Тақырып 17

Кеңістіктегі метрикалық қатыстар

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Көпжақтардың көлемдеріАйналу денелерінің көлемдеріБет аудандарыКеңістіктегі қашықтықтар мен бұрыштар

Бір минутта мәні

Стереометрияның метрикалық есептерінде көлемдер, бет аудандары, қашықтықтар мен бұрыштар табылады. Призма мен цилиндрдің көлемі — табан ауданы мен биіктіктің көбейтіндісі, пирамида мен конустікі — үш есе кіші. Шар үшін V=43πR3V=\frac43\pi R^3 және S=4πR2S=4\pi R^2 формулалары қажет.

Қарапайым тілмен

Көлем — «ішіне қанша су сыяды», бет ауданы — «жапсыруға қанша қағаз керек». Көлем формулаларының дерлік бәрі бірдей құрылған: табан ауданы × биіктік, ал «үшкір» денелер (пирамида, конус) үшін — тағы 3-ке бөлу.

Неге пирамидада 13\dfrac13

Үшбұрышты призманы көлемдері тең үш пирамидаға бөлуге болады, олардың біреуінің табаны мен биіктігі призманікімен бірдей. Сондықтан Vпир=13SтабhV_{\text{пир}}=\dfrac13S_{\text{таб}}h. Конус пен цилиндрде де солай.

Шарды есте сақтау оңай

V=43πR3V=\dfrac43\pi R^3, S=4πR2S=4\pi R^2 — сфера ауданы үлкен дөңгелек ауданынан дәл 4 есе үлкен.

Кеңістіктегі масштаб

Барлық өлшемді kk есе арттырса — бет ауданы k2k^2, көлем k3k^3 есе өседі. Диаметрі екі есе үлкен қарбыз 8 есе ауыр.

Басты формулалар

V=Sтаб⋅hV=S_{\text{таб}}\cdot h
Призма, цилиндр
V=13Sтаб⋅hV=\dfrac13S_{\text{таб}}\cdot h
Пирамида, конус
Sбүйір=2πrh,V=πr2hS_{\text{бүйір}}=2\pi rh,\quad V=\pi r^2h
Цилиндр
Sбүйір=πrl,l=r2+h2S_{\text{бүйір}}=\pi rl,\quad l=\sqrt{r^2+h^2}
Конус
V=43πR3,S=4πR2V=\dfrac43\pi R^3,\quad S=4\pi R^2
Шар және сфера
Sбүйір=12Pтаб⋅haS_{\text{бүйір}}=\dfrac12P_{\text{таб}}\cdot h_a
Дұрыс пирамида (hah_a — апофема)

Ұғымдар мен терминдер

Апофема
Дұрыс пирамиданың бүйір жағының биіктігі
Конустың жасаушысы
Төбеден табан шеңберіне дейінгі кесінді
Осьтік қима
Айналу денесінің осі арқылы өтетін жазықтықпен қима

Тақырыпты талдау

Шатаспау үшін

«Үштен бір» тек төбесі бар денелерде: пирамида мен конуста.

Толық бет ауданы = бүйір + табандар (цилиндрде екі табан, конуста біреу).

Қашықтықтар мен бұрыштар

Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш — түзу мен оның жазықтықтағы проекциясы арасындағы бұрыш.

Дұрыс пирамиданың бүйір жағы мен табаны арасындағы бұрыш — апофема мен табанға іштей сызылған шеңбер радиусы арасындағы бұрыш.

Қиық денелер 11 сынып

Қиық пирамиданың көлемі V=13h(S1+S2+S1S2)V=\dfrac13h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}), қиық конустікі V=13πh(R2+Rr+r2)V=\dfrac13\pi h(R^2+Rr+r^2).

Қиық конустың бүйір бетінің ауданы S=π(R+r)lS=\pi(R+r)l.

Бұрыштар мен қашықтықтар 10 сынып

Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш — түзу мен оның проекциясы арасындағы бұрыш. Екіжақты бұрышты сызықтық бұрышпен өлшейді: бір нүктеден екі жақта да қырға перпендикулярлар жүргіземіз.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық — перпендикулярдың ұзындығы; айқас түзулер арасындағы — ортақ перпендикулярдың ұзындығы.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Конус: r=3r=3, h=4h=4. SбүйірS_{\text{бүйір}} және VV табыңыз.
  1. l=9+16=5l=\sqrt{9+16}=5.
  2. Sбүйір=π⋅3⋅5=15πS_{\text{бүйір}}=\pi\cdot3\cdot5=15\pi, V=13π⋅9⋅4=12πV=\frac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi.
Жауабы 15π; 12π15\pi;\ 12\pi
Есеп 2Шардың көлемі 36π36\pi. Бетінің ауданын табыңыз.
  1. 43πR3=36π⇒R3=27\frac43\pi R^3=36\pi\Rightarrow R^3=27, R=3R=3.
  2. S=4π⋅9=36πS=4\pi\cdot9=36\pi.
Жауабы 36π36\pi
Есеп 3Дұрыс төртбұрышты пирамида: табан қабырғасы 6, биіктігі 4. SбүйірS_{\text{бүйір}} және VV табыңыз.
  1. Апофема ha=42+32=5h_a=\sqrt{4^2+3^2}=5.
  2. Sбүйір=12⋅24⋅5=60S_{\text{бүйір}}=\frac12\cdot24\cdot5=60, V=13⋅36⋅4=48V=\frac13\cdot36\cdot4=48.
Жауабы 60; 4860;\ 48

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Конус: табан радиусы 6, жасаушысы 10. Көлемін және толық бетінің ауданын табыңыз.

Идея: Биіктікті осьтік қимадан Пифагор бойынша табамыз.

  1. Биіктік
    h=102−62=8h=\sqrt{10^2-6^2}=8.
  2. Көлем
    V=13π⋅36⋅8=96πV=\dfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi.
  3. Бет
    S=πr2+πrl=36π+60π=96πS=\pi r^2+\pi rl=36\pi+60\pi=96\pi.
Жауабы V=96πV=96\pi, S=96πS=96\pi
Есеп 2Радиусы 5 шарға табан радиусы 3 цилиндр іштей сызылған. Цилиндр көлемін табыңыз.

Идея: Осьтік қима: дөңгелекке іштей сызылған тіктөртбұрыш; диагоналі — шар диаметрі.

  1. Биіктіктің жартысы
    (h2)2+32=52⇒h2=4\left(\dfrac h2\right)^2+3^2=5^2\Rightarrow\dfrac h2=4, h=8h=8.
  2. Көлем
    V=π⋅9⋅8=72πV=\pi\cdot9\cdot8=72\pi.
Жауабы 72π72\pi

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Пирамида мен конустағы 13\frac13-ді ұмытпаңыз.
  • Пирамиданың апофемасы оның биіктігіне тең емес.
  • Цилиндрдің екі табаны бар: Sтолық=2πr(r+h)S_{\text{толық}}=2\pi r(r+h).

Есте сақта

Призма мен цилиндр — ShSh, пирамида мен конус — 13Sh\frac13Sh, шар — 43πR3\frac43\pi R^3.

Өзіңді тексер

1. Қыры 3 кубтың көлемі:
  1. 9
  2. 27
  3. 18
  4. 54
Жауабын көрсету

27 333^3.

2. Цилиндр r=2r=2, h=5h=5. Көлемі:
  1. 10π10\pi
  2. 20π20\pi
  3. 40π40\pi
  4. 4π4\pi
Жауабын көрсету

20π20\pi π⋅4⋅5\pi\cdot4\cdot5.

3. Радиусы 1 сфераның ауданы:
  1. π\pi
  2. 2π2\pi
  3. 4π4\pi
  4. 43π\frac43\pi
Жауабын көрсету

4π4\pi 4πR24\pi R^2.

4. Шар радиусын 2 есе арттырды. Көлем неше есе артты:
  1. 2
  2. 4
  3. 8
  4. 6
Жауабын көрсету

8 k3k^3.

Байланысты тақырыптар

16. Кеңістіктегі геометриялық фигуралар18. Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер15. Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика