Тақырып 3

Тригонометрия

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Бұрыштың радиандық өлшеміСинус, косинус, тангенс анықтамаларыНегізгі тепе-теңдіктерКелтіру формулаларыҚосу және екі еселенген бұрыш формулалары

Бір минутта мәні

Тригонометрия бұрыштар мен қабырғаларды sin⁡\sin, cos⁡\cos, tg⁡\tg, ctg⁡\ctg функциялары арқылы байланыстырады. Бірлік шеңберде бұрыштың косинусы — нүктенің абсциссасы, синусы — ординатасы. ҰБТ есептерінің көбі негізгі тепе-теңдік, келтіру формулалары және екі еселенген бұрыш формулаларымен шығады.

Қарапайым тілмен

Тригонометрия тікбұрышты үшбұрыштан басталып, кейін «бірлік шеңберге» — радиусы 1 шеңберге көшеді. Шеңбердегі нүктенің координаталары (cos⁡α; sin⁡α)(\cos\alpha;\ \sin\alpha): косинус — «қаншалықты оңға», синус — «қаншалықты жоғары».

Үшбұрыштағы синус пен косинус

sin⁡\sin = қарсы жатқан катет / гипотенуза, cos⁡\cos = іргелес катет / гипотенуза, tg⁡=sin⁡cos⁡\tg=\dfrac{\sin}{\cos} = қарсы / іргелес.

Радиан — доғаның ұзындығы

Толық шеңбер — 2π2\pi радиан =360∘=360^\circ. Демек π=180∘\pi=180^\circ, π2=90∘\dfrac\pi2=90^\circ, π6=30∘\dfrac\pi6=30^\circ.

Аудару: градус ×π180\times\dfrac{\pi}{180} = радиан.

Негізгі тепе-теңдік — Пифагор теоремасы

(cos⁡α;sin⁡α)(\cos\alpha;\sin\alpha) нүктесі радиусы 1 шеңберде жатыр, сондықтан cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. Синусты білсеңіз, косинусты әрқашан табасыз (таңбасы — ширек бойынша).

Мәндер кестесі «алақанмен»

sin⁡0∘,30∘,45∘,60∘,90∘=02,12,22,32,42\sin0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ=\dfrac{\sqrt0}2,\dfrac{\sqrt1}2,\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac{\sqrt4}2 — түбір астында 0, 1, 2, 3, 4. Косинустар — сол қатар кері ретпен.

Келтіру формулалары жаттаусыз

1) Формулада π\pi немесе 2π2\pi болса — функция өзгермейді; π2\dfrac\pi2 немесе 3π2\dfrac{3\pi}2 болса — «кофункцияға» ауысады (sin↔cos, tg↔ctg). 2) Таңбаны α\alpha-ны сүйір деп алып, бастапқы функцияның сол ширектегі таңбасы бойынша қоямыз.

sin⁡(π−α)\sin(\pi-\alpha): функция сол, бұрыш II ширекте, синус онда «+» → sin⁡α\sin\alpha.

Басты формулалар

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
Негізгі тригонометриялық тепе-теңдік
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,tg⁡α⋅ctg⁡α=1\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \tg\alpha\cdot\ctg\alpha=1
Тангенс және котангенс
1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+\tg^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}
Тангенс пен косинустың байланысы
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
Екі еселенген бұрыш
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
Қосынды мен айырманың синусы
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
Қосынды мен айырманың косинусы
180∘=π180^\circ=\pi рад
Градусты радианға айналдыру

Ұғымдар мен терминдер

Бірлік шеңбер
Центрі координаталар басында, радиусы 1 шеңбер; P(cos⁡α;sin⁡α)P(\cos\alpha;\sin\alpha) нүктесі
Жұптық
cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha — жұп, sin⁡\sin және tg⁡\tg — тақ
Келтіру формулалары
π2±α\frac{\pi}{2}\pm\alpha, π±α\pi\pm\alpha бұрыштары үшін: функция «кофункцияға» тек π2\frac\pi2 және 3π2\frac{3\pi}2 жағдайында ауысады

Тақырыпты талдау

Ширектер бойынша таңбалар

I ширек: барлық функция оң. II: тек sin⁡\sin оң. III: tg⁡\tg және ctg⁡\ctg оң. IV: тек cos⁡\cos оң.

Функцияның таңбасы мен негізгі тепе-теңдік бойынша бұрыштың басқа функциялары табылады.

Келтіру формулалары жаттамай

1) Бұрыш горизонталь осьтен өлшенсе (π±α\pi\pm\alpha, 2π−α2\pi-\alpha), функция сақталады; вертикаль осьтен өлшенсе (π2±α\frac\pi2\pm\alpha, 3π2±α\frac{3\pi}{2}\pm\alpha) — кофункцияға ауысады.

2) Таңба бұрыш жатқан ширектегі бастапқы функция бойынша қойылады: sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos(\frac\pi2+\alpha)=-\sin\alpha.

Тікбұрышты үшбұрыш тригонометриясы 8 сынып

Тікбұрышты үшбұрышты шешу: екі элементі бойынша (екі бұрыш емес) қалғандарын табады. Катет = гипотенуза × қарсы бұрыштың синусы = гипотенуза × іргелес бұрыштың косинусы.

30∘,45∘,60∘30^\circ,45^\circ,60^\circ мәндерін тең қабырғалы үшбұрыштан және тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштан алады.

Жұптылық және периодтылық 9 сынып

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha — косинус жұп; sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha, tg⁡(−α)=−tg⁡α\tg(-\alpha)=-\tg\alpha — тақ.

Синус пен косинустың периоды 2π2\pi, тангенс пен котангенстікі π\pi. Сондықтан sin⁡750∘=sin⁡(720∘+30∘)=sin⁡30∘=12\sin 750^\circ=\sin(720^\circ+30^\circ)=\sin30^\circ=\dfrac12.

Қосынды мен айырманы көбейтіндіге 9 сынып

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2; cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2; cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\sin\dfrac{\alpha-\beta}2.

Дәрежені төмендету: sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}2, cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}2.

Кері тригонометриялық функциялар 10 сынып

arcsin⁡a\arcsin a — синусы aa-ға тең [−π2;π2]\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right] аралығындағы бұрыш (∣a∣≤1|a|\le1). arccos⁡a\arccos a — [0;π][0;\pi] аралығынан. arctg⁡a\arctg a — (−π2;π2)\left(-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right) аралығынан.

arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac\pi6, бірақ arccos⁡(−12)=2π3\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}3: arccos⁡(−a)=π−arccos⁡a\arccos(-a)=\pi-\arccos a.

Тригонометриялық функциялардың графиктері 10 сынып

y=sin⁡xy=\sin x — периоды 2π2\pi, −1-ден 1-ге дейінгі толқын, нөлдері πk\pi k нүктелерінде. y=cos⁡xy=\cos x — сол толқын, солға π2\dfrac\pi2-ге жылжытылған.

y=Asin⁡(kx+b)y=A\sin(kx+b): AA — биіктік бойынша созу (мәндер жиыны [−∣A∣;∣A∣][-|A|;|A|]), период T=2π∣k∣T=\dfrac{2\pi}{|k|}.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac35, α\alpha — II ширек бұрышы. cos⁡α\cos\alpha мен tg⁡α\tg\alpha табыңыз.
  1. cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}, ∣cos⁡α∣=45|\cos\alpha|=\dfrac45.
  2. II ширекте косинус теріс: cos⁡α=−45\cos\alpha=-\dfrac45.
  3. tg⁡α=3/5−4/5=−34\tg\alpha=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34.
Жауабы cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac45, tg⁡α=−34\tg\alpha=-\frac34
Есеп 2sin⁡75∘\sin75^\circ есептеңіз.
  1. 75∘=45∘+30∘75^\circ=45^\circ+30^\circ.
  2. sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12.
Жауабы 6+24\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
Есеп 3cos⁡215∘−sin⁡215∘\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ есептеңіз.
  1. Бұл α=15∘\alpha=15^\circ болғандағы cos⁡2α\cos2\alpha формуласы.
  2. cos⁡30∘=32\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}.
Жауабы 32\dfrac{\sqrt3}{2}
Есеп 4sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac35, π2<α<π\dfrac\pi2<\alpha<\pi болса, cos⁡α\cos\alpha мен tg⁡α\tg\alpha-ны табыңыз.
  1. cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}.
  2. II ширекте косинус теріс: cos⁡α=−45\cos\alpha=-\dfrac45, tg⁡α=−34\tg\alpha=-\dfrac34.
Жауабы −45; −34-\dfrac45;\ -\dfrac34
Есеп 5y=3cos⁡(2x−π4)+1y=3\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)+1 функциясының периоды мен мәндер жиынын табыңыз.
  1. T=2π2=πT=\dfrac{2\pi}2=\pi.
  2. cos⁡∈[−1;1]⇒3cos⁡∈[−3;3]⇒y∈[−2;4]\cos\in[-1;1]\Rightarrow3\cos\in[-3;3]\Rightarrow y\in[-2;4].
Жауабы T=πT=\pi, E(y)=[−2;4]E(y)=[-2;4]

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1sin⁡15∘⋅cos⁡15∘\sin15^\circ\cdot\cos15^\circ және sin⁡415∘+cos⁡415∘\sin^4 15^\circ+\cos^4 15^\circ мәндерін есептеңіз.

Идея: Екі еселенген бұрыштың синусы және «толық квадрат» тәсілі.

  1. Көбейтінді екі еселенген бұрыш арқылы
    sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α⇒sin⁡15∘cos⁡15∘=12sin⁡30∘=14\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\Rightarrow\sin15^\circ\cos15^\circ=\dfrac12\sin30^\circ=\dfrac14.
  2. Төртінші дәрежелер қосындысы
    sin⁡4+cos⁡4=(sin⁡2+cos⁡2)2−2sin⁡2cos⁡2=1−2(14)2\sin^4+\cos^4=(\sin^2+\cos^2)^2-2\sin^2\cos^2=1-2\left(\dfrac14\right)^2.
  3. Есептейміз
    1−2⋅116=1−18=781-2\cdot\dfrac1{16}=1-\dfrac18=\dfrac78.
Жауабы 14\dfrac14 және 78\dfrac78
Есеп 2tg⁡α=3\tg\alpha=3 болса, 2sin⁡α+3cos⁡αsin⁡α−cos⁡α\dfrac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha} өрнегінің мәнін табыңыз.

Идея: Алымы мен бөлімін cos⁡α\cos\alpha-ға бөлеміз — бәрі тангенс арқылы өрнектеледі.

  1. cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0-ге бөлеміз
    2tg⁡α+3tg⁡α−1\dfrac{2\tg\alpha+3}{\tg\alpha-1}.
  2. Орнына қоямыз
    2⋅3+33−1=92=4,5\dfrac{2\cdot3+3}{3-1}=\dfrac92=4{,}5.
Жауабы 4,54{,}5
Есеп 3Ықшамдаңыз: sin⁡(π−α)cos⁡(3π2+α)tg⁡(π+α)cos⁡(2π−α)\dfrac{\sin(\pi-\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}2+\alpha\right)}{\tg(\pi+\alpha)\cos(2\pi-\alpha)}.

Идея: Әр көбейткіш — келтіру формулалары бойынша.

  1. sin⁡(π−α)\sin(\pi-\alpha)
    π\pi — функция өзгермейді; II ширек, синус «+»: sin⁡α\sin\alpha.
  2. cos⁡(3π2+α)\cos\left(\dfrac{3\pi}2+\alpha\right)
    3π2\dfrac{3\pi}2 — синусқа ауысады; IV ширек, косинус «+»: sin⁡α\sin\alpha.
  3. Бөлім
    tg⁡(π+α)=tg⁡α\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha (III ширек, тангенс «+»); cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha.
  4. Жинаймыз
    sin⁡α⋅sin⁡αtg⁡αcos⁡α=sin⁡2αsin⁡α=sin⁡α\dfrac{\sin\alpha\cdot\sin\alpha}{\tg\alpha\cos\alpha}=\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha.
Жауабы sin⁡α\sin\alpha

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • sin⁡2α≠2sin⁡α\sin2\alpha\ne2\sin\alpha: sin⁡60∘≠2sin⁡30∘\sin60^\circ\ne2\sin30^\circ.
  • Түбір алғаннан кейін таңбаны ширек бойынша таңдауды ұмытпаңыз.
  • tg⁡90∘\tg90^\circ және ctg⁡0∘\ctg0^\circ анықталмаған.
  • arccos⁡(−a)=π−arccos⁡a\arccos(-a)=\pi-\arccos a, ал arcsin⁡(−a)=−arcsin⁡a\arcsin(-a)=-\arcsin a — шатастырмаңыз.
  • Келтіру формуласындағы таңбаны алынған функция бойынша емес, бастапқы функция бойынша анықтайды.

Есте сақта

«Барлығы — синус — тангенс — косинус»: I, II, III, IV ширектерде қай функциялар оң.

Өзіңді тексер

1. cos⁡(−60∘)=\cos(-60^\circ)=
  1. −12-\frac12
  2. 12\frac12
  3. 32\frac{\sqrt3}{2}
  4. −32-\frac{\sqrt3}{2}
Жауабын көрсету

12\frac12 Косинус — жұп функция.

2. tg⁡135∘=\tg135^\circ=
  1. 1
  2. −1-1
  3. 3\sqrt3
  4. 0
Жауабын көрсету

−1-1 tg⁡(180∘−45∘)=−tg⁡45∘\tg(180^\circ-45^\circ)=-\tg45^\circ.

3. 2sin⁡15∘cos⁡15∘=2\sin15^\circ\cos15^\circ=
  1. 12\frac12
  2. 32\frac{\sqrt3}2
  3. 1
  4. 22\frac{\sqrt2}2
Жауабын көрсету

12\frac12 sin⁡30∘\sin30^\circ.

4. sin⁡750∘=\sin750^\circ=
  1. 32\dfrac{\sqrt3}2
  2. 12\dfrac12
  3. −12-\dfrac12
  4. 1
Жауабын көрсету

12\dfrac12 750∘=720∘+30∘750^\circ=720^\circ+30^\circ.

5. y=sin⁡4xy=\sin4x функциясының периоды:
  1. 4π4\pi
  2. 2π2\pi
  3. π2\dfrac\pi2
  4. π\pi
Жауабын көрсету

π2\dfrac\pi2 2π4\dfrac{2\pi}{4}.

Байланысты тақырыптар

6. Тригонометриялық және иррационал теңдеулер9. Тригонометриялық, иррационал, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер жүйелері15. Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика