Тақырып 4

Алгебралық өрнектер және түрлендірулер

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Қысқаша көбейту формулаларыБөлшектің дәрежесіКөпмүшені көбейткіштерге жіктеуАлгебралық өрнектерді ықшамдау

Бір минутта мәні

Қысқаша көбейту формулалары (ҚКФ) және көбейткіштерге жіктеу — өрнектерді ықшамдаудың негізгі құралы. ҰБТ-дағы бөлшектердің көбі алым мен бөлім көбейткіштерге жіктелгеннен кейін қысқарады.

Қарапайым тілмен

Алгебралық өрнек — әріптермен есептеудің «рецепті». Ықшамдау — әріптердің кез келген мүмкін мәнінде нәтижесін өзгертпей, рецептті қысқарақ жазу.

Ұқсас қосылғыштар — бірдей «әріптік бөлік»

3x2y3x^2y пен −5x2y-5x^2y — ұқсас (әріптік бөлігі x2yx^2y), оларды сан сияқты қосады: −2x2y-2x^2y. Ал 3x2y3x^2y пен 3xy23xy^2 — әртүрлі.

Қысқаша көбейту формулалары — дайын жауаптар

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 — қосындының квадраты: «біріншінің квадраты, қосу екі еселенген көбейтінді, қосу екіншінің квадраты».

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) — ең пайдалы формула: 99⋅101=1002−1=999999\cdot101=100^2-1=9999.

Көбейткіштерге жіктеу — санды «бөлшектеу» сияқты

12=2⋅2⋅312=2\cdot2\cdot3. Сол сияқты x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Реті: 1) ортақ көбейткішті шығару; 2) формулаларды байқау; 3) топтау; 4) квадрат үшмүше үшін — түбірлер.

Бөлшекті тек көбейткішке қысқартады

x2−4x+2=(x−2)(x+2)x+2=x−2\dfrac{x^2-4}{x+2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2 — болады. Ал x+2x+5\dfrac{x+2}{x+5}-те «екілер мен бестерді» қысқартуға болмайды — олар қосылғыштар.

Басты формулалар

(a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2
Қосынды мен айырманың квадраты
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Квадраттар айырмасы
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3
Қосынды мен айырманың кубы
a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)
Кубтар қосындысы мен айырмасы
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
Квадрат үшмүшені жіктеу

Ұғымдар мен терминдер

Көпмүше
Бірмүшелердің қосындысы
Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару
6x2−9x=3x(2x−3)6x^2-9x=3x(2x-3)
Топтау
ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)

Тақырыпты талдау

Жіктеу реті

1) Ортақ көбейткішті шығару. 2) ҚКФ қолдану. 3) Топтау. 4) Квадрат үшмүше үшін — түбірлерін табу.

Бөлшекті қысқартпас бұрын алымды да, бөлімді де міндетті түрде жіктеңіз.

Ыңғайлы есептеу

ҚКФ есептеуді жылдамдатады: 1012−992=(101−99)(101+99)=400101^2-99^2=(101-99)(101+99)=400; 492=(50−1)2=240149^2=(50-1)^2=2401.

Бірмүшелер мен көпмүшелер 7 сынып

Бірмүше — сандар мен айнымалылар дәрежелерінің көбейтіндісі: −3a2b3-3a^2b^3, оның дәрежесі 2+3=52+3=5. Көпмүше — бірмүшелердің қосындысы; көпмүшенің дәрежесі — мүшелерінің ең үлкен дәрежесі.

Көпмүшелерді көбейту: біріншінің әр мүшесін екіншінің әр мүшесіне көбейтеміз: (x+2)(x2−x+3)=x3+x2+x+6(x+2)(x^2-x+3)=x^3+x^2+x+6.

Толық квадратты бөліп алу 8 сынып

x2+6x+11=(x2+6x+9)+2=(x+3)2+2x^2+6x+11=(x^2+6x+9)+2=(x+3)^2+2. Осыдан бірден көрінеді: өрнектің ең кіші мәні 2 (x=−3x=-3 болғанда).

Квадрат үшмүше түбірлер арқылы жіктеледі: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Көпмүшелерді бөлу және Безу теоремасы 10 сынып

Көпмүшені сандар сияқты «бұрышпен» бөледі. P(x)P(x)-ті (x−a)(x-a)-ға бөлгендегі қалдық P(a)P(a)-ға тең — Безу теоремасы.

Салдары: P(a)=0P(a)=0 болса, P(x)P(x) (x−a)(x-a)-ға бөлінеді. Бүтін коэффициентті көпмүшенің бүтін түбірлерін бос мүшенің бөлгіштерінен іздейді.

Горнер схемасы 10 сынып

(x−a)(x-a)-ға жылдам бөлу: коэффициенттерді жазамыз, біріншісін төмен түсіреміз, одан кейін әр сан = (алдыңғы төменгі × aa) + жоғарғы. Соңғы сан — қалдық.

Мысал: x3−6x2+11x−6x^3-6x^2+11x-6-ны (x−1)(x-1)-ге: коэффициенттер 1, −6, 11, −6 → 1, −5, 6, 0. Бөлінді x2−5x+6x^2-5x+6, қалдық 0.

Алгебралық бөлшектер 7 сынып

ММО: бөлім ≠0\ne0. Қосу — ортақ бөлім арқылы, көбейту — «алымды алымға, бөлімді бөлімге», бөлу — аударылған бөлшекке көбейту.

Қосар алдында бөлімдерді көбейткіштерге жіктеңіз — ортақ бөлім кішірек болады.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Қысқартыңыз: x2−9x2+6x+9\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}.
  1. x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3), x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2.
  2. x+3x+3-ке қысқартамыз (x≠−3x\ne-3).
Жауабы x−3x+3\dfrac{x-3}{x+3}
Есеп 22x2−5x+32x^2-5x+3 көпмүшесін көбейткіштерге жіктеңіз.
  1. D=25−24=1D=25-24=1, x1=1x_1=1, x2=32x_2=\dfrac32.
  2. 2(x−1)(x−32)=(x−1)(2x−3)2(x-1)\left(x-\dfrac32\right)=(x-1)(2x-3).
Жауабы (x−1)(2x−3)(x-1)(2x-3)
Есеп 3Ықшамдаңыз: (a+b)2−(a−b)2(a+b)^2-(a-b)^2.
  1. Квадраттар айырмасы: ((a+b)−(a−b))((a+b)+(a−b))\big((a+b)-(a-b)\big)\big((a+b)+(a-b)\big).
  2. 2b⋅2a=4ab2b\cdot2a=4ab.
Жауабы 4ab4ab
Есеп 4P(x)=x4−3x3+2x−5P(x)=x^4-3x^3+2x-5 көпмүшесін x−2x-2-ге бөлгендегі қалдықты табыңыз.
  1. Безу теоремасы бойынша қалдық =P(2)=P(2).
  2. 16−24+4−5=−916-24+4-5=-9.
Жауабы −9-9
Есеп 5x2−8x+20x^2-8x+20 өрнегінің ең кіші мәнін табыңыз.
  1. x2−8x+16+4=(x−4)2+4x^2-8x+16+4=(x-4)^2+4.
  2. Квадрат ≥0\ge0, минимум x=4x=4 болғанда.
Жауабы 4

Күрделі есептер: қадам-қадаммен

Есеп 1Теңдеуді шешіңіз: x3−2x2−5x+6=0x^3-2x^2-5x+6=0.

Идея: Бос мүшенің бөлгіштерінен бүтін түбірді іздеп, кейін Горнер бойынша бөлеміз.

  1. Бүтін түбірге үміткерлер
    6-ның бөлгіштері: ±1,±2,±3,±6\pm1,\pm2,\pm3,\pm6.
  2. x=1x=1-ді тексереміз
    1−2−5+6=01-2-5+6=0 — түбір табылды.
  3. Горнер бойынша (x−1)(x-1)-ге бөлеміз
    Коэффициенттер 1, −2, −5, 6 → 1, −1, −6, 0. Бөлінді: x2−x−6x^2-x-6.
  4. Квадрат теңдеуді шешеміз
    x2−x−6=0x^2-x-6=0: x=3x=3 немесе x=−2x=-2.
Жауабы −2; 1; 3-2;\ 1;\ 3
Есеп 2Ықшамдаңыз: (aa−b−aa+b):2aba2−b2\left(\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{a}{a+b}\right):\dfrac{2ab}{a^2-b^2}.

Идея: Жақшаның ортақ бөлімі a2−b2a^2-b^2-ке тең.

  1. Ортақ бөлім
    a(a+b)−a(a−b)(a−b)(a+b)=a2+ab−a2+aba2−b2=2aba2−b2\dfrac{a(a+b)-a(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{a^2+ab-a^2+ab}{a^2-b^2}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}.
  2. Бөлеміз
    2aba2−b2:2aba2−b2=1\dfrac{2ab}{a^2-b^2}:\dfrac{2ab}{a^2-b^2}=1.
Жауабы 1
Есеп 3x4+4x^4+4 өрнегін көбейткіштерге жіктеңіз.

Идея: Толық квадратқа дейін толықтырып, квадраттар айырмасын қолданамыз.

  1. 4x24x^2-ті қосып-азайтамыз
    x4+4x2+4−4x2=(x2+2)2−(2x)2x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2.
  2. Квадраттар айырмасы
    (x2+2−2x)(x2+2+2x)=(x2−2x+2)(x2+2x+2)(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).
Жауабы (x2−2x+2)(x2+2x+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2\ne a^2+b^2 — 2ab2ab-ны ұмытпаңыз.
  • a2+b2a^2+b^2 (нақты сандармен) көбейткіштерге жіктелмейді.
  • Тек көбейткіштерді қысқартуға болады, қосылғыштарды емес.
  • (a−b)2=(b−a)2(a-b)^2=(b-a)^2, бірақ a−b=−(b−a)a-b=-(b-a) — қысқартқанда таңбаны бақылаңыз.

Есте сақта

«Біріншінің квадраты, екі еселенген көбейтінді, екіншінің квадраты».

Өзіңді тексер

1. (2x−3)2=(2x-3)^2=
  1. 4x2−94x^2-9
  2. 4x2−12x+94x^2-12x+9
  3. 4x2−6x+94x^2-6x+9
  4. 2x2−12x+92x^2-12x+9
Жауабын көрсету

4x2−12x+94x^2-12x+9 Екі еселенген көбейтінді 2⋅2x⋅3=12x2\cdot2x\cdot3=12x.

2. a3−8=a^3-8=
  1. (a−2)(a2+2a+4)(a-2)(a^2+2a+4)
  2. (a−2)3(a-2)^3
  3. (a−2)(a2−2a+4)(a-2)(a^2-2a+4)
  4. (a+2)(a2−2a+4)(a+2)(a^2-2a+4)
Жауабын көрсету

(a−2)(a2+2a+4)(a-2)(a^2+2a+4) Кубтар айырмасы.

3. a2−b2a+b=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}=
  1. a+ba+b
  2. a−ba-b
  3. a2−ba^2-b
  4. 11
Жауабын көрсету

a−ba-b (a−b)(a+b)/(a+b)(a-b)(a+b)/(a+b).

4. x3+1x^3+1-ді x+1x+1-ге бөлгендегі қалдық:
  1. 2
  2. 0
  3. 1
  4. −2
Жауабын көрсету

0 P(−1)=−1+1=0P(-1)=-1+1=0.

5. x2+10x+30=(x+5)2+ ?x^2+10x+30=(x+5)^2+\ ?
  1. 5
  2. 25
  3. 30
  4. −5
Жауабын көрсету

5 30−25=530-25=5.

Байланысты тақырыптар

1. Түбірлерге амалдар. Санды, әріпті, бөлшек және бүтін өрнектер2. Дәрежелерге амалдар5. Сызықтық, квадрат және бөлшек-рационал теңдеулер

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика