Тақырып 12

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар

Спецификация бойынша не тексеріледі:

n-ші мүше формуласыСипаттамалық қасиетіАлғашқы n мүшенің қосындысыШексіз кемімелі геометриялық прогрессия

Бір минутта мәні

Арифметикалық прогрессия — әр мүшесі алдыңғы мүшеге бірдей dd санын қосқанға тең. Геометриялық прогрессия — әр мүшесі алдыңғы мүшені бірдей q≠0q\ne0 санына көбейткенге тең. ҰБТ-да nn-ші мүше, қосынды және сипаттамалық қасиет формулалары қажет.

Қарапайым тілмен

Прогрессия — қарапайым ереже бойынша құрылған тізбек. Арифметикалықта әр жолы бірдей санды қосады, геометриялықта — бірдей санға көбейтеді.

Арифметикалық — «баспалдақтары тең саты»

2, 5, 8, 11… — әр баспалдақ +3+3, бұл айырма dd. nn-ші мүшеге дейін n−1n-1 қадам жасау керек: an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d.

Қосынды — «Гаусс тәсілі»

1+2+…+1001+2+\ldots+100: біріншіні соңғымен қосамыз (101), екіншіні соңғының алдындағымен (101)… Мұндай жұп 50, қосынды 50⋅101=505050\cdot101=5050. Осыдан Sn=(a1+an)n2S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.

Геометриялық — «әр жолы qq есе»

3, 6, 12, 24… — еселік q=2q=2. Банктегі салым мен бактериялар саны осылай өседі: bn=b1qn−1b_n=b_1q^{n-1}.

Шексіз қосынды ақырлы болуы мүмкін

1+12+14+…1+\dfrac12+\dfrac14+\ldots — әр қадамда 2-ге дейін қалғанның жартысын қосамыз да, 2-ден ешқашан аспаймыз. Формуласы: ∣q∣<1|q|<1 болғанда S=b11−qS=\dfrac{b_1}{1-q}.

Басты формулалар

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d
Арифметикалық прогрессияның nn-ші мүшесі
Sn=(a1+an)n2=2a1+(n−1)d2 nS_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n
Арифметикалық прогрессияның қосындысы
an=an−1+an+12a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
Арифметикалық прогрессияның сипаттамалық қасиеті
bn=b1qn−1b_n=b_1q^{n-1}
Геометриялық прогрессияның nn-ші мүшесі
Sn=b1(qn−1)q−1, q≠1S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1},\ q\ne1
Геометриялық прогрессияның қосындысы
S=b11−q, ∣q∣<1S=\dfrac{b_1}{1-q},\ |q|<1
Шексіз кемімелі геометриялық прогрессия
bn2=bn−1bn+1b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}
Геометриялық прогрессияның сипаттамалық қасиеті

Ұғымдар мен терминдер

dd айырымы
d=an+1−and=a_{n+1}-a_n
qq еселігі
q=bn+1bnq=\frac{b_{n+1}}{b_n}, q≠0q\ne0
Орта геометриялық
ab\sqrt{ab} — геометриялық прогрессияда aa мен bb арасындағы сан

Тақырыпты талдау

Белгісізді қалай табамыз

Арифметикалық прогрессияның екі мүшесі: a5=17a_5=17, a10=37a_{10}=37 → 5d=205d=20, d=4d=4, a1=17−4⋅4=1a_1=17-4\cdot4=1.

Геометриялық прогрессияның екі мүшесі: qq табу үшін бірін екіншісіне бөлеміз.

Сипаттамалық қасиет 9 сынып

Арифметикалық прогрессияда әр мүше (біріншісінен басқа) көршілерінің арифметикалық ортасы: an=an−1+an+12a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2; геометриялықта — геометриялық ортасы: bn2=bn−1bn+1b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}.

Үш санның прогрессия құрайтынын осылай тексереді.

Күрделі пайыздар 9 сынып

Капиталдандырумен жылдық p%p\%-бен салынған AA салымы nn жылдан кейін: A(1+p100)nA\left(1+\dfrac p{100}\right)^n — бұл еселігі 1+p1001+\dfrac p{100} геометриялық прогрессия.

Математикалық индукция әдісі 9 сынып

Тұжырымды барлық натурал nn үшін дәлелдеу: 1) n=1n=1 үшін тексереміз; 2) n=kn=k үшін дұрыс деп ұйғарамыз; 3) n=k+1n=k+1 үшін дәлелдейміз. «Домино эффектісі» сияқты: бірінші сүйек құлайды да, әрқайсысы келесісін құлатады.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1a1=3a_1=3, d=4d=4. a10a_{10} және S10S_{10} табыңыз.
  1. a10=3+9⋅4=39a_{10}=3+9\cdot4=39.
  2. S10=(3+39)⋅102=210S_{10}=\dfrac{(3+39)\cdot10}{2}=210.
Жауабы a10=39, S10=210a_{10}=39,\ S_{10}=210
Есеп 2b1=2b_1=2, q=3q=3. b5b_5 және S5S_5 табыңыз.
  1. b5=2⋅34=162b_5=2\cdot3^4=162.
  2. S5=2(35−1)3−1=242S_5=\dfrac{2(3^5-1)}{3-1}=242.
Жауабы b5=162, S5=242b_5=162,\ S_5=242
Есеп 312+6+3+…12+6+3+\dots қосындысын табыңыз.
  1. b1=12b_1=12, q=12q=\dfrac12, ∣q∣<1|q|<1.
  2. S=121−12=24S=\dfrac{12}{1-\frac12}=24.
Жауабы 24
Есеп 4100 000 теңге жылдық 10 %-бен салынды. 3 жылдан кейін қанша болады?
  1. 100000⋅1,13=100000⋅1,331100000\cdot1{,}1^3=100000\cdot1{,}331.
Жауабы 133 100 теңге
Есеп 50,(36)0,(36)-ны геометриялық прогрессия қосындысы арқылы жай бөлшек түрінде жазыңыз.
  1. 0,(36)=0,36+0,0036+…0,(36)=0{,}36+0{,}0036+\ldots, b1=0,36b_1=0{,}36, q=0,01q=0{,}01.
  2. S=0,360,99=3699=411S=\dfrac{0{,}36}{0{,}99}=\dfrac{36}{99}=\dfrac4{11}.
Жауабы 411\dfrac4{11}

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Арифметикалық прогрессияда a3+a7=20a_3+a_7=20, a4⋅a6=96a_4\cdot a_6=96. a1a_1 мен dd-ны табыңыз (d>0d>0).

Идея: Симметриялы мүшелердің қосындысы ортаңғысының екі еселенгеніне тең: a3+a7=2a5a_3+a_7=2a_5.

  1. a5a_5-ті табамыз
    2a5=20⇒a5=102a_5=20\Rightarrow a_5=10.
  2. a4a_4, a6a_6-ны өрнектейміз
    a4=10−da_4=10-d, a6=10+da_6=10+d; (10−d)(10+d)=96⇒100−d2=96⇒d2=4(10-d)(10+d)=96\Rightarrow100-d^2=96\Rightarrow d^2=4.
  3. d>0d>0 аламыз
    d=2d=2; a1=a5−4d=10−8=2a_1=a_5-4d=10-8=2.
Жауабы a1=2, d=2a_1=2,\ d=2
Есеп 2Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы 9, ал мүшелерінің квадраттарының қосындысы 40,5. b1b_1 мен qq-ды табыңыз.

Идея: Мүшелердің квадраттары да b12b_1^2 және q2q^2 бар геометриялық прогрессия құрайды.

  1. Екі формула
    b11−q=9\dfrac{b_1}{1-q}=9, b121−q2=40,5\dfrac{b_1^2}{1-q^2}=40{,}5.
  2. Екіншісін біріншісіне бөлеміз
    b12(1−q)(1+q)⋅1−qb1=b11+q=4,5\dfrac{b_1^2}{(1-q)(1+q)}\cdot\dfrac{1-q}{b_1}=\dfrac{b_1}{1+q}=4{,}5.
  3. Екі қарапайым теңдеу
    b1=9(1−q)=4,5(1+q)⇒9−9q=4,5+4,5q⇒q=13b_1=9(1-q)=4{,}5(1+q)\Rightarrow9-9q=4{,}5+4{,}5q\Rightarrow q=\dfrac13.
  4. b1b_1-ді табамыз
    b1=9⋅23=6b_1=9\cdot\dfrac23=6.
Жауабы b1=6, q=13b_1=6,\ q=\dfrac13
Есеп 35, 9, 13, … арифметикалық прогрессиясының 230 шығу үшін алғашқы неше мүшесін қосу керек?

Идея: a1a_1 мен dd арқылы қосынды nn-ге қатысты квадрат теңдеу береді.

  1. Қосынды формуласы
    Sn=2a1+(n−1)d2⋅n=10+4(n−1)2n=(2n+3)nS_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}2\cdot n=\dfrac{10+4(n-1)}2n=(2n+3)n.
  2. Теңдеу
    2n2+3n−230=02n^2+3n-230=0, D=9+1840=1849=432D=9+1840=1849=43^2.
  3. Натурал түбір
    n=−3+434=10n=\dfrac{-3+43}{4}=10.
Жауабы 10

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • nn-ші мүшеде nn емес, (n−1)(n-1) тұр.
  • Шексіз прогрессия қосындысының формуласы — тек ∣q∣<1|q|<1 болғанда.
  • Геометриялық прогрессияда 4 пен 36 арасында 12 де, −12-12 де тұруы мүмкін.

Есте сақта

Арифметикалық — «dd қосу», геометриялық — «qq-ға көбейту».

Өзіңді тексер

1. a1=5a_1=5, d=−2d=-2, a6=a_6=
  1. −5-5
  2. −7-7
  3. 15
  4. −3-3
Жауабын көрсету

−5-5 5+5⋅(−2)5+5\cdot(-2).

2. b1=1b_1=1, q=2q=2, S5=S_5=
  1. 16
  2. 31
  3. 32
  4. 15
Жауабын көрсету

31 25−12^5-1.

3. 1+13+19+…1+\frac13+\frac19+\dots қосындысы
  1. 32\frac32
  2. 43\frac43
  3. 2
  4. 3
Жауабын көрсету

32\frac32 11−1/3\frac{1}{1-1/3}.

4. 4, xx, 9 сандары геометриялық прогрессия құрайды (x>0x>0). x=x=
  1. 6
  2. 6,5
  3. 5
  4. 36
Жауабын көрсету

6 x2=36x^2=36.

Байланысты тақырыптар

2. Дәрежелерге амалдар13. Анализ бастамалары. Модельдеу есептері5. Сызықтық, квадрат және бөлшек-рационал теңдеулер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика