Тақырып 15

Метрикалық қатыстар. Векторлар және түрлендірулер

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Пифагор теоремасыСинустар және косинустар теоремаларыФигуралар аудандарыҰқсастықЖазықтықтағы векторларҚозғалыстар және гомотетия

Бір минутта мәні

Метрикалық қатыстар қабырғаларды, бұрыштарды және аудандарды есептеуге мүмкіндік береді: Пифагор теоремасы, синустар және косинустар теоремалары, аудан формулалары. Векторлар бағыт пен ұзындықты береді, оларды скаляр көбейтінді арқылы салыстырады. Жазықтықты түрлендірулер — симметрия, бұру, параллель көшіру және гомотетия.

Қарапайым тілмен

Метрикалық қатыстар — ұзындықтарды, бұрыштар мен аудандарды табу тәсілдері. Формуланы не белгілі екеніне қарай таңдаймыз: тік бұрыш — Пифагор, екі қабырға және бұрыш — косинустар теоремасы, қабырға және қарсы бұрыш — синустар теоремасы.

Пифагор — «катеттердің квадраттары қосылады»

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2. «Мысыр үшбұрышы» 3-4-5 және оның еселіктері (6-8-10, 9-12-15), сондай-ақ 5-12-13 және 8-15-17 есептерде үнемі кездеседі.

Косинустар теоремасы — «түзетілген Пифагор»

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C. C=90∘C=90^\circ болса, cos⁡C=0\cos C=0 — Пифагор шығады. Доғал бұрыш қабырғаны ұзартады, сүйір бұрыш — қысқартады.

Ұқсастық — «масштабтағы көшірме»

Ұқсас фигуралар — үлкейтілген немесе кішірейтілген көшірме. Қабырғалары kk есе үлкен болса, ауданы k2k^2 есе үлкен (10×15 және 20×30 фотосуреттер сияқты).

Координаталар геометрияны алгебраға айналдырады

Нүктелер арасындағы қашықтық — Пифагор: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Кесінді ортасы — координаталардың арифметикалық ортасы.

Басты формулалар

c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
Пифагор теоремасы
a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A
Косинустар теоремасы
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R
Синустар теоремасы
S=12ah=12absin⁡C=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\dfrac12ah=\dfrac12ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Үшбұрыштың ауданы
S=pr=abc4RS=pr=\dfrac{abc}{4R}
Іштей және сырттай сызылған шеңбер радиустары арқылы
S1S2=k2\dfrac{S_1}{S_2}=k^2
Ұқсас фигуралардың аудандары
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2=|\vec a||\vec b|\cos\varphi
Скаляр көбейтінді

Ұғымдар мен терминдер

Ұқсастық
Бұрыштары тең, қабырғалары kk коэффициентімен пропорционал
Коллинеар векторлар
Параллель түзулерде жатады: координаталары пропорционал
Гомотетия
Центрден kk есе созу

Тақырыпты талдау

Қай теореманы таңдау керек

Екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш белгілі болса — косинустар теоремасы. Қабырға және оған қарсы жатқан бұрыш белгілі болса — синустар теоремасы.

Үш қабырғасы белгілі болса — аудан үшін Герон формуласы, бұрыштар үшін косинустар теоремасы.

Векторлар

∣a⃗∣=x2+y2|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}. a⃗⋅b⃗=0\vec a\cdot\vec b=0 болса, векторлар перпендикуляр.

Қосқанда — үшбұрыш немесе параллелограмм ережесі, санға көбейткенде ұзындық ∣k∣|k| есе өзгереді.

Жазықтықтағы координаталар әдісі 8 сынып

Орта: (x1+x22;y1+y22)\left(\dfrac{x_1+x_2}2;\dfrac{y_1+y_2}2\right). Кесіндіні λ=m:n\lambda=m:n қатынасында бөлетін нүкте: x=x1+λx21+λx=\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}.

Шеңбер теңдеуі: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Түзу теңдеуі: ax+by+c=0ax+by+c=0 немесе y=kx+by=kx+b; екі нүкте арқылы өтетін түзу: x−x1x2−x1=y−y1y2−y1\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}.

Тікбұрышты үшбұрыштағы қатыстар 8 сынып

Гипотенузаға түсірілген биіктік: h2=acbch^2=a_cb_c (катеттердің проекциялары); катет a2=c⋅aca^2=c\cdot a_c.

Гипотенузаға жүргізілген медиана гипотенузаның жартысына тең; сырттай сызылған шеңбердің центрі — гипотенузаның ортасы.

Радиустар мен аудандар 9 сынып

S=12absin⁡CS=\dfrac12ab\sin C; Герон формуласы S=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}; S=prS=pr; S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}; синустар теоремасы бойынша asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2R.

Қабырғасы aa дұрыс үшбұрыш: S=a234S=\dfrac{a^2\sqrt3}4, R=a3R=\dfrac{a}{\sqrt3}, r=a23r=\dfrac{a}{2\sqrt3}. Дұрыс алтыбұрыш: қабырғасы RR-ге тең.

Ұқсастық және биссектриса 9 сынып

Ұқсастық белгілері: екі бұрышы бойынша; екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша; үш қабырғасы бойынша.

Биссектриса қасиеті: ол қарсы қабырғаны іргелес қабырғалардың қатынасындай бөледі: ALLC=ABBC\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}.

Ұқсас фигуралардың аудандары ұқсастық коэффициентінің квадратындай қатынаста болады.

Векторлар және қозғалыстар 9 сынып

Вектор екі коллинеар емес вектор бойынша жіктеледі: c⃗=xa⃗+yb⃗\vec c=x\vec a+y\vec b. Коллинеарлық: координаталары пропорционал.

Қозғалыстар (симметриялар, бұру, параллель көшіру) қашықтықтарды сақтайды; kk коэффициентті гомотетия ұзындықтарды ∣k∣|k| есе өзгертеді.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Үшбұрышта b=5b=5, c=8c=8, ∠A=60∘\angle A=60^\circ. aa табыңыз.
  1. a2=25+64−2⋅5⋅8⋅12=49a^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=49.
Жауабы 7
Есеп 2Қабырғалары 13, 14, 15 үшбұрыштың ауданын табыңыз.
  1. p=21p=21.
  2. S=21⋅8⋅7⋅6=7056=84S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84.
Жауабы 84
Есеп 3a⃗(3;4)\vec a(3;4) және b⃗(4;−3)\vec b(4;-3) векторлары. ∣a⃗∣|\vec a| мен векторлар арасындағы бұрышты табыңыз.
  1. ∣a⃗∣=9+16=5|\vec a|=\sqrt{9+16}=5.
  2. a⃗⋅b⃗=12−12=0\vec a\cdot\vec b=12-12=0 — векторлар перпендикуляр.
Жауабы 5; 90∘5;\ 90^\circ
Есеп 4Ұқсастық коэффициенті 23\frac23 болатын ұқсас үшбұрыштар. Кішісінің ауданы 8. Үлкенінің ауданын табыңыз.
  1. S1S2=49⇒S2=8⋅94=18\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac49\Rightarrow S_2=8\cdot\dfrac94=18.
Жауабы 18
Есеп 5x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6x+4y-12=0 шеңберінің центрі мен радиусын табыңыз.
  1. Квадраттарды бөліп аламыз: (x−3)2−9+(y+2)2−4−12=0(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-12=0.
  2. (x−3)2+(y+2)2=25(x-3)^2+(y+2)^2=25.
Жауабы Центр (3;−2)(3;-2), r=5r=5
Есеп 6Үшбұрыш қабырғалары 13, 14, 15. Ауданын, RR және rr-ды табыңыз.
  1. p=21p=21; S=21⋅8⋅7⋅6=84S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
  2. r=Sp=4r=\dfrac Sp=4; R=abc4S=2730336=8,125R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{2730}{336}=8{,}125.
Жауабы S=84S=84, r=4r=4, R=8,125R=8{,}125

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Үшбұрышта AB=6AB=6, BC=10BC=10, ∠B=120∘\angle B=120^\circ. ACAC-ны, ауданды және сырттай сызылған шеңбер радиусын табыңыз.

Идея: Екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш — косинустар теоремасы.

  1. Косинустар теоремасы
    AC2=36+100−2⋅6⋅10⋅cos⁡120∘=136+60=196AC^2=36+100-2\cdot6\cdot10\cdot\cos120^\circ=136+60=196, AC=14AC=14.
  2. Аудан
    S=12⋅6⋅10⋅sin⁡120∘=30⋅32=153S=\dfrac12\cdot6\cdot10\cdot\sin120^\circ=30\cdot\dfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3.
  3. Синустар теоремасы бойынша радиус
    2R=ACsin⁡B=143/2=2832R=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{14}{\sqrt3/2}=\dfrac{28}{\sqrt3}, R=143=1433R=\dfrac{14}{\sqrt3}=\dfrac{14\sqrt3}3.
Жауабы AC=14AC=14, S=153S=15\sqrt3, R=1433R=\dfrac{14\sqrt3}3
Есеп 2Тікбұрышты үшбұрышта биіктік гипотенузаны 4 және 9 кесінділерге бөледі. Биіктікті, катеттерді және ауданды табыңыз.

Идея: h2h^2 = проекциялардың көбейтіндісі; катет² = гипотенуза × өз проекциясы.

  1. Биіктік
    h=4⋅9=6h=\sqrt{4\cdot9}=6.
  2. Гипотенуза мен катеттер
    c=13c=13; a=13⋅4=213a=\sqrt{13\cdot4}=2\sqrt{13}, b=13⋅9=313b=\sqrt{13\cdot9}=3\sqrt{13}.
  3. Аудан
    S=12⋅13⋅6=39S=\dfrac12\cdot13\cdot6=39.
Жауабы h=6h=6, 2132\sqrt{13} және 3133\sqrt{13}, S=39S=39
Есеп 3ABCABC үшбұрышы: A(1;1)A(1;1), B(4;5)B(4;5), C(7;1)C(7;1). Оның тең бүйірлі екенін дәлелдеп, ауданын табыңыз.

Идея: Қабырғалар ұзындығы — қашықтық формуласымен; биіктік — төбеден табанға.

  1. Қабырғалар
    AB=9+16=5AB=\sqrt{9+16}=5; BC=9+16=5BC=\sqrt{9+16}=5; AC=6AC=6. AB=BCAB=BC — тең бүйірлі.
  2. Биіктік
    ACAC ортасы: M(4;1)M(4;1); BM=4BM=4.
  3. Аудан
    S=12⋅6⋅4=12S=\dfrac12\cdot6\cdot4=12.
Жауабы S=12S=12
Есеп 4Үшбұрыш ауданы 48. Екі қабырғасының орталары арқылы орта сызық жүргізілді. Қиылған үшбұрыштың және трапецияның аудандарын табыңыз.

Идея: Қиылған үшбұрыш бастапқыға k=12k=\dfrac12 коэффициентпен ұқсас.

  1. Коэффициент
    Орта сызық қабырғадан екі есе қысқа: k=12k=\dfrac12.
  2. Аудандар қатынасы
    k2=14k^2=\dfrac14: S1=12S_1=12.
  3. Трапеция
    48−12=3648-12=36.
Жауабы 12 және 36

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Ұқсас фигуралар аудандарының қатынасы — kk емес, k2k^2.
  • Косинустар теоремасында 2bccos⁡A2bc\cos A алдында «минус» таңбасы.
  • Синустар теоремасы RR емес, 2R2R береді.

Есте сақта

Екі қабырға және бұрыш — косинустар; қабырға және қарсы бұрыш — синустар.

Өзіңді тексер

1. Катеттері 6 және 8. Гипотенузасы:
  1. 10
  2. 14
  3. 12
  4. 28\sqrt{28}
Жауабын көрсету

10 36+64\sqrt{36+64}.

2. S=12⋅4⋅5⋅sin⁡30∘=S=\frac12\cdot4\cdot5\cdot\sin30^\circ=
  1. 10
  2. 5
  3. 20
  4. 2,5
Жауабын көрсету

5 10⋅1210\cdot\frac12.

3. a⃗(1;2)\vec a(1;2), b⃗(4;−2)\vec b(4;-2): a⃗⋅b⃗=\vec a\cdot\vec b=
  1. 0
  2. 8
  3. 6
  4. −4-4
Жауабын көрсету

0 4−4=04-4=0.

4. (1;2)(1;2) мен (4;6)(4;6) арасындағы қашықтық:
  1. 5
  2. 7
  3. 25
  4. 7\sqrt7
Жауабын көрсету

5 9+16\sqrt{9+16}.

5. Ұқсас үшбұрыштардың аудандары 9 : 16 қатынасында. Қабырғалары:
  1. 9 : 16
  2. 3 : 4
  3. 81 : 256
  4. 1 : 2
Жауабын көрсету

3 : 4 k=9/16k=\sqrt{9/16}.

Байланысты тақырыптар

14. Геометриялық фигуралар және олардың өзара орналасуы3. Тригонометрия18. Кеңістіктегі векторлар мен түрлендірулер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика