Сызықтық, квадрат және бөлшек-рационал теңдеулер

Тақырыпты талдау

Толымсыз квадрат теңдеулер

$ax^2+bx=0\Rightarrow x(ax+b)=0$: $x=0$ немесе $x=-\frac ba$.

$ax^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac ca$: түбірлер тек $-\frac ca\ge0$ болғанда бар.

Бөлшек-рационал теңдеулер

1) ММО табыңыз: бөлімдер $\ne0$. 2) Ортақ бөлімге көбейтіңіз. 3) Бүтін теңдеуді шешіңіз. 4) ММО-ға кірмейтін түбірлерді алып тастаңыз.

Модулі бар теңдеулер 8 сынып

$|f(x)|=a$: $a<0$ болса, шешімі жоқ; $a\ge0$ болса: $f(x)=a$ немесе $f(x)=-a$.

$|f(x)|=g(x)$: $f=g$ және $f=-g$ теңдеулерін шешіп, $g(x)\ge0$ болатын түбірлерді қалдырамыз.

$ax^2+b|x|+c=0$ түріндегі теңдеулерді $t=|x|\ge0$ алмастыруымен шешеді ($x^2=|x|^2$).

Биквадрат теңдеулер және алмастыру 8 сынып

$ax^4+bx^2+c=0$: $t=x^2\ge0$ алмастыруы квадрат теңдеу береді. Теріс $t$-ларды тастаймыз, оң $t$-дан $x=\pm\sqrt t$.

Алмастыру $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=0$ үшін де жұмыс істейді: $t=x^2+x$.

Параметрі бар теңдеулер 8–9 сынып

Квадрат теңдеудің $D>0$ болғанда екі, $D=0$ болғанда бір түбірі бар, $D<0$ болғанда түбірі жоқ. Бас коэффициентте параметр болса, оның 0-ге тең жағдайын бөлек қарастырыңыз (теңдеу сызықтыққа айналады).

Комплекс сандар 11 сынып

$i$ — $i^2=-1$ болатын сан. Комплекс сан $z=a+bi$; модулі $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$; түйіндесі $\bar z=a-bi$.

$D<0$ болғанда квадрат теңдеудің комплекс түбірлері болады: $x^2+4=0\Rightarrow x=\pm2i$; $x^2-2x+5=0\Rightarrow x=1\pm2i$.

$i$ дәрежелері 4 сайын қайталанады: $i,\ -1,\ -i,\ 1$.

Теңдеу құруға арналған мәтінді есептер 6–8 сынып

Алгоритм: 1) белгісізді $x$ деп белгілеңіз (сұралып отырғанын алған жөн); 2) басқа шамаларды $x$ арқылы өрнектеңіз; 3) «теңдік» шартынан теңдеу құрыңыз; 4) шешіп, мағынасын тексеріңіз (уақыт пен ұзындық теріс емес).