Тақырып 19

Функциялар және олардың графиктері

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Функцияның берілу тәсілдері, графикті оқуСызықтық функция және тура пропорционалдықКвадраттық функция, парабола төбесіДәрежелік функциялар, гиперболаГрафиктерді түрлендіруКері және күрделі функцияФункцияны зерттеу

Бір минутта мәні

Функция — әр

x

-ке дәл бір

y

сәйкес қоятын ереже. Оны формуламен, кестемен немесе графикпен беруге болады. Графикті «оқи білу» — анықталу облысын, мәндерін, нөлдерін, таңба тұрақтылық және монотондық аралықтарын табу — теңдеулерден бастап туындыға дейінгі әр есепте дерлік қажет.

Қарапайым тілмен

Функцияны «машинка» ретінде елестеткен ыңғайлы: кірісіне $x$ санын береміз, шығысында бір $y$ санын аламыз. Мысалы, $f(x)=2x+1$ : 3 бердік — 7 алдық.

Анықталу облысы — кіріске не беруге болады

Нөлге бөлуге, теріс саннан жұп дәрежелі түбір алуға және оң емес санның логарифмін алуға болмайды. Қалғанының бәріне болады. $f(x)=\dfrac1{x-2}$ үшін: 2-ден басқа барлық сан.

Графиктерді қалай жылжыту керек

$f(x)+3$ — график 3-ке жоғары көтеріледі. $f(x-3)$ — оңға 3-ке жылжиды (таңба «керісінше»!). $-f(x)$ — $Ox$ -ке қатысты шағылу, $f(-x)$ — $Oy$ -ке қатысты. $2f(x)$ — жоғары-төмен 2 есе созу.

Сызықтық функция $y=kx+b$

$b$ — түзу $Oy$ осін қиятын жер; $k$ — «тіктік»: $x$ 1-ге артқанда $y$ қаншаға көтеріледі. $k>0$ — түзу жоғары, $k<0$ — төмен; $k$ -лары бірдей — параллель түзулер.

Парабола $y=ax^2+bx+c$

$a>0$ — «күлкі» (тармақтары жоғары), $a<0$ — «мұң». Төбесі $x_0=-\dfrac b{2a}$ -да; $c$ — $Oy$ -пен қиылысу нүктесі.

Басты формулалар

y=kx+b

Сызықтық функция:

k

— бұрыштық коэффициент,

k=\tg\alpha

y=ax^2+bx+c,\quad x_0=-\dfrac{b}{2a},\ y_0=f(x_0)

Квадраттық функция және парабола төбесі

y=\dfrac kx

Кері пропорционалдық (гипербола)

y=\dfrac{ax+b}{cx+d}

Бөлшек-сызықтық функция: асимптоталары

x=-\dfrac dc

y=\dfrac ac

y=f(x-m)+n

Графикті

m

-ге оңға және

n

-ге жоғары жылжыту

f(-x)=f(x)

— жұп,

f(-x)=-f(x)

— тақ

Функцияның жұптылығы

Ұғымдар мен терминдер

Анықталу облысы $D(f)$: Формула мағынасы бар $x$ -тің барлық мәндері
Мәндер жиыны $E(f)$: $y$ қабылдайтын барлық мәндер
Функция нөлдері: $f(x)=0$ болатын $x$ мәндері — $Ox$ осімен қиылысу нүктелері
Монотондылық: Үлкен $x$ -ке үлкен $y$ сәйкес келсе, функция өседі
Кері функция: $f$ -тің әсерін «жояды»: $f(a)=b$ болса, $f^{-1}(b)=a$ ; графигі $y=x$ -ке қатысты симметриялы
Күрделі функция: Функциядан функция: $f(g(x))$ , мысалы $\sin(x^2)$
Периодты функция: Барлық $x$ үшін $f(x+T)=f(x)$ ; $T$ — период

Тақырыпты талдау

Берілу тәсілдері және графикті оқу 7, 10 сынып

Функцияны формуламен, кестемен, графикпен немесе сөзбен береді. График бойынша табады: $D(f)$ және $E(f)$ (осьтерге проекциялар), нөлдер, $f>0$ және $f<0$ аралықтары, өсу мен кему аралықтары, ең үлкен және ең кіші мәндер.

Тік түзу функция графигін бір реттен артық қимайды — функция графигін кез келген қисықтан осылай ажыратады.

Сызықтық функция және тура пропорционалдық 6–7 сынып

$y=kx$ — координаталар басы арқылы өтетін түзу. $y=kx+b$ : $k_1=k_2$ , $b_1\ne b_2$ болғанда түзулер параллель; $k_1k_2=-1$ болғанда — перпендикуляр.

Осьтермен қиылысу нүктелері: $Oy$ — $(0;b)$ , $Ox$ — $\left(-\dfrac bk;0\right)$ .

Квадраттық функция 8 сынып

Төбесі $(x_0;y_0)$ , симметрия осі $x=x_0$ . $a>0$ болғанда ең кіші мән $y_0$ , $a<0$ болғанда — ең үлкен.

Салу: төбе → $Oy$ -пен қиылысу нүктесі → нөлдер ( $D\ge0$ болса) → симметриялы нүктелер.

Қолданбалы есептер: жоғары лақтырылған дене биіктігі $h(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}2$ — парабола; ең үлкен биіктік — төбеде.

Дәрежелік және басқа функциялар 7–8 сынып

$y=x^3$ — кубтық парабола (тақ), $y=\sqrt x$ — жантайып жатқан параболаның тармағы, $y=|x|$ — «құсбелгі».

$y=\dfrac kx$ — екі тармақты гипербола: $k>0$ болғанда I және III ширектерде, $k<0$ болғанда — II және IV.

Графиктерді түрлендіру 10 сынып

$f(x)+n$ , $f(x-m)$ , $-f(x)$ , $f(-x)$ , $kf(x)$ , $f(kx)$ ( $Oy$ осіне қарай $k$ есе сығу).

$|f(x)|$ — графиктің $Ox$ -тен төменгі бөліктері жоғары шағылады; $f(|x|)$ — графиктің оң бөлігі солға шағылады.

Кері және күрделі функция 10 сынып

Кері функцияны табу: $x$ -ті $y$ арқылы өрнектеп, әріптерді ауыстырамыз. $y=2x+3\Rightarrow x=\dfrac{y-3}2\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}2$ . Кері функция монотонды функцияда болады.

Композиция: $f(x)=x^2$ , $g(x)=x+1$ : $f(g(x))=(x+1)^2$ , ал $g(f(x))=x^2+1$ — рет маңызды.

Функцияны жоспар бойынша зерттеу 10 сынып

1) $D(f)$ ; 2) жұптылық және периодтылық; 3) нөлдер мен таңбалар; 4) асимптоталар; 5) туынды: монотондылық және экстремумдар; 6) екінші туынды: дөңестік және иілу нүктелері; 7) график.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1

y=\sqrt{x+2}+\dfrac{1}{x-3}

функциясының анықталу облысын табыңыз.

$x+2\ge0\Rightarrow x\ge-2$ ; $x\ne3$ .

Жауабы

[-2;3)\cup(3;+\infty)

Есеп 2

y=2x^2-8x+5

параболасының төбесін және мәндер жиынын табыңыз.

$x_0=\dfrac82=2$ , $y_0=8-16+5=-3$ .
$a>0$ — тармақтары жоғары, $E=[-3;+\infty)$ .

Жауабы

(2;-3)

;

[-3;+\infty)

Есеп 3

y=kx+b

түзуі

(1;3)

және

(3;7)

нүктелері арқылы өтеді.

k

мен

b

-ны табыңыз.

$k=\dfrac{7-3}{3-1}=2$ .
$3=2+b\Rightarrow b=1$ .

Жауабы

y=2x+1

Есеп 4

y=\dfrac{x+1}{x-2}

функциясына кері функцияны табыңыз.

$y(x-2)=x+1\Rightarrow xy-x=2y+1\Rightarrow x=\dfrac{2y+1}{y-1}$ .
Әріптерді ауыстырамыз.

Жауабы

y=\dfrac{2x+1}{x-1}

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Доп жоғары лақтырылды, биіктігі

h(t)=1{,}5+14t-5t^2

(м) заңы бойынша өзгереді. Ең үлкен биіктікті және доптың жерге түсу уақытын табыңыз.

Идея: Ең үлкен биіктік — парабола төбесі; түсу — $h(t)=0$ түбірі.

Көтерілу уақыты (төбе)
$t_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{14}{10}=1{,}4$ с.
Ең үлкен биіктік
$h(1{,}4)=1{,}5+19{,}6-9{,}8=11{,}3$ м.
Түсу: $h=0$
$5t^2-14t-1{,}5=0$ , $D=196+30=226$ , $t=\dfrac{14+\sqrt{226}}{10}\approx\dfrac{14+15{,}03}{10}\approx2{,}9$ с.

Жауабы ≈ 11,3 м; ≈ 2,9 с

Есеп 2

y=|x^2-4x+3|

графигін сипаттап,

a

-ның қандай мәндерінде

|x^2-4x+3|=a

теңдеуінің дәл 3 түбірі болатынын табыңыз.

Идея: Модуль параболаның «шұңқырын» жоғары шағылдырады; түбірлер саны — $y=a$ көлденеңімен қиылысу саны.

Модульсіз парабола
$y=(x-1)(x-3)$ , нөлдері 1 және 3, төбесі $(2;-1)$ .
Модульді қолданамыз
1 мен 3 арасындағы бөлік (осьтен төмен) жоғары шағылады: төбесі $(2;1)$ «өркеш» шығады.
Қиылысуларды санаймыз
$0<a<1$ — 4 нүкте; $a=1$ — түзу «өркешті» төбесінде жанап, екі шеткі тармақты қияды: 3 нүкте; $a>1$ — 2 нүкте.

Жауабы

a=1

Есеп 3

y=\dfrac{2x+1}{x-1}

функциясының асимптоталарын және мәндер жиынын табыңыз.

Идея: Бүтін бөлігін бөліп аламыз: $\dfrac{2x+1}{x-1}=2+\dfrac3{x-1}$ — жылжытылған гипербола.

Бүтін бөлігін бөліп аламыз
$2x+1=2(x-1)+3\Rightarrow y=2+\dfrac{3}{x-1}$ .
Асимптоталар
Тік $x=1$ , көлденең $y=2$ .
Мәндер жиыны
$\dfrac3{x-1}$ 0-ден басқа барлық мәнді қабылдайды, демек $y\ne2$ .

Жауабы

x=1

y=2

;

E=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

$f(x-3)$ — солға емес, оңға жылжыту.
Кері функция тек (қарастырылатын аралықта) монотонды функцияда болады.
Жалпы жағдайда $f(g(x))\ne g(f(x))$ .

Есте сақта

Алдымен $D(f)$ , содан кейін қалғаны. Парабола төбесі $x_0=-\dfrac b{2a}$ . $y=f(x-m)+n$ — $m$ -ге оңға және $n$ -ге жоғары жылжыту.

Өзіңді тексер

y=\lg(5-x)

анықталу облысы:

$x<5$
$x\le5$
$x>5$
барлық сандар

Жауабын көрсету

$x<5$ $5-x>0$ .

y=(x+2)^2

графигі

y=x^2

-тан қалай жылжыту арқылы алынады:

оңға 2-ге
солға 2-ге
жоғары 2-ге
төмен 2-ге

Жауабын көрсету

солға 2-ге $m=-2$ болғандағы $f(x-m)$ .

y=3x+1

және

y=3x-5

түзулері:

қиылысады
параллель
перпендикуляр
беттеседі

Жауабын көрсету

параллель $k$ бірдей, $b$ әртүрлі.

4. Қай функция жұп?

$y=x^3$
$y=x^2+\cos x$
$y=x+1$
$y=\sin x$

Жауабын көрсету

$y=x^2+\cos x$ $f(-x)=f(x)$ .

y=x^2-6x

параболасының төбесі:

$(3;-9)$
$(-3;9)$
$(6;0)$
$(0;0)$

Жауабын көрсету

$(3;-9)$ $x_0=3$ , $y_0=9-18$ .

Байланысты тақырыптар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика

Бір минутта мәні

Қарапайым тілмен

Анықталу облысы — кіріске не беруге болады

Графиктерді қалай жылжыту керек

Сызықтық функция y=kx+by=kx+b

Парабола y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

Басты формулалар

Ұғымдар мен терминдер

Тақырыпты талдау

Берілу тәсілдері және графикті оқу 7, 10 сынып

Сызықтық функция және тура пропорционалдық 6–7 сынып

Квадраттық функция 8 сынып

Дәрежелік және басқа функциялар 7–8 сынып

Графиктерді түрлендіру 10 сынып

Кері және күрделі функция 10 сынып

Функцияны жоспар бойынша зерттеу 10 сынып

Шешімі бар есеп мысалдары

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

Есте сақта

Өзіңді тексер

Байланысты тақырыптар

Сызықтық функция $y=kx+b$

Парабола $y=ax^2+bx+c$