Тақырып 16

Кеңістіктегі геометриялық фигуралар

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Стереометрия аксиомаларыТүзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуыПерпендикулярлық, үш перпендикуляр туралы теоремаКөпжақтарАйналу денелері

Бір минутта мәні

Стереометрия кеңістіктегі фигураларды зерттейді. Кеңістіктегі түзулер қиылысуы, параллель болуы немесе айқасуы мүмкін. Көпжақтар (призма, параллелепипед, пирамида) және айналу денелері (цилиндр, конус, шар) — ҰБТ есептерінің негізі. Көп есеп сәтті таңдалған қимадағы планиметрияға келтіріледі.

Қарапайым тілмен

Стереометрия — кеңістіктегі геометрия. Басты дағды — көлемді фигураның ішінен жазық үшбұрышты көріп, оны планиметриядағыдай шешу.

Кеңістікті қалай «көру» керек

Бөлмені елестетіңіз: еден мен қабырға — қиылысатын жазықтықтар, плинтус сызығы — олардың қиылысуы. Қарама-қарсы екі қабырға — параллель жазықтықтар. Бір қабырғадағы төбе қыры мен көрші қабырғадағы еден қыры — айқас түзулер: қиылыспайды және параллель емес.

Жазықтыққа перпендикуляр

Түзу жазықтықтағы қиылысатын екі түзуге перпендикуляр болса, ол жазықтыққа перпендикуляр — үстел аяғы еденге сияқты.

Үш перпендикуляр туралы теорема қарапайым тілмен

Нүктеден еденге перпендикуляр түсіріп (тігінен), көлбеу жүргізіңіз. Көлбеудің едендегі «көлеңкесі» едендегі түзуге перпендикуляр болса, көлбеудің өзі де сол түзуге перпендикуляр.

Басты формулалар

Т−Қ+Ж=2\text{Т}-\text{Қ}+\text{Ж}=2
Дөңес көпжақ үшін Эйлер формуласы (төбе, қыр, жақ)
d2=a2+b2+c2d^2=a^2+b^2+c^2
Тікбұрышты параллелепипедтің диагоналі
d=a3d=a\sqrt3
Кубтың диагоналі

Ұғымдар мен терминдер

Айқас түзулер
Қиылыспайды және параллель емес (әртүрлі жазықтықта жатады)
Үш перпендикуляр туралы теорема
Жазықтықтағы түзу көлбеудің проекциясына перпендикуляр болса, көлбеудің өзіне де перпендикуляр
Дұрыс пирамида
Табанында дұрыс көпбұрыш, төбесі оның центріне проекцияланады
Қима
Жазықтық денені қиятын фигура

Тақырыпты талдау

Өзара орналасу

Екі түзу: қиылысады, параллель немесе айқас. Түзу мен жазықтық: түзу жазықтықта жатады, оны қиады немесе оған параллель. Екі жазықтық: параллель немесе түзу бойымен қиылысады.

Айқас түзулер арасындағы бұрыш — оларға параллель қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш.

Денелер

Призма: екі тең табаны және параллелограмм болатын бүйір жақтары. Пирамида: табанында көпбұрыш және ортақ төбесі бар үшбұрышты жақтар.

Цилиндр, конус, шар тіктөртбұрышты, тікбұрышты үшбұрышты және жарты дөңгелекті айналдырудан шығады.

Көпжақтар 10–11 сынып

Призма: екі тең параллель табан және параллелограмм бүйір жақтары; тік призма — бүйір қырлары табандарға перпендикуляр. Параллелепипед — табаны параллелограмм призма.

Пирамида: көпбұрыш табан және ортақ төбесі бар үшбұрыш бүйір жақтары; дұрыс пирамида — табанында дұрыс көпбұрыш, төбесі оның центріне проекцияланады.

Дөңес көпжақтар үшін Эйлер формуласы: Т−Қ+Ж=2\text{Т}-\text{Қ}+\text{Ж}=2 (төбелер, қырлар, жақтар).

Айналу денелері 11 сынып

Цилиндр тіктөртбұрышты, конус тікбұрышты үшбұрышты катетінен, шар жарты дөңгелекті диаметрінен айналдырғанда шығады.

Қималар: цилиндрдің осьтік қимасы — тіктөртбұрыш, конустікі — тең бүйірлі үшбұрыш; шардың жазықтықпен кез келген қимасы — дөңгелек. Сфераны жанайтын жазықтық радиусқа перпендикуляр.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Алтыбұрышты призманың төбелері, қырлары және жақтарының санын тауып, Эйлер формуласын тексеріңіз.
  1. Т=12\text{Т}=12, Қ=18\text{Қ}=18, Ж=8\text{Ж}=8.
  2. 12−18+8=212-18+8=2.
Жауабы 12; 18; 812;\ 18;\ 8
Есеп 2Қырлары 3, 4, 12 болатын тікбұрышты параллелепипедтің диагоналін табыңыз.
  1. d=9+16+144=169d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}.
Жауабы 13
Есеп 3ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 кубында AB1AB_1 және BC1BC_1 түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.
  1. BC1∥AD1BC_1\parallel AD_1, сондықтан AB1AB_1 мен AD1AD_1 арасындағы бұрышты іздейміз.
  2. AB1D1AB_1D_1 үшбұрышы теңқабырғалы (барлық қабырғасы — жақ диагональдары).
Жауабы 60∘60^\circ

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасы 6, бүйір қыры 5. Пирамиданың биіктігі мен апофемасын табыңыз.

Идея: Биіктік, табан диагоналінің жартысы және бүйір қыры тікбұрышты үшбұрыш құрайды.

  1. Табан диагоналінің жартысы
    Шаршы диагоналі 626\sqrt2, жартысы 323\sqrt2.
  2. Биіктік
    h2=52−(32)2=25−18=7h^2=5^2-(3\sqrt2)^2=25-18=7, h=7h=\sqrt7.
  3. Апофема (бүйір жақтың биіктігі)
    Бүйір қыры мен қабырғаның жартысы бар үшбұрыштан: l2=25−9=16l^2=25-9=16, l=4l=4.
Жауабы h=7h=\sqrt7, апофема 4

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Кеңістікте қиылыспайтын түзулер міндетті түрде параллель емес — олар айқас болуы мүмкін.
  • Дұрыс пирамиданың биіктігі бұрыш төбесіне емес, табанның центріне түседі.
  • Кубтың диагоналі a3a\sqrt3, жағының диагоналі a2a\sqrt2.

Есте сақта

Кеңістіктік есеп жазық қимада шешіледі.

Өзіңді тексер

1. Үшбұрышты пирамиданың неше қыры бар?
  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 3
Жауабын көрсету

6 Табанында 3 және 3 бүйір қыр.

2. Қыры 2 кубтың диагоналі:
  1. 222\sqrt2
  2. 232\sqrt3
  3. 4
  4. 6
Жауабын көрсету

232\sqrt3 a3a\sqrt3.

3. Түзулер қиылыспайды және параллель емес. Олар:
  1. беттеседі
  2. айқасады
  3. перпендикуляр
  4. мүмкін емес
Жауабын көрсету

айқасады Бұл айқас түзулердің анықтамасы.

4. Кубтың төбелері, қырлары және жақтары сәйкесінше:
  1. 8, 12, 6
  2. 6, 12, 8
  3. 8, 6, 12
  4. 4, 6, 4
Жауабын көрсету

8, 12, 6 8−12+6=28-12+6=2.

Байланысты тақырыптар

17. Кеңістіктегі метрикалық қатыстар18. Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер14. Геометриялық фигуралар және олардың өзара орналасуы

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика