Тақырып 2

Дәрежелерге амалдар

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Бүтін көрсеткішті дәрежеДәреже қасиеттеріРационал көрсеткішті дәрежеСанның стандарт түрі

Бір минутта мәні

a^n

дәрежесі —

n

бірдей

a

көбейткішінің көбейтіндісі. Дәреже қасиеттері өрнектерді тез ықшамдауға мүмкіндік береді: көбейткенде көрсеткіштер қосылады, бөлгенде азаяды, дәрежеге шығарғанда көбейтіледі. Теріс көрсеткіш бөлшекті аударады, ал бөлшек көрсеткіш дәрежені түбірге айналдырады.

Қарапайым тілмен

Дәреже — бірдей көбейткіштерді қайталап көбейтудің қысқа жазуы: $2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$ . Дәреженің барлық ережесі көбейтіндіде бірдей көбейткіштің қанша екенін санағанда шығады.

Көбейткенде — көрсеткіштерді қосамыз

$2^3\cdot2^4$ : бұл $(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)$ — барлығы 7 екілік, яғни $2^7$ . Осыдан $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ .

Бөлгенде — азайтамыз

$\dfrac{2^5}{2^3}$ : үш екілік қысқарады, екеуі қалады: $2^2$ . Демек $a^m:a^n=a^{m-n}$ .

Неге $a^0=1$ және $a^{-1}=\dfrac1a$

$\dfrac{2^3}{2^3}=1$ , бірақ ереже бойынша бұл $2^{3-3}=2^0$ . Демек $2^0=1$ .

$\dfrac{2^2}{2^3}=\dfrac12$ , ал ереже бойынша $2^{-1}$ . Көрсеткіштегі минус — «бөлшекті аудар»: $\left(\dfrac23\right)^{-2}=\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94$ .

Бөлшек көрсеткіш — бұл түбір

$a^{1/2}=\sqrt a$ , өйткені $(a^{1/2})^2=a^1$ . Дәл солай $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=2^2=4$ : бөлімі — түбір дәрежесі, алымы — санның дәрежесі.

ҰБТ-ның басты тәсілі

Барлық санды бір негізге келтіріңіз: $4=2^2$ , $8=2^3$ , $0{,}25=2^{-2}$ , $\sqrt2=2^{1/2}$ . Содан кейін тек көрсеткіштерді қосып-азайту қалады.

Басты формулалар

a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}

Көбейту және бөлу

(a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^nb^n

Дәреженің дәрежесі және көбейтіндінің дәрежесі

\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n},\qquad \left(\dfrac ab\right)^{-n}=\left(\dfrac ba\right)^n

Бөлшектің дәрежесі

a^0=1,\qquad a^{-n}=\dfrac1{a^n}

Нөлдік және теріс көрсеткіш,

a\ne0

a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}

Рационал көрсеткіш,

a>0

x=a\cdot10^n,\quad 1\le a<10

Санның стандарт түрі

Ұғымдар мен терминдер

Негіз және көрсеткіш: $a^n$ жазуында: $a$ — негіз, $n$ — көрсеткіш
Стандарт түрі: Санды $a\cdot10^n$ түрінде жазу, мұнда $1\le a<10$
Санның реті: Стандарт түрдегі $n$ көрсеткіші

Тақырыпты талдау

Негізгі тәсіл

Барлық дәрежені бір негізге келтіріңіз: $4=2^2$ , $8=2^3$ , $27=3^3$ , $0{,}25=2^{-2}$ .

Осыдан кейін тек көрсеткіштермен жұмыс істеңіз.

Рационал көрсеткіш

$27^{\frac23}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9$ . Алдымен түбірді алып, сосын дәрежеге шығарған ыңғайлы.

$16^{0{,}75}=16^{\frac34}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$ .

Дәреженің соңғы цифры 7 сынып

Дәрежелердің соңғы цифрлары ең көбі 4 периодпен қайталанады. 7 үшін: $7^1\to7$ , $7^2\to9$ , $7^3\to3$ , $7^4\to1$ , содан кейін қайтадан 7, 9, 3, 1.

$7^{2026}$ -ның соңғы цифрын табу үшін көрсеткішті 4-ке бөлеміз: $2026=4\cdot506+2$ , қалдық 2 — цифр $7^2$ -дағыдай, яғни 9.

Стандарт түр және қателіктер 7 сынып

Стандарт түр: $a\cdot10^n$ , мұнда $1\le a<10$ . Жердің массасы $5{,}97\cdot10^{24}$ кг, атом өлшемі $10^{-10}$ м.

Стандарт түрдегі сандарды көбейткенде мантиссалар көбейтіледі, көрсеткіштер қосылады: $(3\cdot10^5)(4\cdot10^{-2})=12\cdot10^3=1{,}2\cdot10^4$ .

Абсолют қателік $|x-a|$ , салыстырмалы $\dfrac{|x-a|}{|x|}\cdot100\%$ .

Аудан мен көлем қалай өзгереді 7 сынып

Квадрат қабырғасын $k$ есе арттырса, аудан $k^2$ есе, куб қырын $k$ есе арттырса, көлем $k^3$ есе өседі. Қабырға ×2 → аудан ×4, көлем ×8.

Дәрежелік функция 11 сынып

$y=x^n$ : $n$ жұп болса, график $Oy$ осіне қатысты симметриялы (парабола сияқты), тақ болса — координаталар басына қатысты (кубтық парабола сияқты).

$y=x^{-1}=\dfrac1x$ — гипербола; $y=x^{1/2}=\sqrt x$ — «жантайып жатқан параболаның жартысы».

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Есептеңіз:

\dfrac{2^5\cdot4^3}{8^3}

$4^3=(2^2)^3=2^6$ , $8^3=(2^3)^3=2^9$ .
$\dfrac{2^5\cdot2^6}{2^9}=2^{5+6-9}=2^2$ .

Жауабы 4

Есеп 2Есептеңіз:

\left(\dfrac23\right)^{-2}+27^{\frac23}

$\left(\dfrac23\right)^{-2}=\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94$ .
$27^{\frac23}=9$ .
$\dfrac94+9=\dfrac{45}{4}$ .

Жауабы

11{,}25

Есеп 3

0{,}00052

санын стандарт түрде жазыңыз.

Үтірді оңға 4 таңбаға жылжытамыз: $5{,}2$ .
Сан кішірейді — көрсеткіш теріс: $5{,}2\cdot10^{-4}$ .

Жауабы

5{,}2\cdot10^{-4}

Есеп 4

3^{2025}

санының соңғы цифрын табыңыз.

3-тің соңғы цифрлар циклі: 3, 9, 7, 1 (ұзындығы 4).
$2025=4\cdot506+1$ , қалдық 1 — цифр $3^1$ -дегідей.

Жауабы 3

Есеп 5Есептеңіз:

\dfrac{(4{,}8\cdot10^{6})\cdot(5\cdot10^{-4})}{1{,}2\cdot10^{3}}

Мантиссалар: $\dfrac{4{,}8\cdot5}{1{,}2}=20$ .
Көрсеткіштер: $6-4-3=-1$ . $20\cdot10^{-1}=2$ .

Жауабы 2

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Есептеңіз:

\dfrac{2^{10}\cdot9^{5}}{6^{9}\cdot 3}

Идея: Бәрін 2 мен 3 жай көбейткіштеріне жіктеңіз.

Жіктейміз
$9^5=(3^2)^5=3^{10}$ ; $6^9=2^9\cdot3^9$ .
Орнына қоямыз
$\dfrac{2^{10}\cdot3^{10}}{2^9\cdot3^9\cdot3^1}=\dfrac{2^{10}\cdot3^{10}}{2^{9}\cdot3^{10}}$ .
Бірдей негіздерді қысқартамыз
$2^{10-9}\cdot3^{10-10}=2^1\cdot3^0=2$ .

Жауабы 2

Есеп 2Есептеңіз:

\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0{,}75}+810000^{0{,}25}-\left(7\dfrac{19}{32}\right)^{0{,}2}

Идея: Ондық көрсеткішті бөлшекке, санды жай санның дәрежесіне айналдырамыз.

Бірінші қосылғыш
$\dfrac1{16}=2^{-4}$ , $-0{,}75=-\dfrac34$ : $(2^{-4})^{-3/4}=2^{3}=8$ .
Екінші
$810000=30^4$ , $0{,}25=\dfrac14$ : $(30^4)^{1/4}=30$ .
Үшінші
$7\dfrac{19}{32}=\dfrac{243}{32}=\left(\dfrac32\right)^5$ ; $0{,}2=\dfrac15$ : $\dfrac32=1{,}5$ .
Қосамыз
$8+30-1{,}5=36{,}5$ .

Жауабы

36{,}5

Есеп 3

\dfrac{a^{1/3}-a^{-2/3}}{a^{1/3}+a^{-2/3}}

өрнегін ықшамдап,

a=3

болғандағы мәнін табыңыз.

Идея: Ең кіші көрсеткішті ортақ көбейткіш $a^{-2/3}$ -ді жақша сыртына шығарыңыз.

$a^{-2/3}$ -ді шығарамыз
$a^{1/3}=a^{-2/3}\cdot a^{1}$ , сондықтан алымы $=a^{-2/3}(a-1)$ , бөлімі $=a^{-2/3}(a+1)$ .
Қысқартамыз
$\dfrac{a-1}{a+1}$ ( $a>0$ ).
$a=3$ қоямыз
$\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac12$ .

Жауабы

\dfrac{a-1}{a+1}

;

a=3

болғанда —

0{,}5

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ , $a^{mn}$ емес.
$(-2)^4=16$ , бірақ $-2^4=-16$ : дәреже алдындағы минус дәрежеге шықпайды.
$a^0=1$ тек $a\ne0$ болғанда; $0^0$ анықталмаған.
$(a^m)^n=a^{mn}$ , ал $a^{m^n}$ — басқа: $2^{3^2}=2^9$ .

Есте сақта

Алдымен бір негіз — сосын көрсеткіштермен амалдар.

Өзіңді тексер

5^{-2}=

$-25$
$-10$
$\frac{1}{25}$
$\frac{1}{10}$

Жауабын көрсету

$\frac{1}{25}$ $5^{-2}=\frac1{5^2}$ .

16^{0{,}75}=

Жауабын көрсету

8 $(\sqrt[4]{16})^3=2^3$ .

3. Ықшамдаңыз:

(a^3)^4\cdot a^{-5}

$a^{2}$
$a^{7}$
$a^{12}$
$a^{17}$

Жауабын көрсету

$a^{7}$ $a^{12-5}=a^7$ .

2^{100}

-дің соңғы цифры:

Жауабын көрсету

6 Цикл 2, 4, 8, 6; $100$ 4-ке бөлінеді → 6.

5. Куб қырын 3 есе арттырды. Көлем неше есе артты:

Жауабын көрсету

27 $k^3=27$ .

Байланысты тақырыптар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика

Бір минутта мәні

Қарапайым тілмен

Көбейткенде — көрсеткіштерді қосамыз

Бөлгенде — азайтамыз

Неге a0=1a^0=1 және a−1=1aa^{-1}=\dfrac1a

Бөлшек көрсеткіш — бұл түбір

ҰБТ-ның басты тәсілі

Басты формулалар

Ұғымдар мен терминдер

Тақырыпты талдау

Негізгі тәсіл

Рационал көрсеткіш

Дәреженің соңғы цифры 7 сынып

Стандарт түр және қателіктер 7 сынып

Аудан мен көлем қалай өзгереді 7 сынып

Дәрежелік функция 11 сынып

Шешімі бар есеп мысалдары

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

Есте сақта

Өзіңді тексер

Байланысты тақырыптар

Неге $a^0=1$ және $a^{-1}=\dfrac1a$