Тақырып 1

Түбірлерге амалдар. Санды, әріпті, бөлшек және бүтін өрнектер

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Түбірдің қасиеттеріТүбір астынан көбейткішті шығаруБөлімдегі иррационалдықтан құтылуСанды және әріпті өрнектерМүмкін мәндер облысы

Бір минутта мәні

a

санының

n

-ші дәрежелі түбірі —

n

-ші дәрежесі

a

-ға тең сан. ҰБТ-да көбінесе түбірлері бар өрнекті ықшамдау керек: көбейткішті шығару, ұқсас түбірлерді қосу немесе бөлімдегі иррационалдықтан құтылу. Ең бастысы:

\sqrt{a^2}=|a|

және жұп дәрежелі түбір тек теріс емес саннан алынады.

Қарапайым тілмен

Түбір «берілген санды алу үшін қандай санды өзіне-өзін көбейту керек?» деген сұраққа жауап береді. $\sqrt{49}=7$ , себебі $7\cdot7=49$ . Түбірмен жұмыс істеудің барлық тәсілі — сан ішінен «толық квадратты» іздеу.

Түбір — квадратқа кері амал

Квадрат: $5\to25$ . Түбір: $25\to5$ . Азайту қосуды жойғандай, түбір квадратқа шығаруды жояды.

Сондықтан әрқашан $(\sqrt7)^2=7$ , ал $\sqrt{a^2}=|a|$ — модуль, өйткені түбір анықтама бойынша теріс болмайды: $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$ .

Түбір астынан шығару = ішінен квадрат табу

$\sqrt{72}$ : 72 бөлінетін ең үлкен квадратты іздейміз — 36. $72=36\cdot2$ , демек $\sqrt{72}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2=6\sqrt2$ .

Квадраттар қатарын жаттап алыңыз: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 — үнемі керек.

Тек «бірдей түбірлерді» қосуға болады

$2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3$ — 2 алма + 5 алма сияқты. Ал $\sqrt2+\sqrt3$ $\sqrt5$ болмайды — бұлар әртүрлі «жемістер».

Алдымен әр түбірді ықшамдаңыз — көбіне содан кейін олар бірдей болып шығады: $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$ .

Бөлімдегі түбірден неге құтыламыз

$\dfrac{1}{\sqrt2}$ бөлшегін салыстыру және есептеу қолайсыз. Алымы мен бөлімін $\sqrt2$ -ге көбейтеміз: $\dfrac{\sqrt2}{2}$ — мәні сол, ал бөлімі бүтін.

Бөлімде $\sqrt a+\sqrt b$ қосындысы болса, «түйіндесіне» $\sqrt a-\sqrt b$ көбейтеміз: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ бойынша түбірлер жоғалады.

Басты формулалар

\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\quad a,b\ge0

Көбейтіндінің түбірі

\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b},\quad a\ge0,\ b>0

Бөліндінің түбірі

\sqrt{a^2}=|a|,\qquad (\sqrt a)^2=a

Модуль әрқашан пайда болады

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}

Түбір мен дәреженің байланысы

\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}

Түйіндес өрнекке көбейту

Ұғымдар мен терминдер

Арифметикалық түбір: $b^2=a$ болатын теріс емес $b$ саны
Ұқсас түбірлер: Түбір асты өрнектері бірдей түбірлер: $3\sqrt2$ және $5\sqrt2$
Түйіндес өрнектер: $\sqrt a+\sqrt b$ және $\sqrt a-\sqrt b$ : көбейтіндісі түбірсіз $a-b$
ММО: Өрнектің мағынасы бар болатын айнымалы мәндері (мүмкін мәндер облысы)

Тақырыпты талдау

Түбірлерді қалай ықшамдаймыз

Түбір астындағы санды бір көбейткіші толық квадрат болатындай жіктеңіз: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ .

Тек ұқсас түбірлерді қосуға болады: $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$ , ал $\sqrt2+\sqrt3$ бұдан әрі ықшамдалмайды.

Көбейткішті түбір астына енгізу: $3\sqrt2=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}$ (тек оң көбейткіш үшін).

Бөлшек және бүтін өрнектер

Бүтін өрнекте айнымалыға бөлу жоқ, бөлшек өрнекте — бар. Бөлшек өрнекте бөлім нөлге тең бола алмайды.

Жұп дәрежелі түбірде түбір асты өрнек теріс емес болуы керек: $\sqrt{x-3}$ өрнегі $x\ge3$ болғанда, ал $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$ — $x>3$ болғанда анықталған.

Нақты сандар 8 сынып

Натурал $\mathbb N\subset$ бүтін $\mathbb Z\subset$ рационал $\mathbb Q\subset$ нақты $\mathbb R$ . Рационал сан — $\dfrac pq$ бөлшегі; ондық жазуы ақырлы немесе периодты.

Иррационал сандар ( $\sqrt2$ , $\pi$ , $\sqrt3$ ) шексіз периодсыз бөлшекпен жазылады.

Периодты бөлшекті жай бөлшекке айналдыру: $x=0,(3)$ ; $10x=3,(3)$ ; $10x-x=3$ ; $x=\dfrac13$ . Дәл солай $0,(27)=\dfrac{27}{99}=\dfrac3{11}$ .

Түбірлерді бағалау және салыстыру 8 сынып

$\sqrt{40}$ -ты бағалау үшін көршілес квадраттарды табыңыз: $36<40<49$ , демек $6<\sqrt{40}<7$ .

$3\sqrt5$ пен $2\sqrt{11}$ -ді салыстыру: көбейткіштерді түбір астына енгізіңіз: $\sqrt{45}$ және $\sqrt{44}$ — біріншісі үлкен.

Көбейткішті енгізу: $a\ge0$ болғанда $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ ; $a<0$ болғанда «минус» сыртта қалады: $-2\sqrt3=-\sqrt{12}$ .

n-ші дәрежелі түбір 11 сынып

$b^n=a$ болса, $\sqrt[n]a=b$ . Тақ дәрежелі түбір кез келген саннан бар: $\sqrt[3]{-8}=-2$ ; жұп дәрежелі — тек теріс емес саннан.

Қасиеттері: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b$ , $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ , $\sqrt[n]{\sqrt[k]a}=\sqrt[nk]a$ , $\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$ .

$\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|$ , ал $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a$ .

Өрнектердегі амалдар реті және пайыздар 5–6 сынып

Реті: жақшалар → дәрежелер мен түбірлер → солдан оңға қарай көбейту мен бөлу → қосу мен азайту.

Пайыз — жүзден бір бөлік: $A$ -ның $p\%$ -ы $A\cdot\dfrac p{100}$ . $p\%$ -ға арттыру — $\left(1+\dfrac p{100}\right)$ -ге, кеміту — $\left(1-\dfrac p{100}\right)$ -ге көбейту.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Ықшамдаңыз:

\sqrt{72}+\sqrt{50}-\sqrt8

$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ , $\sqrt{50}=5\sqrt2$ , $\sqrt8=2\sqrt2$ .
$6\sqrt2+5\sqrt2-2\sqrt2=9\sqrt2$ .

Жауабы

9\sqrt2

Есеп 2Бөлімдегі иррационалдықтан құтылыңыз:

\dfrac{4}{\sqrt5-1}

Алым мен бөлімді түйіндес $\sqrt5+1$ өрнегіне көбейтеміз.
$\dfrac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5)^2-1^2}=\dfrac{4(\sqrt5+1)}{4}$ .

Жауабы

\sqrt5+1

Есеп 3Есептеңіз:

\sqrt{(2-\sqrt5)^2}

$\sqrt{a^2}=|a|$ , сондықтан $|2-\sqrt5|$ шығады.
$\sqrt5\approx2{,}24>2$ , демек $2-\sqrt5<0$ және модуль $\sqrt5-2$ -ге тең.

Жауабы

\sqrt5-2

Есеп 4Ықшамдаңыз:

\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}

$\sqrt{50}=5\sqrt2$ , $\sqrt{18}=3\sqrt2$ , $\sqrt8=2\sqrt2$ .
$5\sqrt2-3\sqrt2+2\sqrt2=4\sqrt2$ .

Жауабы

4\sqrt2

Есеп 5

0,1(6)

-ны жай бөлшекке айналдырыңыз.

$x=0,1(6)$ ; $10x=1,(6)$ ; $100x=16,(6)$ .
$100x-10x=15$ , $x=\dfrac{15}{90}=\dfrac16$ .

Жауабы

\dfrac16

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Есептеңіз:

\sqrt{7+4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}

Идея: Түбір астындағы $a\pm2\sqrt{b}$ өрнегі көбіне $(x\pm y)^2$ толық квадраты болады.

Толық квадратты іздейміз
$4\sqrt3=2\cdot2\cdot\sqrt3$ . $(2+\sqrt3)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3$ — сәйкес келеді!
Екінші түбір де солай
$(2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3$ .
Модульді ескеріп түбір шығарамыз
$\sqrt{(2+\sqrt3)^2}=2+\sqrt3$ ; $\sqrt{(2-\sqrt3)^2}=|2-\sqrt3|=2-\sqrt3$ , өйткені $2>\sqrt3\approx1{,}73$ .
Азайтамыз
$(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)=2\sqrt3$ .

Жауабы

2\sqrt3

Есеп 2Ықшамдаңыз:

\dfrac{1}{\sqrt5-2}-\dfrac{1}{\sqrt5+2}

Идея: Иррационалдықтан құтыламыз: түйіндесіне көбейтеміз.

Бірінші бөлшек
$\dfrac{1}{\sqrt5-2}\cdot\dfrac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\dfrac{\sqrt5+2}{5-4}=\sqrt5+2$ .
Екінші бөлшек
$\dfrac{1}{\sqrt5+2}=\dfrac{\sqrt5-2}{5-4}=\sqrt5-2$ .
Айырма
$(\sqrt5+2)-(\sqrt5-2)=4$ .

Жауабы

4

Есеп 3

-1\le x\le3

болғанда

\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{(x+1)^2}

өрнегін ықшамдаңыз.

Идея: $\sqrt{a^2}=|a|$ , ал модульді өрнектің таңбасына қарай ашамыз.

Түбірлерді модульмен алмастырамыз
$|x-3|+|x+1|$ .
Кесіндідегі таңбалар
$x\le3$ : $x-3\le0$ , демек $|x-3|=3-x$ .
$x\ge-1$ : $x+1\ge0$ , демек $|x+1|=x+1$ .
Қосамыз
$(3-x)+(x+1)=4$ — $x$ -ке тәуелсіз.

Жауабы

4

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

$\sqrt{a^2}=|a|$ , $a$ емес: $\sqrt{(-3)^2}=3$ .
$\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ : $\sqrt{9+16}=5$ , ал $3+4=7$ .
Түбір бөлімде тұрса, түбір асты өрнек нөлден қатаң үлкен.
$\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ : $\sqrt{9+16}=5$ , ал $3+4=7$ .

Есте сақта

Квадраттың түбірі — модуль. Тек ұқсас түбірлер қосылады.

Өзіңді тексер

\sqrt{0{,}09}=

0,03
0,3
0,9
3

Жауабын көрсету

0,3 $0{,}3^2=0{,}09$ .

\sqrt{18}\cdot\sqrt2=

6
9
$\sqrt{20}$
36

Жауабын көрсету

6 $\sqrt{36}=6$ .

\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}

өрнегінің анықталу облысы:

$x\ge3$
$x>3$
$x\ne3$
$x<3$

Жауабын көрсету

$x>3$ Бөлімдегі түбір оң болуы керек.

\sqrt{(-5)^2}=

$-5$
5
25
$\pm5$

Жауабын көрсету

5 Түбір — теріс емес сан: $|-5|=5$ .

\sqrt{90}

қандай бүтін сандардың арасында?

8 және 9
9 және 10
10 және 11
44 және 46

Жауабын көрсету

9 және 10 $81<90<100$ .

Байланысты тақырыптар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика