Тақырып 13

Анализ бастамалары. Модельдеу есептері

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Туынды және оның мағынасыГрафикке жүргізілген жанамаӨсу, кему, экстремумдарАлғашқы функция және интегралОңтайландыру есептері

Бір минутта мәні

Туынды функцияның өзгеру жылдамдығын көрсетеді. Геометриялық тұрғыдан f′(x0)f'(x_0) — жанаманың бұрыштық коэффициенті, физикалық тұрғыдан — лездік жылдамдық. Туындының таңбасы бойынша өсу және кему аралықтары мен экстремум нүктелері табылады. Алғашқы функция мен интеграл — кері амал: олар арқылы аудандар табылады.

Қарапайым тілмен

Туынды — функцияның «спидометрі»: ол берілген нүктеде мәннің қаншалықты жылдам өзгеретінін көрсетеді. Туынды оң болса — функция өседі, теріс болса — кемиді, нөлге тең болса — «шың» немесе «ойпаң».

Туынды — көлбеулік

Графикке нүктеде жанама жүргізіңіз: оның тіктігі (көлбеулік бұрышының тангенсі) — f′(x0)f'(x_0). Көлденең жанама — туынды 0.

Функцияны 4 қадамда зерттеу

1) f′(x)f'(x)-ті табамыз. 2) f′(x)=0f'(x)=0-ді шешеміз — «күдікті» нүктелер. 3) Интервалдарда f′f' таңбаларын қоямыз. 4) «+» — өседі, «−» — кемиді; «+»-тан «−»-қа ауысу — максимум, «−»-тан «+»-қа — минимум.

Интеграл — «кері айналдыру»

Жылдамдықты білеміз — жолды табамыз. Алғашқы функция FF — туындысы ff-ке тең функция. Анықталған интеграл — график астындағы аудан: ∫abf dx=F(b)−F(a)\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a).

Шек — неге «ұмтылады»

lim⁡x→2(x2+1)=5\lim_{x\to2}(x^2+1)=5: xx 2-ге неғұрлым жақын болса, мән 5-ке соғұрлым жақын. 00\dfrac00 анықталмағандығын қысқарту арқылы ашады: x2−4x−2=x+2→4\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4.

Басты формулалар

(xn)′=nxn−1, (C)′=0(x^n)'=nx^{n-1},\ (C)'=0
Дәреже және тұрақты
(sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x, (tg⁡x)′=1cos⁡2x(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tg x)'=\dfrac1{\cos^2x}
Тригонометриялық
(ex)′=ex, (ln⁡x)′=1x, (ax)′=axln⁡a(e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\dfrac1x,\ (a^x)'=a^x\ln a
Көрсеткіштік және логарифм
(uv)′=u′v+uv′, (uv)′=u′v−uv′v2(uv)'=u'v+uv',\ \left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Көбейтінді және бөлінді
(f(g(x)))′=f′(g)⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g)\cdot g'(x)
Күрделі функция
y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)
Жанама теңдеуі
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)
Ньютон — Лейбниц формуласы

Ұғымдар мен терминдер

Сыни нүкте
f′(x)=0f'(x)=0 болатын немесе туынды жоқ нүкте
Экстремум
Максимум: f′f' таңбасы «+»-тан «−»-қа ауысады; минимум — «−»-тан «+»-қа
Алғашқы функция
F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) болатын F(x)F(x)
Жылдамдық және үдеу
v(t)=s′(t)v(t)=s'(t), a(t)=v′(t)a(t)=v'(t)

Тақырыпты талдау

Функцияны зерттеу

1) f′(x)f'(x) табыңыз. 2) f′(x)=0f'(x)=0 теңдеуін шешіңіз. 3) Аралықтардағы f′f' таңбаларын анықтаңыз. 4) Өсу, кему және экстремумдар туралы қорытынды жасаңыз.

Кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндер: кесінді ішіндегі сыни нүктелердегі және ұштарындағы мәндерді салыстырыңыз.

Модельдеу

Оңтайландыру есебін бір айнымалы функцияға айналдырып, туынды арқылы оның максимумын немесе минимумын іздейді.

Мысал: периметрі 20 болатын тіктөртбұрыштардың ішінде ең үлкен ауданы 5×55\times5 квадратта.

Шек және үзіліссіздік 10 сынып

Функцияның шегі мәніне тең болса, ол нүктеде үзіліссіз: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a); график «қаламды көтермей сызылады».

Шексіздікте: lim⁡x→∞3x2+1x2−5=3\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=3 — ең үлкен дәрежеге бөлеміз. Бірінші тамаша шек: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.

Асимптоталар: тік x=ax=a (бөлім 0 болатын жерде), көлденең y=lim⁡x→∞f(x)y=\lim_{x\to\infty}f(x).

Физикалық мағынасы және екінші туынды 10 сынып

s(t)s(t) — жол, v(t)=s′(t)v(t)=s'(t) — жылдамдық, a(t)=v′(t)=s′′(t)a(t)=v'(t)=s''(t) — үдеу.

Екінші туынды дөңестікті көрсетеді: f′′>0f''>0 — график төмен дөңес (тостаған сияқты), f′′<0f''<0 — жоғары дөңес. Дөңестік ауысатын нүкте — иілу нүктесі.

Кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мән 10 сынып

1) Кесінді ішіндегі сыни нүктелерді табыңыз. 2) Оларда және ұштарда ff-ті есептеңіз. 3) Сандардың ең үлкені мен ең кішісін таңдаңыз.

Интегралдау әдістері және айналу денесінің көлемі 11 сынып

Айнымалыны алмастыру: ∫(2x+1)5dx=(2x+1)612+C\int(2x+1)^5dx=\dfrac{(2x+1)^6}{12}+C. Бөліктеп интегралдау: ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du.

Қисықтар арасындағы аудан: f≥gf\ge g болғанда ∫ab(f−g) dx\int_a^b(f-g)\,dx. OxOx осін айналғандағы дене көлемі: V=π∫abf2(x) dxV=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx.

Мәтінді есептер: қозғалыс, жұмыс, қоспалар, пайыздар 5–9 сынып

Қозғалыс: s=vts=vt; қарсы қозғалыста жылдамдықтар қосылады, қуып жетуде — азайтылады.

Жұмыс: өнімділік = жұмыс / уақыт; бірге істегенде өнімділіктер қосылады. Бүкіл жұмысты 1 деп алады.

Қоспалар мен қорытпалар: таза заттың массасы = ерітінді массасы × концентрация; араластырғанда заттардың массалары қосылады.

Пайыздар: p%p\%-ға өзгеру — 1±p1001\pm\dfrac p{100}-ге көбейту; қатарынан екі өзгеріс көбейтіледі.

Дифференциалдық теңдеулер (танысу) 11 сынып

Туындысы бар теңдеу: y′=kyy'=ky — оның шешімі y=Cekxy=Ce^{kx} (бактериялардың өсуі, радиоактивті ыдырау). y′′=−ω2yy''=-\omega^2y — гармоникалық тербелістер теңдеуі, шешімі y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi).

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 функциясының экстремум нүктелерін табыңыз.
  1. f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2), нөлдері 00 және 22.
  2. f′f' таңбалары: +,−,++,-,+. x=0x=0 — максимум, x=2x=2 — минимум.
  3. f(0)=0f(0)=0, f(2)=8−12=−4f(2)=8-12=-4.
Жауабы xmax=0, xmin=2x_{max}=0,\ x_{min}=2
Есеп 2y=x2y=x^2 функциясына x0=1x_0=1 нүктесінде жүргізілген жанама теңдеуі.
  1. f(1)=1f(1)=1, f′(x)=2xf'(x)=2x, f′(1)=2f'(1)=2.
  2. y=1+2(x−1)=2x−1y=1+2(x-1)=2x-1.
Жауабы y=2x−1y=2x-1
Есеп 3[0;2][0;2] кесіндісінде y=x2y=x^2 астындағы ауданды табыңыз.
  1. ∫02x2dx=x33∣02=83\int_0^2x^2dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^2=\dfrac83.
Жауабы 83\frac83
Есеп 4Нүкте s(t)=t3−2ts(t)=t^3-2t заңы бойынша қозғалады. t=2t=2 кездегі жылдамдықты табыңыз.
  1. v(t)=s′(t)=3t2−2v(t)=s'(t)=3t^2-2.
  2. v(2)=12−2=10v(2)=12-2=10.
Жауабы 10
Есеп 5lim⁡x→3x2−9x−3\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3} табыңыз.
  1. (x−3)(x+3)x−3=x+3\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.
  2. →6\to6.
Жауабы 6
Есеп 6Екі бригада бірге жұмысты 6 күнде, біріншісі жалғыз 10 күнде орындайды. Екіншісі неше күнде орындайды?
  1. Өнімділіктер: бірге 16\dfrac16, біріншісі 110\dfrac1{10}.
  2. Екіншісі: 16−110=115\dfrac16-\dfrac1{10}=\dfrac1{15} → 15 күн.
Жауабы 15 күн
Есеп 720 %-дық ерітінді алу үшін 200 г 30 %-дық тұз ерітіндісіне неше грамм су қосу керек?
  1. Тұз 200⋅0,3=60200\cdot0{,}3=60 г — оның массасы өзгермейді.
  2. 60200+x=0,2⇒200+x=300\dfrac{60}{200+x}=0{,}2\Rightarrow200+x=300.
Жауабы 100 г

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1f(x)=x3−3x2−9x+5f(x)=x^3-3x^2-9x+5 функциясының [−2;4][-2;4] кесіндісіндегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз.

Идея: Сыни нүктелердегі және ұштардағы мәндерді салыстырамыз.

  1. Туынды
    f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1).
  2. Кесіндідегі сыни нүктелер
    x=−1x=-1 және x=3x=3 — екеуі де [−2;4][-2;4]-те.
  3. Мәндер
    f(−2)=−8−12+18+5=3f(-2)=-8-12+18+5=3; f(−1)=−1−3+9+5=10f(-1)=-1-3+9+5=10; f(3)=27−27−27+5=−22f(3)=27-27-27+5=-22; f(4)=64−48−36+5=−15f(4)=64-48-36+5=-15.
  4. Таңдаймыз
    Ең үлкені 10, ең кішісі −22-22.
Жауабы max⁡=10\max=10, min⁡=−22\min=-22
Есеп 2y=x2−3x+2y=x^2-3x+2 графигіне абсциссасы x0=2x_0=2 нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуін құрып, оның OyOy осін қиятын нүктесін табыңыз.

Идея: y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

  1. Функция мәні
    f(2)=4−6+2=0f(2)=4-6+2=0.
  2. Туынды мәні
    f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3, f′(2)=1f'(2)=1.
  3. Теңдеу
    y=0+1⋅(x−2)=x−2y=0+1\cdot(x-2)=x-2.
  4. OyOy-пен қиылысу
    x=0⇒y=−2x=0\Rightarrow y=-2.
Жауабы y=x−2y=x-2; (0;−2)(0;-2) нүктесі
Есеп 3y=4−x2y=4-x^2 параболасы мен y=x+2y=x+2 түзуімен шектелген фигураның ауданын табыңыз.

Идея: Қиылысу нүктелерін тауып, «жоғарғыдан төменгіні» интегралдаймыз.

  1. Қиылысу нүктелері
    4−x2=x+2⇒x2+x−2=0⇒x=−2, x=14-x^2=x+2\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x=-2,\ x=1.
  2. Қайсысы жоғары
    x=0x=0 болғанда: парабола 4, түзу 2 — парабола жоғары.
  3. Интеграл
    ∫−21(2−x−x2)dx=[2x−x22−x33]−21\int_{-2}^1(2-x-x^2)dx=\left[2x-\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3\right]_{-2}^1.
  4. Есептейміз
    x=1x=1 болғанда: 76\dfrac76. x=−2x=-2 болғанда: −103-\dfrac{10}3.
    76+103=276=4,5\dfrac76+\dfrac{10}3=\dfrac{27}6=4{,}5.
Жауабы 4,54{,}5
Есеп 430 × 30 см картон парағының бұрыштарынан қабырғасы xx квадраттарды қиып, ашық қорап жасайды. Қандай xx-те қораптың көлемі ең үлкен?

Идея: Оңтайландыру есебі: көлем функциясын құрып, максимумын іздейміз.

  1. Функция
    Түбі (30−2x)×(30−2x)(30-2x)\times(30-2x), биіктігі xx: V=x(30−2x)2V=x(30-2x)^2, 0<x<150<x<15.
  2. Туынды
    V′=(30−2x)2−4x(30−2x)=(30−2x)(30−6x)V'=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)(30-6x).
  3. Сыни нүктелер
    x=15x=15 (сәйкес емес) және x=5x=5.
  4. Максимумды тексереміз
    x<5x<5 болғанда V′>0V'>0, 5<x<155<x<15 болғанда V′<0V'<0 — максимум. V(5)=5⋅400=2000V(5)=5\cdot400=2000 см³.
Жауабы x=5x=5 см, V=2000V=2000 см³
Есеп 5Тауар бағасын алдымен 20 %-ға көтеріп, сосын 20 %-ға төмендетті. Баға қалай өзгерді?

Идея: Пайыздар «әртүрлі шамадан» алынады — коэффициенттерді көбейтеміз.

  1. Коэффициенттер
    Көтеру: ×1,2. Төмендету: ×0,8.
  2. Нәтиже
    1,2⋅0,8=0,961{,}2\cdot0{,}8=0{,}96 — баға бастапқының 96 %-ы болды.
Жауабы 4 %-ға төмендеді
Есеп 6Арақашықтығы 300 км A және B пункттерінен бір-біріне қарама-қарсы екі автомобиль шықты. Біріншісінің жылдамдығы 10 км/сағ артық. Олар 2,5 сағаттан кейін кездесті. Жылдамдықтарды табыңыз.

Идея: Қарсы қозғалыста жылдамдықтар қосылады.

  1. Жақындасу жылдамдығы
    3002,5=120\dfrac{300}{2{,}5}=120 км/сағ.
  2. Теңдеу
    v+(v+10)=120⇒v=55v+(v+10)=120\Rightarrow v=55.
Жауабы 55 және 65 км/сағ

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • f′(x0)=0f'(x_0)=0 әлі экстремум дегенді білдірмейді: x3x^3 функциясында нөлде экстремум жоқ.
  • (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x — минус таңбасымен.
  • Күрделі функцияда ішкі функцияның туындысына көбейтуді ұмытпаңыз: (sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin2x)'=2\cos2x.
  • Кесіндідегі ең үлкен мән экстремум нүктесінде емес, ұшында болуы мүмкін.
  • Қоспа есептерінде концентрацияны үлеске айналдырыңыз: 30 % = 0,3.

Есте сақта

f′>0f'>0 — өседі, f′<0f'<0 — кемиді, таңба ауысса — экстремум.

Өзіңді тексер

1. (x4)′=(x^4)'=
  1. x3x^3
  2. 4x34x^3
  3. 4x44x^4
  4. x55\frac{x^5}5
Жауабын көрсету

4x34x^3 nxn−1nx^{n-1}.

2. y=x3y=x^3 функциясына x0=1x_0=1 нүктесіндегі жанаманың бұрыштық коэффициенті:
  1. 1
  2. 3
  3. 0
  4. 2
Жауабын көрсету

3 3x2=33x^2=3.

3. f(x)=2xf(x)=2x функциясының алғашқы функциясы:
  1. x2+Cx^2+C
  2. 22
  3. 2x2+C2x^2+C
  4. x22+C\frac{x^2}2+C
Жауабын көрсету

x2+Cx^2+C (x2)′=2x(x^2)'=2x.

4. lim⁡x→∞2x+1x=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x}=
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. ∞
Жауабын көрсету

2 xx-ке бөлеміз.

5. s(t)=t3s(t)=t^3 болса, t=1t=1 кездегі үдеу:
  1. 3
  2. 6
  3. 1
  4. 0
Жауабын көрсету

6 s′′=6ts''=6t.

6. Бағаны 10 %-ға, сосын тағы 10 %-ға көтерді. Барлығы:
  1. 20 %
  2. 21 %
  3. 19 %
  4. 11 %
Жауабын көрсету

21 % 1,12=1,211{,}1^2=1{,}21.

Байланысты тақырыптар

12. Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар5. Сызықтық, квадрат және бөлшек-рационал теңдеулер10. Сызықтық, квадрат, рационал және басқа теңсіздіктер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика