Тақырып 20

Комбинаторика, ықтималдық және статистика

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Жиындар және Эйлер–Венн диаграммаларыАлмастырулар, орналастырулар, терулерНьютон биномыКлассикалық және геометриялық ықтималдықЫқтималдықтарды қосу және көбейту, Бернулли формуласыТолық ықтималдық және Байес формуласыСтатистика: орта мән, медиана, мода, дисперсия

Бір минутта мәні

Комбинаторика «неше тәсілмен?», ықтималдықтар теориясы — «бұл қаншалықты ықтимал?», статистика — «деректер не айтады?» деген сұрақтарға жауап береді. Мектеп бағдарламасында бұлар — қосу және көбейту ережелері, алмастырулар, орналастырулар мен терулер, классикалық ықтималдық, ықтималдықтарды қосу және көбейту, Бернулли формуласы, сондай-ақ орта мән, медиана, мода, дисперсия және стандартты ауытқу.

Қарапайым тілмен

Ықтималдық — барлық тең мүмкін нәтижелер ішіндегі «қолайлы» нәтижелердің үлесі. Ойын сүйегін лақтырамыз: нәтиже 6, «жұп сан» — 3 нәтиже, ықтималдығы 36=12\dfrac36=\dfrac12.

Көбейту ережесі — «нұсқалар ағашы»

3 көйлек пен 4 шалбар: әр көйлекке 4 шалбар сәйкес келеді — барлығы 3⋅4=123\cdot4=12 жиынтық. Таңдау бірнеше қадаммен жүрсе, нұсқалар көбейтіледі.

Рет маңызды ма, жоқ па?

Маңызды (орындар, құпиясөз, лауазымдарды бөлу) — орналастырулар AnkA_n^k немесе алмастырулар n!n!. Маңызды емес (командаға 3 адам таңдау, жемістер жиынтығы) — терулер CnkC_n^k.

«Және» — көбейтеміз, «немесе» — қосамыз

Тиынның екі рет елтаңбамен түсу ықтималдығы: 12⋅12=14\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14 (1-оқиға ЖӘНЕ 2-оқиға). Сүйекте 1 немесе 2 түсуі: 16+16=13\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13 (үйлесімсіз оқиғалар).

«Ең болмағанда біреуі» — қарама-қарсы оқиға арқылы

3 лақтырғанда ең болмағанда бір елтаңба түсу ықтималдығы: «бірде-бір елтаңба жоқ» (12)3=18\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18 табу оңай, оны 1-ден азайтамыз: 78\dfrac78.

Орта мән, медиана, мода

Жалақылар 100, 120, 130, 150, 1000: орта мән 300 — оны бір үлкен шығарынды «тартады». Медиана (реттелген қатардың ортасы) 130 «әдеттегі» мәнді жақсырақ көрсетеді. Мода — ең жиі кездесетін мән.

Басты формулалар

n!=1⋅2⋅…⋅n,Pn=n!n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n,\quad P_n=n!
Факториал және алмастырулар саны
Ank=n!(n−k)!A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}
Орналастырулар: nn-нен kk-ны ретін ескеріп таңдау
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}
Терулер: nn-нен kk-ны ретін ескермей таңдау
P(A)=mnP(A)=\dfrac mn
Классикалық ықтималдық: nn тең мүмкін нәтиженің mm қолайлысы
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB),P(Aˉ)=1−P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),\quad P(\bar A)=1-P(A)
Ықтималдықтарды қосу; қарама-қарсы оқиға
P(AB)=P(A)⋅P(B)P(AB)=P(A)\cdot P(B)
Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту
Pn(k)=Cnkpkqn−k, q=1−pP_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k},\ q=1-p
Бернулли формуласы
xˉ=x1+…+xnn,D=(x−xˉ)2‾,σ=D\bar x=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}n,\quad D=\overline{(x-\bar x)^2},\quad\sigma=\sqrt D
Орта мән, дисперсия, стандартты ауытқу
(a+b)n=∑Cnkan−kbk(a+b)^n=\sum C_n^ka^{n-k}b^k
Ньютон биномы

Ұғымдар мен терминдер

Алмастыру
Барлық nn элементті ретке келтіру: n!n! тәсіл
Ақиқат / мүмкін емес оқиға
Ықтималдығы 1 / ықтималдығы 0
Үйлесімсіз оқиғалар
Бір мезгілде орындала алмайды
Тәуелсіз оқиғалар
Біреуінің орындалуы екіншісінің ықтималдығын өзгертпейді
Медиана
Реттелген қатардың ортаңғы мәні (саны жұп болса — екі ортаңғысының жарты қосындысы)
Мода
Ең жиі кездесетін мән
Құлаш
Ең үлкен және ең кіші мәндердің айырмасы
Математикалық үміт
Кездейсоқ шаманың орта мәні: M(X)=∑xipiM(X)=\sum x_ip_i

Тақырыпты талдау

Жиындар және Эйлер–Венн диаграммалары 5 сынып

Бірігу A∪BA\cup B — ең болмағанда бір жиынның элементтері, қиылысу A∩BA\cap B — ортақ элементтер.

Бірігудің элементтер саны: ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| (ортақтарын екі рет санауға болмайды).

Комбинаторика ережелері 9 сынып

Қосу ережесі: A нысанын mm тәсілмен, B-ны nn тәсілмен таңдауға болса (және A мен B-ны таңдау бірін-бірі жоққа шығарса), «A немесе B» — m+nm+n тәсіл.

Көбейту ережесі: «A және одан кейін B» — m⋅nm\cdot n тәсіл.

0!=10!=1; Cnk=Cnn−kC_n^k=C_n^{n-k}; Cn0=Cnn=1C_n^0=C_n^n=1; Cn1=nC_n^1=n.

Ньютон биномы және Паскаль үшбұрышы 9–10 сынып

(a+b)n(a+b)^n коэффициенттері — CnkC_n^k сандары, олар Паскаль үшбұрышын құрайды: әр сан — үстіндегі екі санның қосындысы. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

Барлық коэффициенттердің қосындысы 2n2^n.

Классикалық, статистикалық және геометриялық ықтималдық 9 сынып

Классикалық: mn\dfrac mn. Статистикалық: тәжірибелер саны көп болғандағы салыстырмалы жиілік (үлкен сандар заңы). Геометриялық: ұзындықтардың, аудандардың немесе көлемдердің қатынасы — мысалы, шаршы ішіндегі дөңгелекке түсу ықтималдығы.

Толық ықтималдық және Байес формуласы 10 сынып

AA оқиғасы H1,…,HnH_1,\ldots,H_n болжамдарының бірімен орындалуы мүмкін болса: P(A)=∑P(Hi)P(A∣Hi)P(A)=\sum P(H_i)P(A|H_i).

Байес AA орындалғаннан кейін болжам ықтималдығын «қайта есептейді»: P(Hi∣A)=P(Hi)P(A∣Hi)P(A)P(H_i|A)=\dfrac{P(H_i)P(A|H_i)}{P(A)}.

Кездейсоқ шамалар 10 сынып

Үлестірім заңы — мәндер мен олардың ықтималдықтарының кестесі (ықтималдықтар қосындысы 1). Математикалық үміт M(X)=∑xipiM(X)=\sum x_ip_i, дисперсия D(X)=M(X2)−(M(X))2D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.

Бернулли схемасы үшін (сәттілік ықтималдығы pp бар nn сынақ): M=npM=np, D=npqD=npq.

Статистика: кестелер, полигон, гистограмма 7–8, 11 сынып

Вариациялық қатар — өсу ретімен орналасқан деректер. Абсолютті жиілік — мәннің неше рет кездесетіні, салыстырмалы — жалпы санның үлесі.

Жиіліктер полигоны — «мән — жиілік» сынық сызығы, гистограмма — аралықтарға арналған бағаншалар. Жинақталған жиілік — берілген мәнді қоса алғандағы жиіліктер қосындысы.

Дисперсия — орта мәннен ауытқудың орта квадраты; стандартты ауытқу деректердің әдеттегі «шашырауын» көрсетеді.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 15 адам кезекке неше тәсілмен тұра алады?
  1. Алмастырулар: 5!=1205!=120.
Жауабы 120
Есеп 210 оқушыдан староста мен оның орынбасарын сайлайды. Неше тәсіл бар?
  1. Рет маңызды (әртүрлі лауазымдар): A102=10⋅9=90A_{10}^2=10\cdot9=90.
Жауабы 90
Есеп 310 оқушыдан екі кезекшіні таңдайды. Неше тәсіл бар?
  1. Рет маңызды емес: C102=10⋅92=45C_{10}^2=\dfrac{10\cdot9}{2}=45.
Жауабы 45
Есеп 43, 5, 5, 6, 8, 9 қатарының орта мәнін, медианасын, модасын және құлашын табыңыз.
  1. Орта мән 366=6\dfrac{36}6=6; медиана 5+62=5,5\dfrac{5+6}2=5{,}5; мода 5; құлаш 9−3=69-3=6.
Жауабы 6; 5,5; 5; 6
Есеп 5Екі ойын сүйегі лақтырылады. Ұпайлар қосындысы 8 болу ықтималдығы қандай?
  1. Барлық нәтиже 6⋅6=366\cdot6=36.
  2. Қолайлылары: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) — 5.
Жауабы 536\dfrac5{36}

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Жәшікте 5 ақ және 3 қара шар бар. Кездейсоқ 2 шар алынады. Екеуі де ақ болу және шарлардың түсі әртүрлі болу ықтималдығын табыңыз.

Идея: Рет маңызды емес — нәтижелер санына терулерді қолданамыз.

  1. Барлық нәтиже
    C82=8⋅72=28C_8^2=\dfrac{8\cdot7}2=28.
  2. Екеуі де ақ
    C52=10C_5^2=10, P=1028=514P=\dfrac{10}{28}=\dfrac5{14}.
  3. Түсі әртүрлі
    Ақ ЖӘНЕ қара: 5⋅3=155\cdot3=15, P=1528P=\dfrac{15}{28}.
  4. Тексеру
    Екеуі де қара C32=3C_3^2=3. 10+15+3=2810+15+3=28 ✓.
Жауабы 514\dfrac5{14} және 1528\dfrac{15}{28}
Есеп 2Мерген нысанаға 0,8 ықтималдықпен тигізеді. Ол 3 рет атады. Дәл екі рет тигізу және ең болмағанда бір рет тигізу ықтималдығын табыңыз.

Идея: Тәуелсіз қайталаулар — Бернулли формуласы; «ең болмағанда біреуі» — қарама-қарсы оқиға арқылы.

  1. 3-тен дәл 2
    P3(2)=C32⋅0,82⋅0,2=3⋅0,64⋅0,2=0,384P_3(2)=C_3^2\cdot0{,}8^2\cdot0{,}2=3\cdot0{,}64\cdot0{,}2=0{,}384.
  2. Бірде-бір тигізу жоқ
    0,23=0,0080{,}2^3=0{,}008.
  3. Ең болмағанда біреуі
    1−0,008=0,9921-0{,}008=0{,}992.
Жауабы 0,384 және 0,992
Есеп 3«АНАР» сөзінің әріптерін ауыстырып, неше түрлі «сөз» құрауға болады? «ПАРАЛЛЕЛЬ» сөзінен ше?

Идея: Қайталанатын алмастырулар: n!n1!n2!…\dfrac{n!}{n_1!n_2!\ldots}.

  1. АНАР
    4 әріп, А — 2 рет: 4!2!=12\dfrac{4!}{2!}=12.
  2. ПАРАЛЛЕЛЬ
    9 әріп: П1, А2, Р1, Л3, Е1, Ь1: 9!2! 3!=36288012=30240\dfrac{9!}{2!\,3!}=\dfrac{362880}{12}=30240.
Жауабы 12 және 30 240
Есеп 4А зауыты бөлшектердің 60 %-ын (ақау 2 %), Б зауыты — 40 %-ын (ақау 5 %) шығарады. Кездейсоқ бөлшектің ақаулы болу ықтималдығын және ақаулы бөлшектің Б зауытында жасалу ықтималдығын табыңыз.

Идея: Толық ықтималдық және Байес формулалары.

  1. Ақаудың толық ықтималдығы
    P=0,6⋅0,02+0,4⋅0,05=0,012+0,02=0,032P=0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}012+0{,}02=0{,}032.
  2. Байес
    P(Б ∣ ақау)=0,020,032=0,625P(\text{Б}\,|\,\text{ақау})=\dfrac{0{,}02}{0{,}032}=0{,}625.
Жауабы 0,032; 0,625
Есеп 52, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 қатарының дисперсиясы мен стандартты ауытқуын табыңыз.

Идея: Дисперсия — орта мәннен ауытқулардың квадраттарының орта мәні.

  1. Орта мән
    408=5\dfrac{40}8=5.
  2. Ауытқулардың квадраттары
    9,1,1,1,0,0,4,169,1,1,1,0,0,4,16; қосындысы 32.
  3. Дисперсия және σ
    D=328=4D=\dfrac{32}8=4, σ=2\sigma=2.
Жауабы D=4D=4, σ=2\sigma=2

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Орналастыруларды (рет маңызды) және терулерді (маңызды емес) шатастырмаңыз.
  • Ықтималдықтарды тек үйлесімсіз оқиғалар үшін қосуға, тек тәуелсіз оқиғалар үшін көбейтуге болады.
  • Медиананы реттелген қатардан іздейді.

Есте сақта

«Және» — көбейтеміз, «немесе» — қосамыз. Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. «Ең болмағанда біреуі» = 1 − «бірде-біреуі жоқ».

Өзіңді тексер

1. C62=C_6^2=
  1. 12
  2. 15
  3. 30
  4. 36
Жауабын көрсету

15 6⋅52\dfrac{6\cdot5}{2}.

2. 4!=4!=
  1. 4
  2. 16
  3. 24
  4. 10
Жауабын көрсету

24 1⋅2⋅3⋅41\cdot2\cdot3\cdot4.

3. Ойын сүйегінде қатарынан екі рет «6» түсу ықтималдығы:
  1. 16\dfrac16
  2. 112\dfrac1{12}
  3. 136\dfrac1{36}
  4. 13\dfrac13
Жауабын көрсету

136\dfrac1{36} 16⋅16\dfrac16\cdot\dfrac16.

4. 7, 1, 3, 9, 5 қатарының медианасы:
  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 5,5
Жауабын көрсету

5 Реттейміз: 1, 3, 5, 7, 9.

5. (a+b)5(a+b)^5 коэффициенттерінің қосындысы:
  1. 5
  2. 10
  3. 25
  4. 32
Жауабын көрсету

32 252^5.

Байланысты тақырыптар

12. Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар13. Анализ бастамалары. Модельдеу есептері5. Сызықтық, квадрат және бөлшек-рационал теңдеулер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика