Тақырып 11

Теңсіздіктер жүйесі

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Сызықтық теңсіздіктер жүйесіБөлшек-рационал теңсіздіктер жүйесіСызықтық емес теңсіздіктер жүйесіКөрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер жүйесі

Бір минутта мәні

Теңсіздіктер жүйесінің шешімі — барлық теңсіздікті бір мезгілде қанағаттандыратын

x

мәндері, яғни олардың шешімдерінің қиылысуы. Әр теңсіздік жеке шешіледі, сосын сан түзуінде ортақ бөлігі табылады.

Қарапайым тілмен

Теңсіздіктер жүйесі — бір мезгілдегі бірнеше шарт, интернет-дүкендегі сүзгілер сияқты: «бағасы 5000-нан» ЖӘНЕ «бағасы 20 000-ға дейін». Жауабы — барлық сүзгіден өткен сандар, яғни шешімдердің қиылысуы.

Әрқайсысын бөлек шешіп, сосын қиылыстырамыз

Әр теңсіздікті шешіп, жауаптарды бір түзуге салыңыз (әртүрлі түсті штрихпен) және штрихтар бір-біріне түсетін жерді алыңыз.

Жүйе мен жиынтықты шатастырмаңыз

Фигуралы жақша $\{$ — жүйе, «және» керек: қиылысу. Тік жақша $[$ — жиынтық, «немесе» керек: бірігу.

Қиылысу болмаса

$x>5$ және $x<2$ бір мезгілде мүмкін емес — жүйенің шешімі жоқ. Бұл да жауап: $\varnothing$ .

Басты формулалар

\begin{cases}x>a\\x<b\end{cases}\Rightarrow x\in(a;b),\ a<b

Қиылысу

\begin{cases}x>a\\x>b\end{cases}\Rightarrow x>\max(a,b)

Үлкенінен үлкен

\begin{cases}x<a\\x<b\end{cases}\Rightarrow x<\min(a,b)

Кішісінен кіші

Ұғымдар мен терминдер

Қиылысу: Шешімдердің ортақ бөлігі, $\cap$ деп белгіленеді
Бүтін шешімдер: Жауап аралығына түскен бүтін сандар

Тақырыпты талдау

Алгоритм

1) Әр теңсіздікті шешіңіз. 2) Шешімдерді бір түзуде әртүрлі штрихпен бейнелеңіз. 3) Жауап — штрихтар сәйкес келетін жер. 4) Ортақ бөлігі болмаса, жүйенің шешімі жоқ.

Қос теңсіздіктер 6 сынып

$-3<2x+1\le7$ теңсіздігін «барлық бөлігінде бірден» шешеді: 1-ді азайтамыз: $-4<2x\le6$ ; 2-ге бөлеміз: $-2<x\le3$ .

Бүтін шешімдер, ең үлкен/ең кіші 6–8 сынып

Көбіне бүтін шешімдер санын немесе олардың қосындысын сұрайды. Аралықты жазып, ұштарының кіретінін мұқият ескеріңіз.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Шешіңіз:

\begin{cases}2x-1>3\\x+4\le10\end{cases}

$x>2$ және $x\le6$ .

Жауабы

(2;6]

Есеп 2Шешіңіз:

\begin{cases}x^2-4<0\\x>0\end{cases}

$x^2<4\Rightarrow-2<x<2$ .
$x>0$ шартымен қиылысуы.

Жауабы

(0;2)

Есеп 3Шешіңіз:

\begin{cases}2^x\ge4\\\log_2x<3\end{cases}

$x\ge2$ .
$0<x<8$ .
Қиылысуы: $2\le x<8$ .

Жауабы

[2;8)

Есеп 4

\begin{cases}x^2-x-6\le0\\x>0\end{cases}

жүйесінің неше бүтін шешімі бар?

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)\le0\Rightarrow-2\le x\le3$ .
$x>0$ ескерсек: $(0;3]$ , бүтіндері: 1, 2, 3.

Жауабы 3

Есеп 5

\begin{cases}3x-2<10\\5-x\le8\end{cases}

жүйесінің неше бүтін шешімі бар?

$x<4$ және $x\ge-3$ .
Бүтін: $-3,-2,-1,0,1,2,3$ .

Жауабы 7

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Жүйені шешіңіз:

\begin{cases}x^2-4x-5\le0\\\dfrac{x-1}{x-3}>0\end{cases}

Идея: Әр теңсіздікті интервалдар әдісімен, содан кейін қиылысу.

Бірінші теңсіздік
$(x-5)(x+1)\le0\Rightarrow-1\le x\le5$ .
Екінші теңсіздік
Нөлдері 1 және 3 (3 ойық): $x<1$ және $x>3$ болғанда «+».
Бір түзуде қиылыстырамыз
$[-1;5]\cap\big((-\infty;1)\cup(3;+\infty)\big)=[-1;1)\cup(3;5]$ .

Жауабы

[-1;1)\cup(3;5]

Есеп 2

\begin{cases}2^{x}\ge\dfrac14\\\log_3(x+4)<1\end{cases}

жүйесінің бүтін шешімдерінің қосындысын табыңыз.

Идея: Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді бөлек шешеміз.

Біріншісі
$2^x\ge2^{-2}\Rightarrow x\ge-2$ .
ММО-мен екіншісі
$x+4>0$ және $x+4<3\Rightarrow-4<x<-1$ .
Қиылысу
$-2\le x<-1$ : бүтін шешімі тек $-2$ .

Жауабы

-2

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

Жүйенің жауабы — қиылысу, бірігу емес.
Аралық ұштарын қадағалаңыз: қатаң және қатаң емес таңбалар.
Жүйе ішіндегі логарифмдердің ММО-сын ұмытпаңыз.

Есте сақта

Жүйе — «және», жиынтық — «немесе».

Өзіңді тексер

\begin{cases}x>1\\x>4\end{cases}

$x>1$
$x>4$
$(1;4)$
шешімі жоқ

Жауабын көрсету

$x>4$ Үлкенінен үлкен.

\begin{cases}x<2\\x>5\end{cases}

$(2;5)$
$x<2$
шешімі жоқ
$x>5$

Жауабын көрсету

шешімі жоқ Ортақ бөлігі жоқ.

\begin{cases}x\ge-1\\x<2\end{cases}

бүтін шешімдері:

$-1;0;1$
$0;1$
$-1;0;1;2$
$0;1;2$

Жауабын көрсету

$-1;0;1$ $[-1;2)$ .

x\ge2

x<2

жүйесінің шешімдері:

біреу
жоқ
шексіз көп
екеу

Жауабын көрсету

жоқ Қиылысу бос.

Байланысты тақырыптар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика