Тақырып 7

Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Логарифм қасиеттеріКөрсеткіштік теңдеулерЛогарифмдік теңдеулерЛогарифмнің ММО-сы

Бір минутта мәні

axa^x көрсеткіштік функциясы мен log⁡ax\log_a x логарифмі — өзара кері функциялар. Көрсеткіштік теңдеулерді бір негізге келтіру немесе t=ax>0t=a^x>0 алмастыруы арқылы шешеді. Логарифмдік теңдеулерді логарифм қасиеттерімен шешеді, бірақ әрқашан ММО-ны тексереді: логарифм аргументі оң, негізі оң және 1-ге тең емес.

Қарапайым тілмен

Логарифм «санды алу үшін негізді қандай дәрежеге шығару керек?» деген сұраққа жауап береді. log⁡28=3\log_2 8=3, өйткені 23=82^3=8. Логарифм — жай ғана «біз іздеп отырған дәреже көрсеткіші».

«Ары-бері» аудару

log⁡ab=c ⇔ ac=b\log_a b=c\ \Leftrightarrow\ a^c=b. Тұрып қалсаңыз — логарифмді дәреже түрінде қайта жазыңыз: log⁡3x=2⇒x=32=9\log_3x=2\Rightarrow x=3^2=9.

Қасиеттері — дәреже ережелері

Дәрежелерді көбейткенде көрсеткіштер қосылады — сондықтан log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log(xy)=\log x+\log y. Бөлгенде азайтылады — log⁡xy=log⁡x−log⁡y\log\dfrac xy=\log x-\log y. Дәреже алға шығарылады: log⁡x5=5log⁡x\log x^5=5\log x.

Логарифмнің ММО-і деген не

Логарифм тек оң саннан бар, ал негізі оң және 1-ге тең емес: log⁡ab\log_a b: b>0b>0, a>0a>0, a≠1a\ne1. ММО-ді тексермесеңіз, жауапта көбіне «артық» түбір қалады.

Көрсеткіштік теңдеу — негіздерді теңестіреміз

4x=324^x=32: 4=224=2^2, 32=2532=2^5 → 22x=252^{2x}=2^5 → 2x=52x=5. Негіздер бірдей — көрсеткіштер тең.

Басты формулалар

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c\iff a^c=b
a>0, a≠1, b>0a>0,\ a\ne1,\ b>0
alog⁡ab=b,log⁡a1=0,log⁡aa=1a^{\log_a b}=b,\quad \log_a1=0,\quad \log_aa=1
Негізгі тепе-теңдіктер
log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac,log⁡abc=log⁡ab−log⁡ac\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac,\quad \log_a\dfrac bc=\log_ab-\log_ac
Көбейтінді мен бөліндінің логарифмі
log⁡abn=nlog⁡ab\log_ab^n=n\log_ab
Дәреженің логарифмі
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}
Жаңа негізге көшу
af(x)=ag(x)  ⟺  f(x)=g(x)a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)
Көрсеткіштік теңдеу

Ұғымдар мен терминдер

lg⁡x\lg x
Ондық логарифм, негізі 10
ln⁡x\ln x
Натурал логарифм, негізі e≈2,718e\approx2{,}718
Логарифмнің ММО-сы
log⁡af(x)\log_a f(x): f(x)>0f(x)>0, a>0a>0, a≠1a\ne1

Тақырыпты талдау

Көрсеткіштік теңдеулер

Бір негіз: 2x+1=32=25⇒x=42^{x+1}=32=2^5\Rightarrow x=4.

Алмастыру: 9x−4⋅3x+3=09^x-4\cdot3^x+3=0, t=3x>0t=3^x>0.

Логарифмдік теңдеулер

Алдымен ММО, сосын қасиеттер арқылы log⁡af=log⁡ag\log_af=\log_ag түріне келтіреміз, бұдан f=gf=g.

ММО-ға кірмеген түбірлерді алып тастаймыз.

Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар 11 сынып

y=axy=a^x: a>1a>1 болғанда өседі, 0<a<10<a<1 болғанда кемиді; әрқашан y>0y>0; график (0;1)(0;1) арқылы өтеді.

y=log⁡axy=\log_ax — кері функция: графигі axa^x графигімен y=xy=x түзуіне қатысты симметриялы; (1;0)(1;0) арқылы өтеді; x>0x>0 болғанда анықталған.

e≈2,718e\approx2{,}718 саны; ln⁡x=log⁡ex\ln x=\log_ex, lg⁡x=log⁡10x\lg x=\log_{10}x.

Шешу әдістері 11 сынып

1) Бір негізге келтіру. 2) Ортақ көбейткішті шығару: 3x+2−3x=72⇒3x(9−1)=723^{x+2}-3^x=72\Rightarrow3^x(9-1)=72. 3) Алмастыру: 4x−3⋅2x+2=04^x-3\cdot2^x+2=0, t=2x>0t=2^x>0. 4) Логарифмдеу: 2x=5⇒x=log⁡252^x=5\Rightarrow x=\log_25.

Көшу формуласы: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}; log⁡ab=1log⁡ba\log_ab=\dfrac1{\log_ba}; alog⁡ab=ba^{\log_ab}=b.

Туынды және интеграл 11 сынып

(ex)′=ex(e^x)'=e^x, (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x, ∫exdx=ex+C\int e^xdx=e^x+C, ∫dxx=ln⁡∣x∣+C\int\dfrac{dx}x=\ln|x|+C.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Шешіңіз: 9x−4⋅3x+3=09^x-4\cdot3^x+3=0.
  1. t=3x>0t=3^x>0: t2−4t+3=0t^2-4t+3=0, t=1t=1 немесе t=3t=3.
  2. 3x=1⇒x=03^x=1\Rightarrow x=0; 3x=3⇒x=13^x=3\Rightarrow x=1.
Жауабы 0; 1
Есеп 2Шешіңіз: log⁡2(x−1)+log⁡2(x+1)=3\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.
  1. ММО: x>1x>1.
  2. log⁡2((x−1)(x+1))=3⇒x2−1=8⇒x=±3\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3\Rightarrow x^2-1=8\Rightarrow x=\pm3.
  3. x=−3x=-3 ММО-ға кірмейді.
Жауабы 3
Есеп 3Есептеңіз: log⁡381+lg⁡0,01\log_3 81+\lg0{,}01.
  1. 34=81⇒log⁡381=43^4=81\Rightarrow\log_381=4.
  2. 10−2=0,01⇒lg⁡0,01=−210^{-2}=0{,}01\Rightarrow\lg0{,}01=-2.
Жауабы 2
Есеп 4Есептеңіз: log⁡354−log⁡32+5log⁡57\log_3 54-\log_3 2+5^{\log_5 7}.
  1. log⁡3542=log⁡327=3\log_3\dfrac{54}2=\log_327=3.
  2. 5log⁡57=75^{\log_57}=7. Барлығы 1010.
Жауабы 10
Есеп 5Шешіңіз: 3x+2−3x=723^{x+2}-3^x=72.
  1. 3x(9−1)=72⇒3x=93^x(9-1)=72\Rightarrow3^x=9.
  2. x=2x=2.
Жауабы 2

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Шешіңіз: 4x−6⋅2x+8=04^x-6\cdot2^x+8=0.

Идея: 4x=(2x)24^x=(2^x)^2 — алмастыру теңдеуді квадрат теңдеуге айналдырады.

  1. t=2x>0t=2^x>0 алмастыруы
    t2−6t+8=0t^2-6t+8=0.
  2. Түбірлер
    t=2t=2 немесе t=4t=4 — екеуі де оң.
  3. Кері алмастыру
    2x=2⇒x=12^x=2\Rightarrow x=1; 2x=4⇒x=22^x=4\Rightarrow x=2.
Жауабы 1; 2
Есеп 2Шешіңіз: log⁡2(x−2)+log⁡2(x−3)=1\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1.

Идея: Логарифмдер қосындысы = көбейтіндінің логарифмі; ММО-ді ұмытпаңыз.

  1. ММО
    x−2>0x-2>0 және x−3>0⇒x>3x-3>0\Rightarrow x>3.
  2. Логарифмдерді біріктіреміз
    log⁡2((x−2)(x−3))=1⇒(x−2)(x−3)=2\log_2((x-2)(x-3))=1\Rightarrow(x-2)(x-3)=2.
  3. Шешеміз
    x2−5x+4=0⇒x=1x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1 немесе x=4x=4.
  4. ММО бойынша іріктеу
    x=1x=1 ММО-ге кірмейді, x=4x=4 сәйкес.
Жауабы 4
Есеп 3Шешіңіз: log⁡32x−log⁡3x−2=0\log_3^2x-\log_3x-2=0.

Идея: Логарифм — жаңа айнымалы ретінде.

  1. ММО және алмастыру
    x>0x>0; t=log⁡3xt=\log_3x: t2−t−2=0t^2-t-2=0.
  2. Түбірлер
    t=2t=2 немесе t=−1t=-1.
  3. xx-ке қайтамыз
    x=32=9x=3^2=9; x=3−1=13x=3^{-1}=\dfrac13.
Жауабы 13; 9\dfrac13;\ 9
Есеп 4Есептеңіз: log⁡23⋅log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡58\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 8.

Идея: Бір негізге көшеміз — қысқаратын «тізбек» шығады.

  1. Бәрін 2 негізіне
    log⁡ab=log⁡2blog⁡2a\log_ab=\dfrac{\log_2b}{\log_2a}: log⁡231⋅log⁡24log⁡23⋅log⁡25log⁡24⋅log⁡28log⁡25\dfrac{\log_23}{1}\cdot\dfrac{\log_24}{\log_23}\cdot\dfrac{\log_25}{\log_24}\cdot\dfrac{\log_28}{\log_25}.
  2. Қысқартамыз
    log⁡28=3\log_28=3 қалады.
Жауабы 3

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • log⁡a(b+c)≠log⁡ab+log⁡ac\log_a(b+c)\ne\log_ab+\log_ac.
  • ММО-ны тексермесе, бөгде түбір қалып қоюы оңай.
  • t=axt=a^x әрқашан оң: теріс tt мәндері алынып тасталады.
  • log⁡a(x+y)≠log⁡ax+log⁡ay\log_a(x+y)\ne\log_ax+\log_ay.
  • t=axt=a^x алмастыруы t>0t>0 талап етеді.

Есте сақта

Логарифм — бұл көрсеткіш: log⁡ab\log_a b «bb алу үшін aa-ны қандай дәрежеге шығару керек?» деген сұраққа жауап береді.

Өзіңді тексер

1. log⁡232=\log_2 32=
  1. 4
  2. 5
  3. 16
  4. 6
Жауабын көрсету

5 25=322^5=32.

2. 5log⁡57=5^{\log_5 7}=
  1. 5
  2. 7
  3. 35
  4. log⁡57\log_5 7
Жауабын көрсету

7 Негізгі логарифмдік тепе-теңдік.

3. log⁡62+log⁡63=\log_6 2+\log_6 3=
  1. 1
  2. log⁡65\log_6 5
  3. 6
  4. log⁡126\log_{12}6
Жауабын көрсету

1 log⁡66=1\log_6 6=1.

4. lg⁡1000=\lg1000=
  1. 2
  2. 3
  3. 100
  4. 10
Жауабын көрсету

3 103=100010^3=1000.

5. y=log⁡2xy=\log_2x графигі қай нүкте арқылы өтеді:
  1. (0;1)(0;1)
  2. (1;0)(1;0)
  3. (0;0)(0;0)
  4. (2;0)(2;0)
Жауабын көрсету

(1;0)(1;0) log⁡21=0\log_21=0.

Байланысты тақырыптар

2. Дәрежелерге амалдар9. Тригонометриялық, иррационал, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелері10. Сызықтық, квадрат, рационал және басқа теңсіздіктер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика