болмауы немесе шексіз көп болуы мүмкін.

Қарапайым тілмен

Теңдеулер жүйесі — бір мезгілде орындалуы тиіс бірнеше шарт. Жүйенің шешімі — барлық теңдеуге бірден сәйкес келетін xx пен yy. Геометриялық тұрғыдан — графиктердің қиылысу нүктелері.

Орнына қою: «өрнекте де, қой»

Бір теңдеуден бір айнымалыны өрнектеп (y=5−xy=5-x), екіншісіне қоямыз — бір әріпті теңдеу қалады.

Қосу: «айнымалыны жой»

Теңдеулерде +3y+3y және −3y-3y болса, оларды қосыңыз — yy жоғалады. Коэффициенттер қарама-қарсы болмаса, алдымен теңдеуді санға көбейтіңіз.

Сызықтық жүйенің неше шешімі бар

Жазықтықтағы екі түзу: қиылысады (бір шешім), параллель (шешім жоқ), беттеседі (шексіз көп). Коэффициенттерді салыстырыңыз: a1a2≠b1b2\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2} — бір шешім.

Басты формулалар

a1a2≠b1b2\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}
Бір шешім (түзулер қиылысады)
a1a2=b1b2≠c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}
Шешімі жоқ (түзулер параллель)
a1a2=b1b2=c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}
Шексіз көп шешім (беттеседі)
{x+y=Sxy=P⇒t2−St+P=0\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}\Rightarrow t^2-St+P=0
Симметриялы жүйе Виет арқылы

Ұғымдар мен терминдер

Алмастыру
Бір айнымалыны өрнектеп, екінші теңдеуге қоямыз
Қосу
Бір айнымалы жойылатындай теңдеулерді қосамыз
Графиктік тәсіл
Графиктерді салып, қиылысу нүктелерін іздейміз

Тақырыпты талдау

Тәсілді таңдау

Теңдеуде коэффициенті 1-ге тең айнымалы болса — алмастыру. Бір айнымалының коэффициенттері қарама-қарсы болса — қосу.

x+yx+y, xyxy түріндегі жүйелерде Виет теоремасы арқылы квадрат теңдеуге көшкен ыңғайлы.

Сызықтық емес жүйелер

Сызықтық теңдеуден бір айнымалыны өрнектеп, сызықтық емес теңдеуге қойыңыз.

Сызықтық емес жүйенің шешімдері бірнешеу болуы мүмкін.

Жүйемен шығарылатын мәтінді есептер 6–9 сынып

Есепте екі белгісіз шама болғанда ыңғайлы: сандар, жылдамдықтар, бағалар. Әр шарт — бір теңдеу.

«Екі таңбалы сан» есептері: сан =10a+b=10a+b, мұнда aa — ондықтар, bb — бірліктер; цифрлары орын ауыстырған сан =10b+a=10b+a.

Симметриялы жүйелер 9–10 сынып

Жүйе x↔yx\leftrightarrow y алмастырғанда өзгермесе, u=x+yu=x+y, v=xyv=xy енгізеді. x2+y2=u2−2vx^2+y^2=u^2-2v, x3+y3=u(u2−3v)x^3+y^3=u(u^2-3v) формулалары көмектеседі.

Екі айнымалысы бар теңсіздіктер 9 сынып

y>x2y>x^2 — параболадан жоғары нүктелер жиыны; x2+y2≤4x^2+y^2\le4 — радиусы 2 дөңгелек. Теңсіздіктер жүйесі — осындай аймақтардың қиылысуы.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Шешіңіз: {2x+3y=12x−y=1\begin{cases}2x+3y=12\\x-y=1\end{cases}
  1. Екіншісінен: x=y+1x=y+1.
  2. 2(y+1)+3y=12⇒5y=10⇒y=22(y+1)+3y=12\Rightarrow5y=10\Rightarrow y=2, x=3x=3.
Жауабы (3;2)(3;2)
Есеп 2Шешіңіз: {x+y=5xy=6\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}
  1. xx және yy — t2−5t+6=0t^2-5t+6=0 теңдеуінің түбірлері: t=2t=2 және t=3t=3.
Жауабы (2;3), (3;2)(2;3),\ (3;2)
Есеп 3Шешіңіз: {x2+y2=25x−y=1\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=1\end{cases}
  1. x=y+1x=y+1: (y+1)2+y2=25⇒y2+y−12=0(y+1)^2+y^2=25\Rightarrow y^2+y-12=0.
  2. y=3⇒x=4y=3\Rightarrow x=4; y=−4⇒x=−3y=-4\Rightarrow x=-3.
Жауабы (4;3), (−3;−4)(4;3),\ (-3;-4)
Есеп 4Екі санның қосындысы 20, айырмасы 4. Сандарды табыңыз.
  1. x+y=20x+y=20, x−y=4x-y=4. Қосамыз: 2x=242x=24, x=12x=12, y=8y=8.
Жауабы 12 және 8
Есеп 5aa-ның қандай мәнінде {2x+3y=54x+ay=1\begin{cases}2x+3y=5\\4x+ay=1\end{cases} жүйесінің шешімі жоқ?
  1. Параллельдік: 24=3a≠51\dfrac24=\dfrac3a\ne\dfrac51.
  2. a=6a=6.
Жауабы 6

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1{x+y=5xy=6\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases} жүйесін, содан кейін {x2+y2=13x+y=5\begin{cases}x^2+y^2=13\\x+y=5\end{cases} жүйесін шешіңіз.

Идея: Біріншісі — Виет теоремасы; екіншісінде xyxy-ті қосындының квадраты арқылы табамыз.

  1. Бірінші жүйе Виет бойынша
    x,yx,y — t2−5t+6=0t^2-5t+6=0 түбірлері: t=2t=2 және 33. Шешімдер (2;3)(2;3) және (3;2)(3;2).
  2. Екіншісі: xyxy-ті табамыз
    (x+y)2=x2+y2+2xy⇒25=13+2xy⇒xy=6(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\Rightarrow25=13+2xy\Rightarrow xy=6.
  3. Біріншісіне келтірілді
    Шешімдері сол: (2;3)(2;3) және (3;2)(3;2).
Жауабы (2;3), (3;2)(2;3),\ (3;2)
Есеп 2Екі таңбалы сан өз цифрларының қосындысынан 4 есе үлкен. Оған 27-ні қоссақ, сол цифрлармен кері ретпен жазылған сан шығады. Санды табыңыз.

Идея: Сан 10a+b10a+b, аударылғаны 10b+a10b+a.

  1. Бірінші шарт
    10a+b=4(a+b)⇒6a=3b⇒b=2a10a+b=4(a+b)\Rightarrow6a=3b\Rightarrow b=2a.
  2. Екінші шарт
    10a+b+27=10b+a⇒9a−9b=−27⇒b−a=310a+b+27=10b+a\Rightarrow9a-9b=-27\Rightarrow b-a=3.
  3. Шешеміз
    2a−a=3⇒a=32a-a=3\Rightarrow a=3, b=6b=6.
  4. Тексеру
    36=4⋅936=4\cdot9 ✓; 36+27=6336+27=63 ✓.
Жауабы 36
Есеп 3Шешіңіз: {x2+y2=25y−x=1\begin{cases}x^2+y^2=25\\y-x=1\end{cases}.

Идея: y=x+1y=x+1-ді шеңбер теңдеуіне қоямыз.

  1. Орнына қоямыз
    x2+(x+1)2=25⇒2x2+2x−24=0⇒x2+x−12=0x^2+(x+1)^2=25\Rightarrow2x^2+2x-24=0\Rightarrow x^2+x-12=0.
  2. Түбірлер
    x=3x=3 немесе x=−4x=-4.
  3. yy-ті табамыз
    y=4y=4 және y=−3y=-3.
Жауабы (3;4), (−4;−3)(3;4),\ (-4;-3)

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Жауап — бір сан емес, сандар жұбы.
  • Симметриялы жүйелерде (2;3)(2;3) және (3;2)(3;2) екі жұбын да ұмытпаңыз.
  • Пропорционал коэффициенттер — параллель немесе беттесетін түзулердің белгісі.
  • Жүйенің шешімін (x;y)(x;y) жұбы түрінде жазыңыз — ретін шатастырсаңыз, жауап қате болады.

Есте сақта

Жүйенің шешімі — графиктердің қиылысу нүктесі.

Өзіңді тексер

1. {x+2y=32x+4y=6\begin{cases}x+2y=3\\2x+4y=6\end{cases} жүйесінің неше шешімі бар?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. шексіз көп
Жауабын көрсету

шексіз көп Екінші теңдеу — 2-ге көбейтілген бірінші теңдеу.

2. {x+y=10x−y=4\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases}
  1. (7;3)(7;3)
  2. (3;7)(3;7)
  3. (6;4)(6;4)
  4. (5;5)(5;5)
Жауабын көрсету

(7;3)(7;3) Қосамыз: 2x=142x=14.

3. {2x+y=14x+2y=c\begin{cases}2x+y=1\\4x+2y=c\end{cases} жүйесінің қашан шешімі жоқ?
  1. c=2c=2
  2. c≠2c\ne2
  3. c=1c=1
  4. әрқашан
Жауабын көрсету

c≠2c\ne2 c≠2c\ne2 болғанда 24=12≠1c\frac24=\frac12\ne\frac1c.

4. x+y=1x+y=1, 2x+2y=22x+2y=2 жүйесінің шешімдері:
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. шексіз көп
Жауабын көрсету

шексіз көп Теңдеулер мәндес — түзулер беттеседі.

5. x+y=4x+y=4, xy=3xy=3 болса, x2+y2=x^2+y^2=
  1. 10
  2. 16
  3. 13
  4. 7
Жауабын көрсету

10 16−6=1016-6=10.

Байланысты тақырыптар

5. Сызықтық, квадрат және бөлшек-рационал теңдеулер9. Тригонометриялық, иррационал, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелері11. Теңсіздіктер жүйесі

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика