Тақырып 14

Геометриялық фигуралар және олардың өзара орналасуы

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Бұрыштар және параллель түзулерҮшбұрыштарТөртбұрыштарШеңбер: центрлік және іштей сызылған бұрыштарКөпбұрыштар

Бір минутта мәні

Планиметрия бұрыштардан, параллель түзулерден, үшбұрыштардан, төртбұрыштардан және шеңберден басталады. ҰБТ-дағы әр есеп дерлік үшбұрыш бұрыштарының қосындысы 180∘180^\circ, параллель түзулердің қасиеттері немесе іштей сызылған және центрлік бұрыштардың байланысын пайдаланады.

Қарапайым тілмен

Планиметрия — қағаз бетіндегі геометрия. Есептердің дерлік бәрі бірнеше «басты фактімен» шешіледі: үшбұрыш бұрыштарының қосындысы, параллель түзулердің қасиеттері, үшбұрыштардың теңдігі мен ұқсастығы.

Бұрыштар қосындысы — 180°

Қағаз үшбұрыштың үш бұрышын жыртып алып, бір-біріне қойыңыз — жазыңқы бұрыш шығады, 180∘180^\circ. Сыртқы бұрыш = онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысы.

Параллель түзулер және «Z әрпі»

Қиюшы екі параллель түзумен «Z» құрайды — айқыш жатқан бұрыштар тең; «F» — сәйкес бұрыштар тең; бір жақты бұрыштардың қосындысы 180∘180^\circ.

Іштей сызылған бұрыш — доғаның жартысы

Төбесі шеңбердегі бұрыш тірелетін доғаның жартысына тең. Сондықтан диаметрге тірелген бұрыш әрқашан 90∘90^\circ.

Орта сызық — табанның жартысы

Үшбұрыштың екі қабырғасының орталарын қоссаңыз — кесінді үшінші қабырғаға параллель әрі одан екі есе қысқа. Трапецияда орта сызық — табандардың жарты қосындысы.

Басты формулалар

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ
Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы
180∘(n−2)180^\circ(n-2)
Дөңес nn-бұрыштың бұрыштарының қосындысы
∠іштей=12∠центрлік\angle_{\text{іштей}}=\dfrac12\angle_{\text{центрлік}}
Іштей сызылған бұрыш доғаның жартысына тең
m=a+b2m=\dfrac{a+b}{2}
Трапецияның орта сызығы
∠A+∠C=∠B+∠D=180∘\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ
Шеңберге іштей сызылған төртбұрыш
a+c=b+da+c=b+d
Шеңберге сырттай сызылған төртбұрыш

Ұғымдар мен терминдер

Сыбайлас бұрыштар
Қосындысы 180∘180^\circ
Вертикаль бұрыштар
Тең
Үшбұрыштың сыртқы бұрышы
Өзімен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең
Диаметрге тірелген бұрыш
Диаметрге тірелген іштей сызылған бұрыш 90∘90^\circ-қа тең
Жанама
Жанасу нүктесінде радиусқа перпендикуляр

Тақырыпты талдау

Үшбұрыштар

Тең бүйірлі: табанындағы бұрыштары тең, табанға жүргізілген медиана — биіктік және биссектриса.

Үшбұрыш теңсіздігі: әр қабырға қалған екеуінің қосындысынан кіші.

Үлкен қабырғаның қарсысында үлкен бұрыш жатады.

Төртбұрыштар

Параллелограмм: қарама-қарсы қабырғалары мен бұрыштары тең, диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. Тіктөртбұрыш — диагональдары тең. Ромб — диагональдары перпендикуляр және биссектриса болады. Квадрат — бәрі бірден.

Үшбұрыш және оның сызықтары 7–8 сынып

Медиана — қабырғаның ортасына; биссектриса — бұрышты қақ бөледі; биіктік — қабырғаға перпендикуляр.

Медианалар бір нүктеде қиылысады және төбеден бастап 2 : 1 қатынасында бөлінеді. Биссектрисалар — іштей сызылған шеңбердің центрінде, орта перпендикулярлар — сырттай сызылған шеңбердің центрінде.

Үшбұрыш теңсіздігі: әр қабырға қалған екеуінің қосындысынан кіші. Үлкен бұрышқа қарсы үлкен қабырға жатады.

Үшбұрыштар теңдігінің белгілері 7 сынып

Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша; қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша; үш қабырғасы бойынша. Тікбұрыштылар үшін: гипотенузасы мен катеті бойынша, гипотенузасы мен сүйір бұрышы бойынша.

Төртбұрыштар 8 сынып

Параллелограмм: қарама-қарсы қабырғалары мен бұрыштары тең, диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. Тіктөртбұрыш — диагональдары тең; ромб — диагональдары перпендикуляр және бұрыштарының биссектрисалары; шаршы — бәрі бірден.

Трапеция: табандары параллель. Орта сызығы m=a+b2m=\dfrac{a+b}2. Тең бүйірлі трапецияда табанындағы бұрыштар тең.

Фалес теоремасы 8 сынып

Параллель түзулер бұрыштың бір қабырғасында тең кесінділер қиса, екінші қабырғасында да тең кесінділер қияды. Жалпылама: параллель түзулер пропорционал кесінділер қияды.

Шеңбер және көпбұрыштар 9 сынып

Жанама жанасу нүктесінде радиусқа перпендикуляр; бір нүктеден жүргізілген жанамалардың кесінділері тең.

Төртбұрышқа шеңбер іштей сызуға болады, егер қарама-қарсы қабырғаларының қосындылары тең болса; сырттай сызуға болады — қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180∘180^\circ болса.

nn-бұрыштың бұрыштарының қосындысы 180∘(n−2)180^\circ(n-2); дұрыс nn-бұрыштың әр бұрышы 180∘(n−2)n\dfrac{180^\circ(n-2)}n.

Циркуль мен сызғышпен салу 7 сынып

Негізгі салулар: берілгенге тең бұрыш; бұрыш биссектрисасы; кесіндінің орта перпендикуляры (ол кесіндіні қақ бөледі); түзуге перпендикуляр; үш қабырғасы бойынша үшбұрыш.

Нүктелердің геометриялық орны: орта перпендикуляр — кесінді ұштарынан бірдей қашықтықтағы нүктелер; биссектриса — бұрыш қабырғаларынан.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Іштей сызылған бұрыш 140∘140^\circ доғаға тірелген. Оны табыңыз.
  1. Іштей сызылған бұрыш доғаның жартысына тең.
Жауабы 70∘70^\circ
Есеп 2Үшбұрыштың бұрыштары 2:3:42:3:4 қатынасындай. Оларды табыңыз.
  1. 2x+3x+4x=180∘⇒x=20∘2x+3x+4x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ.
Жауабы 40∘, 60∘, 80∘40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ
Есеп 3Дұрыс алтыбұрыштың бұрышын табыңыз.
  1. Бұрыштар қосындысы 180∘⋅(6−2)=720∘180^\circ\cdot(6-2)=720^\circ.
  2. 720∘:6=120∘720^\circ:6=120^\circ.
Жауабы 120∘120^\circ
Есеп 4Трапецияның табандары 6 және 14. Орта сызықтың және оның диагональдар арасындағы кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
  1. m=6+142=10m=\dfrac{6+14}2=10.
  2. Диагональдар арасындағы кесінді: 14−62=4\dfrac{14-6}2=4.
Жауабы 10 және 4
Есеп 5Бұрышы 150∘150^\circ дұрыс көпбұрыштың неше қабырғасы бар?
  1. Сыртқы бұрыш 30∘30^\circ; сыртқы бұрыштар қосындысы 360∘360^\circ.
  2. n=36030=12n=\dfrac{360}{30}=12.
Жауабы 12

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1ABCABC үшбұрышында C=90∘C=90^\circ, CHCH — биіктік, ∠A=34∘\angle A=34^\circ. ∠BCH\angle BCH-ты табыңыз.

Идея: Тікбұрышты үшбұрышта тік бұрыштан түсірілген биіктік бастапқыға ұқсас екі үшбұрыш құрайды.

  1. B бұрышы
    ∠B=90∘−34∘=56∘\angle B=90^\circ-34^\circ=56^\circ.
  2. BCH үшбұрышы
    Ол тікбұрышты (∠H=90∘\angle H=90^\circ), сондықтан ∠BCH=90∘−∠B=34∘\angle BCH=90^\circ-\angle B=34^\circ.
  3. Қорытынды
    ∠BCH=∠A\angle BCH=\angle A — әрқашан солай болады.
Жауабы 34∘34^\circ
Есеп 2Іштей сызылған ABCABC бұрышы 110∘110^\circ-қа тең ACAC доғасына тіреледі. ACAC хордасы мен AA нүктесіндегі жанама арасындағы бұрышты табыңыз.

Идея: Жанама мен хорда арасындағы бұрыш оның ішіндегі доғаның жартысына тең.

  1. Іштей сызылған бұрыш
    ∠ABC=110∘2=55∘\angle ABC=\dfrac{110^\circ}2=55^\circ.
  2. Жанама мен хорда бұрышы
    Ол да ACAC доғасының жартысына тең: 55∘55^\circ.
Жауабы 55∘55^\circ
Есеп 3Ромбтың диагональдары 12 және 16. Ромбтың қабырғасы мен биіктігін табыңыз.

Идея: Ромб диагональдары перпендикуляр және қақ бөлінеді — 4 тікбұрышты үшбұрыш шығады.

  1. Диагональдардың жартылары
    6 және 8.
  2. Пифагор бойынша қабырға
    a=36+64=10a=\sqrt{36+64}=10.
  3. Ауданды екі тәсілмен
    S=12⋅162=96S=\dfrac{12\cdot16}2=96; S=a⋅h⇒h=9610=9,6S=a\cdot h\Rightarrow h=\dfrac{96}{10}=9{,}6.
Жауабы 10 және 9,6

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Іштей сызылған бұрыш бүкіл доғаға емес, оның жартысына тең.
  • Үшбұрыштың орта сызығы — қабырғаның жартысы, трапецияның орта сызығы — табандардың жарты қосындысы.
  • Ромбтың диагональдары перпендикуляр, ал тіктөртбұрыштікі — тең.

Есте сақта

Іштей сызылған — центрліктің жартысы. Диаметрге тірелген бұрыш — 90∘90^\circ.

Өзіңді тексер

1. Бесбұрыш бұрыштарының қосындысы:
  1. 360∘360^\circ
  2. 540∘540^\circ
  3. 720∘720^\circ
  4. 900∘900^\circ
Жауабын көрсету

540∘540^\circ 180∘⋅3180^\circ\cdot3.

2. Трапецияның табандары 6 және 10. Орта сызығы:
  1. 16
  2. 8
  3. 4
  4. 6
Жауабын көрсету

8 6+102\frac{6+10}2.

3. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы 110∘110^\circ, сыбайлас емес бір бұрышы 40∘40^\circ. Екіншісі:
  1. 70∘70^\circ
  2. 30∘30^\circ
  3. 140∘140^\circ
  4. 50∘50^\circ
Жауабын көрсету

70∘70^\circ 110∘−40∘110^\circ-40^\circ.

4. Үшбұрыш медианалары қиылысу нүктесінде қандай қатынаста бөлінеді:
  1. 1 : 1
  2. 2 : 1
  3. 3 : 1
  4. 1 : 3
Жауабын көрсету

2 : 1 Төбеден 2 : 1.

5. Төртбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болады, егер:
  1. қарама-қарсы қабырғалардың қосындылары тең
  2. қарама-қарсы бұрыштардың қосындысы 180°
  3. диагональдары тең
  4. ол ромб
Жауабын көрсету

қарама-қарсы бұрыштардың қосындысы 180° Іштей сызылған төртбұрыш белгісі.

Байланысты тақырыптар

15. Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер3. Тригонометрия16. Кеңістіктегі геометриялық фигуралар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика