Тақырып 18

Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Вектор координаталарыВектор ұзындығы және қашықтықСкаляр көбейтінді және бұрышКоллинеарлық және перпендикулярлықКеңістіктегі симметрия

Бір минутта мәні

Кеңістіктегі вектор үш координатамен (x;y;z)(x;y;z) беріледі. Координаталар арқылы ұзындықты, қашықтықты, кесінді ортасын, скаляр көбейтіндіні және векторлар арасындағы бұрышты оңай табуға болады. Перпендикулярлық скаляр көбейтіндінің нөлге теңдігімен, коллинеарлық координаталардың пропорционалдығымен тексеріледі.

Қарапайым тілмен

Вектор — «бағыттама-орын ауыстыру»: ұзындығы мен бағыты маңызды, орны емес. Координаталарда вектор — «xx, yy, zz бойынша қаншаға жылжу керек» деген үш сан.

Вектор координаталары

A(1;2;3)A(1;2;3) нүктесінен B(4;6;3)B(4;6;3) нүктесіне: соңынан басын азайтамыз — AB→=(3;4;0)\overrightarrow{AB}=(3;4;0). Ұзындығы — 3D-дегі Пифагор: 9+16+0=5\sqrt{9+16+0}=5.

Скаляр көбейтінді — «векторлар қаншалықты бір жаққа қарайды»

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=|\vec a||\vec b|\cos\varphi. Нөл — перпендикуляр, оң — бұрыш сүйір, теріс — доғал.

Коллинеар — «параллель бағыттамалар»

Координаталары пропорционал: (2;4;6)(2;4;6) және (1;2;3)(1;2;3) коллинеар, өйткені біріншісі екіншісінің екі еселенгені.

Басты формулалар

AB→=(xB−xA; yB−yA; zB−zA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)
Вектордың координаталары
∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
Вектордың ұзындығы
M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)
Кесіндінің ортасы
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
Скаляр көбейтінді
cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}
Векторлар арасындағы бұрыш
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
Сфера теңдеуі

Ұғымдар мен терминдер

Коллинеар векторлар
x1x2=y1y2=z1z2\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}
Перпендикуляр векторлар
a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0
OxyOxy жазықтығына қатысты симметрия
(x;y;z)→(x;y;−z)(x;y;z)\to(x;y;-z)
Координаталар басына қатысты симметрия
(x;y;z)→(−x;−y;−z)(x;y;z)\to(-x;-y;-z)

Тақырыпты талдау

Түрлендірулер

OxOx осіне қатысты yy пен zz таңбасын өзгертеді; OxzOxz жазықтығына қатысты тек yy таңбасы өзгереді.

p⃗\vec p векторына параллель көшіру: нүкте координаталарына p⃗\vec p координаталары қосылады.

Сфера мен жазықтық теңдеуі 10–11 сынып

Сфера: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. Жазықтық: Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0, (A;B;C)(A;B;C) векторы жазықтыққа перпендикуляр.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық: d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1A(1;2;3)A(1;2;3), B(3;−2;7)B(3;-2;7). AB→\overrightarrow{AB}, ∣AB∣|AB| және ABAB ортасын табыңыз.
  1. AB→=(2;−4;4)\overrightarrow{AB}=(2;-4;4).
  2. ∣AB∣=4+16+16=6|AB|=\sqrt{4+16+16}=6.
  3. M(2;0;5)M(2;0;5).
Жауабы (2;−4;4); 6; M(2;0;5)(2;-4;4);\ 6;\ M(2;0;5)
Есеп 2a⃗(1;1;0)\vec a(1;1;0) және b⃗(0;1;1)\vec b(0;1;1) арасындағы бұрышты табыңыз.
  1. a⃗⋅b⃗=1\vec a\cdot\vec b=1, ∣a⃗∣=∣b⃗∣=2|\vec a|=|\vec b|=\sqrt2.
  2. cos⁡φ=12\cos\varphi=\dfrac12.
Жауабы 60∘60^\circ
Есеп 3mm-нің қандай мәнінде (2;m;4)(2;m;4) және (1;3;2)(1;3;2) векторлары коллинеар?
  1. 21=m3=42\dfrac21=\dfrac m3=\dfrac42.
Жауабы m=6m=6

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1a⃗=(1;2;2)\vec a=(1;2;2) және b⃗=(2;−1;2)\vec b=(2;-1;2) векторларының арасындағы бұрышты, сондай-ақ mm-нің қандай мәнінде c⃗=(m;1;−1)\vec c=(m;1;-1) векторы a⃗\vec a-ға перпендикуляр екенін табыңыз.

Идея: cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}; перпендикулярлық — скаляр көбейтінді 0.

  1. Скаляр көбейтінді
    1⋅2+2⋅(−1)+2⋅2=41\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot2=4.
  2. Ұзындықтар
    ∣a⃗∣=1+4+4=3|\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3, ∣b⃗∣=4+1+4=3|\vec b|=\sqrt{4+1+4}=3.
  3. Бұрыш
    cos⁡φ=49\cos\varphi=\dfrac49, φ=arccos⁡49\varphi=\arccos\dfrac49.
  4. Перпендикулярлық
    a⃗⋅c⃗=m+2−2=m=0\vec a\cdot\vec c=m+2-2=m=0.
Жауабы arccos⁡49\arccos\dfrac49; m=0m=0
Есеп 2M(1;2;3)M(1;2;3) нүктесінен 2x−y+2z−1=02x-y+2z-1=0 жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Идея: Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық формуласы.

  1. Нүктені қоямыз
    ∣2⋅1−2+2⋅3−1∣=∣5∣=5|2\cdot1-2+2\cdot3-1|=|5|=5.
  2. Нормаль ұзындығы
    4+1+4=3\sqrt{4+1+4}=3.
  3. Бөлеміз
    d=53d=\dfrac53.
Жауабы 53\dfrac53

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Вектор координаталары — «соңы минус басы».
  • Скаляр көбейтінді — вектор емес, сан.
  • Оське қатысты симметрия екі координатаны, жазықтыққа қатысты — біреуін өзгертеді.

Есте сақта

Перпендикуляр — a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0; коллинеар — координаталар пропорционал.

Өзіңді тексер

1. a⃗(2;−1;2)\vec a(2;-1;2) болса, ∣a⃗∣|\vec a|:
  1. 3
  2. 9
  3. 5
  4. 5\sqrt5
Жауабын көрсету

3 4+1+4\sqrt{4+1+4}.

2. OxyOxy жазықтығына қатысты (2;−3;5)(2;-3;5) нүктесіне симметриялы нүкте:
  1. (2;−3;−5)(2;-3;-5)
  2. (−2;3;5)(-2;3;5)
  3. (−2;3;−5)(-2;3;-5)
  4. (2;3;5)(2;3;5)
Жауабын көрсету

(2;−3;−5)(2;-3;-5) zz таңбасы өзгереді.

3. a⃗(1;2;3)⋅b⃗(3;0;−1)=\vec a(1;2;3)\cdot\vec b(3;0;-1)=
  1. 0
  2. 6
  3. 2
  4. −3-3
Жауабын көрсету

0 3+0−33+0-3.

4. (1;2;3)(1;2;3) және (3;0;−1)(3;0;-1) векторлары:
  1. коллинеар
  2. перпендикуляр
  3. тең
  4. бағыттас
Жауабын көрсету

перпендикуляр 3+0−3=03+0-3=0.

Байланысты тақырыптар

15. Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер16. Кеңістіктегі геометриялық фигуралар17. Кеңістіктегі метрикалық қатыстар

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика