Тақырып 10

Сызықтық, квадрат, рационал және басқа теңсіздіктер

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Сызықтық және квадрат теңсіздіктерИнтервалдар әдісіҚарапайым тригонометриялық теңсіздіктерҚарапайым иррационал теңсіздіктерКөрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер

Бір минутта мәні

Теңсіздіктер теңдеулер сияқты шешіледі, бірақ жауабы — аралық. Квадрат және рационал теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешкен ыңғайлы. Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерде негіз маңызды:

a>1

болса, таңба сақталады,

0<a<1

болса — өзгереді. Логарифм үшін ММО-ны ұмытуға болмайды.

Қарапайым тілмен

Теңсіздік бір санды емес, сандардың тұтас аралығын іздейді. Оны теңдеу сияқты шешеді, бірақ таңба туралы бір маңызды ереже бар.

Басты ереже

Теріс санға көбейткенде немесе бөлгенде теңсіздік таңбасы өзгереді: $-2x>6\Rightarrow x<-3$ . Санмен тексеріңіз: $x=-4$ : $8>6$ ✓.

Интервалдар әдісі — «таңбалар бағдаршамы»

1) Алым мен бөлімнің нөлдерін табыңыз. 2) Оларды түзуде белгілеңіз — ол бөліктерге бөлінеді. 3) Әр бөлікте өрнек таңбасы тұрақты: бір нүктемен тексеріңіз. 4) Қажетті таңбалы бөліктерді таңдаңыз.

Бөлімнің нөлдері әрқашан «ойық» (бос дөңгелек).

Квадрат теңсіздік — параболаға қараймыз

$x^2-5x+6<0$ : тармақтары жоғары парабола, түбірлері 2 және 3. Осьтен төмен (нөлден кіші) ол түбірлердің арасында: $2<x<3$ .

Көрсеткіштік және логарифмдік: «таңба негізге тәуелді»

$a^{f}>a^{g}$ : $a>1$ болса — $f>g$ (таңба сақталады), $0<a<1$ болса — $f<g$ (таңба өзгереді). Логарифмдер үшін де солай, қосымша ММО.

Басты формулалар

-2x>6\Rightarrow x<-3

Теріс санға көбейткенде таңба өзгереді

a^{f}>a^{g}\iff\begin{cases}f>g,& a>1\\ f<g,& 0<a<1\end{cases}

Көрсеткіштік теңсіздіктер

\log_af>\log_ag\iff\begin{cases}f>g>0,& a>1\\ 0<f<g,& 0<a<1\end{cases}

Логарифмдік теңсіздіктер

\sin x>\dfrac12:\ \dfrac\pi6+2\pi n<x<\dfrac{5\pi}6+2\pi n

Қарапайым тригонометриялық теңсіздік

\sqrt f<g\iff\begin{cases}f\ge0\\g>0\\f<g^2\end{cases}

Қарапайым иррационал теңсіздік

Ұғымдар мен терминдер

Интервалдар әдісі: Алым мен бөлімнің нөлдерін белгілеп, аралықтардағы таңбаларды анықтаймыз
Ойылған нүкте: Бөлімнің нөлі — ешқашан жауапқа кірмейді
Қатаң / қатаң емес: $<,>$ — ұштары кірмейді; $\le,\ge$ — кіреді (бөлім нөлдерінен басқа)

Тақырыпты талдау

Интервалдар әдісі

1) Бәрін бір жаққа шығарып, көбейткіштерге жіктеңіз. 2) Нөлдерді түзуде белгілеңіз. 3) Ең оң жақ аралықтағы таңбаны анықтап, таңбаларды кезектестіріңіз (көбейткіш жұп дәрежеде болса — таңба өзгермейді). 4) Қажетті аралықтарды таңдаңыз.

Квадрат теңсіздік

Түбірлерін тауып, параболаны салыңыз. $a>0$ болғанда: $ax^2+bx+c<0$ — түбірлер арасында, $>0$ — сыртында.

Сандық аралықтар 6 сынып

$[a;b]$ — ұштарымен, $(a;b)$ — ұштарынсыз, $[a;+\infty)$ — сәуле. Бірігу $\cup$ — «ең болмағанда біреуі», қиылысу $\cap$ — «екеуі бірден».

Модулі бар теңсіздіктер 8–9 сынып

$|f|<a\Leftrightarrow-a<f<a$ (қашықтық $a$ -дан кіші — «ішінде»). $|f|>a\Leftrightarrow f<-a$ немесе $f>a$ («сыртында»).

Рационал теңсіздіктер 8 сынып

$\dfrac{f}{g}\ge0$ : $f$ -тің нөлдері — боялған нүктелер, $g$ -нің нөлдері — ойық. Жұп дәрежелі көбейткіштер ( $(x-1)^2$ ) түбір арқылы өткенде таңбаны өзгертпейді.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Шешіңіз:

x^2-5x+6<0

Түбірлері $2$ және $3$ , тармақтары жоғары.
Нөлден кіші — түбірлер арасында.

Жауабы

(2;3)

Есеп 2Шешіңіз:

\dfrac{(x+2)(x-1)}{x-4}\ge0

Нөлдері: $-2$ , $1$ (боялған), $4$ (ойылған).
Оңнан солға таңбалар: $+,-,+,-$ .

Жауабы

[-2;1]\cup(4;+\infty)

Есеп 3Шешіңіз:

0{,}5^x>4

$0{,}5^x=2^{-x}$ , $4=2^2$ : $2^{-x}>2^2$ .
$-x>2\Rightarrow x<-2$ .

Жауабы

(-\infty;-2)

Есеп 4Шешіңіз:

\log_3(x-2)<2

ММО: $x>2$ .
$x-2<9\Rightarrow x<11$ .

Жауабы

(2;11)

Есеп 5Шешіңіз:

|x-3|\le2

$-2\le x-3\le2$ .
$1\le x\le5$ .

Жауабы

[1;5]

Есеп 6Шешіңіз:

\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-4}\le0

Нөлдері: $x=1$ (жұп еселі), $x=-2$ , $x=4$ (ойық).
Оңнан солға таңбалар: $(4;+\infty)$ «+», $(1;4)$ «−», $(-2;1)$ «−», $(-\infty;-2)$ «+».
$x=1$ және $x=-2$ -ні қосамыз (нөлге тең).

Жауабы

[-2;4)

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Шешіңіз:

\dfrac{x^2-x-6}{x^2-1}\ge0

Идея: Интервалдар әдісі: алым мен бөлімді жіктейміз.

Жіктейміз
$\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}\ge0$ .
Нүктелерді белгілейміз
Боялған $-2$ және $3$ , ойық $-1$ және $1$ . Реті: $-2<-1<1<3$ .
Таңбалар
$x>3$ болғанда барлық көбейткіш оң — «+». Әрі қарай таңбалар кезектеседі: $(1;3)$ «−», $(-1;1)$ «+», $(-2;-1)$ «−», $x<-2$ «+».
«+» мен алымның нөлдерін таңдаймыз
$(-\infty;-2]\cup(-1;1)\cup[3;+\infty)$ .

Жауабы

(-\infty;-2]\cup(-1;1)\cup[3;+\infty)

Есеп 2Шешіңіз:

\log_{0{,}5}(2x-1)>-2

Идея: Негізі 1-ден кіші — таңба өзгереді; плюс ММО.

ММО
$2x-1>0\Rightarrow x>\dfrac12$ .
Оң жақтағы сан — логарифм
$-2=\log_{0{,}5}4$ , өйткені $0{,}5^{-2}=4$ .
Логарифмді алып, таңбаны өзгертеміз
$2x-1<4\Rightarrow x<2{,}5$ .
ММО-ді ескеріп
$\dfrac12<x<2{,}5$ .

Жауабы

(0{,}5;\ 2{,}5)

Есеп 3Шешіңіз:

\left(\dfrac13\right)^{x^2-2x}\ge\dfrac1{27}

Идея: Бір негіз $\dfrac13<1$ — көрсеткіштерге көшкенде таңба өзгереді.

Бір негіз
$\dfrac1{27}=\left(\dfrac13\right)^3$ .
Көрсеткіштерді салыстырамыз (таңбаны өзгертеміз)
$x^2-2x\le3\Rightarrow x^2-2x-3\le0$ .
Шешеміз
Түбірлер $-1$ және $3$ ; парабола түбірлер арасында ≤ 0.

Жауабы

[-1;3]

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

Бөлімнің нөлі $\ge$ таңбасы болса да әрқашан ойылған.
Негіз 1-ден кіші болса — теңсіздік таңбасы өзгереді.
Логарифм: ММО-мен қиылыстыру міндетті.
Бөлімнің нөлдері ешқашан жауапқа кірмейді.
Теңсіздікті айнымалысы бар өрнекке көбейтпеңіз — оның таңбасы белгісіз; интервалдар әдісін қолданыңыз.

Есте сақта

Нөлдерді түзуге, таңбаларды оңнан солға, ойылғандар — бөлім.

Өзіңді тексер

x^2\le9

$x\le3$
$[-3;3]$
$(-3;3)$
$x\ge-3$

Жауабын көрсету

$[-3;3]$ Түбірлер арасында, ұштары кіреді.

\left(\frac13\right)^x<9

$x<-2$
$x>-2$
$x<2$
$x>2$

Жауабын көрсету

$x>-2$ $3^{-x}<3^2\Rightarrow-x<2$ .

\dfrac{x-1}{x+3}<0

$(-3;1)$
$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$
$[-3;1]$
$(1;3)$

Жауабын көрсету

$(-3;1)$ Нөлдер арасында таңба минус.

|x|>3

шешімі:

$(-3;3)$
$x>3$
$x<-3$ немесе $x>3$
$[-3;3]$

Жауабын көрсету

$x<-3$ немесе $x>3$ Кесіндінің «сыртында».

0{,}2^x<0{,}2^5

⇔

$x<5$
$x>5$
$x=5$
$x\le5$

Жауабын көрсету

$x>5$ Негізі 1-ден кіші.

Байланысты тақырыптар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика