Тақырып 15

Механикалық тербелістер

Спецификация бойынша не тексеріледі:

Еркін және еріксіз тербелістерАмплитуда, период, жиілік, фазаГармониялық тербелістер: x(t), v(t), a(t) теңдеулеріМатематикалық маятникСеріппелі маятникТербеліс кезіндегі энергия түрленулеріӨшетін тербелістер және резонанс

Бір минутта мәні

Тербелістер — тең уақыт аралықтарында қайталанатын қозғалыстар: сағат маятнигі, ішек, жүрек, қозғалтқыш поршені. Ең қарапайымы — гармоникалық тербелістер, олар синус немесе косинус арқылы сипатталады. Математикалық маятниктің периоды тек жіп ұзындығы мен g-ге, серіппелі маятниктікі — жүк массасы мен серіппе қатаңдығына тәуелді. Тербелгенде кинетикалық энергия потенциалдық энергияға және керісінше айналады, ал жиіліктер сәйкес келгенде резонанс басталады.

Басты формулалар

T=tN,ν=1T,ω=2πν=2πTT=\dfrac{t}{N},\quad \nu=\dfrac1T,\quad \omega=2\pi\nu=\dfrac{2\pi}{T}
Период, жиілік (Гц), циклдік жиілік (рад/с)
x=xmcos⁡(ωt+φ0)x=x_m\cos(\omega t+\varphi_0)
Гармоникалық тербелістер теңдеуі
vm=xmω,am=xmω2,a=−ω2xv_m=x_m\omega,\quad a_m=x_m\omega^2,\quad a=-\omega^2x
Жылдамдық пен үдеу амплитудалары
T=2πlgT=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}
Математикалық маятник
T=2πmkT=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}
Серіппелі маятник
E=kxm22=mvm22=kx22+mv22E=\dfrac{kx_m^2}{2}=\dfrac{mv_m^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2}
Тербелістердің толық механикалық энергиясы

Ұғымдар мен терминдер

Еркін тербелістер
Сыртқы әсерсіз бастапқы энергия қоры есебінен болатын тербелістер
Еріксіз тербелістер
Периодты сыртқы күштің әсерінен оның жиілігімен болатын тербелістер
Амплитуда
Тепе-теңдік күйінен ең үлкен ауытқу
Фаза
Берілген сәттегі тербеліс күйін анықтайтын ωt + φ₀ шамасы
Өшетін тербелістер
Үйкеліс салдарынан амплитудасы кемитін тербелістер
Резонанс
Сыртқы күш жиілігі меншікті жиілікпен сәйкес келгенде еріксіз тербелістер амплитудасының күрт артуы

Тақырыпты талдау

Тербеліс түрлері

Еркін тербелістер шарттары: тепе-теңдік күйіне бағытталған қайтарушы күш және аз үйкеліс. Тербелмелі жүйе: серіппедегі жүк, маятник, ішек.

Еріксіз тербелістер: тербетілген әткеншек, тігін машинасының инесі, дауыс зорайтқыш мембранасы.

Автотербелістер жүйе ішіндегі энергия көзі есебінен қолдау табады: гирлі сағат, жүрек, ішектегі ысқыш.

Тербелістердің сипаттамалары мен теңдеуі

Бір период ішінде дене төрт амплитудаға тең жол жүреді.

Гармоникалық тербелістер: координата косинус немесе синус заңымен өзгереді. Жылдамдық координатадан периодтың төрттен біріне озады: v=−xmωsin⁡(ωt)v=-x_m\omega\sin(\omega t), үдеу ығысуға қарама-қарсы.

Тепе-теңдік күйінде жылдамдық ең үлкен, үдеу нөлге тең; шеткі нүктелерде жылдамдық нөлге тең, үдеу ең үлкен.

x(t), v(t), a(t) графиктері — синусоидалар; график бойынша амплитуда мен периодты, ал олар арқылы жиіліктерді табады.

Маятниктер

Математикалық маятник — салмақсыз созылмайтын жіптегі материялық нүкте. Оның периоды массаға және (кіші бұрыштарда) амплитудаға тәуелсіз — Галилей ашқан изохрондық.

Айда (g 6 есе аз) маятник √6 ≈ 2,45 есе баяу тербеледі. Периодты екі есе арттыру үшін жіпті 4 есе ұзартады.

Серіппелі маятник: периоды g-ге тәуелсіз, сондықтан Жерде де, Айда да бірдей. Массаны төрт есе арттыру периодты екі есе арттырады.

Энергияның түрленуі

Үйкеліс болмаса, толық энергия сақталады: шеткі нүктеде ол толығымен потенциалдық, тепе-теңдік күйінде — кинетикалық.

Кинетикалық және потенциалдық энергиялар екі еселенген жиілікпен өзгереді (өзгеру периоды T/2).

Үйкеліс болғанда энергия ішкі энергияға айналады, амплитуда кемиді — тербелістер өшеді. Автомобиль амортизаторлары тербелістерді әдейі сөндіреді.

Резонанс

Еріксіз тербелістерде сыртқы күш жиілігі жүйенің меншікті жиілігіне тең болғанда амплитуда ең үлкен болады. Үйкеліс неғұрлым аз болса, резонанс соғұрлым айқын.

Пайдасы: әткеншекті тербету, музыкалық аспаптар (резонаторлар), радиоқабылдағыш, МРТ. Зияны: көпірлердің бұзылуы (сарбаздар сапы аяқты бірдей баспай жүреді), станоктар мен ғимараттардың жер сілкінісіндегі дірілі.

Шешімі бар есеп мысалдары

Есеп 1Маятник 1 мин ішінде 30 тербеліс жасады. Периодты, жиілікті және жіп ұзындығын табыңыз (g = 10 м/с², π² ≈ 10).
  1. T=60/30=2T=60/30=2 с, ν=0,5\nu=0{,}5 Гц.
  2. l=gT24π2=10⋅440=1l=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}=\dfrac{10\cdot4}{40}=1 м.
Жауабы 2 с; 0,5 Гц; 1 м
Есеп 2Қатаңдығы 40 Н/м серіппедегі 0,4 кг жүк. Тербеліс периодын табыңыз.
  1. T=2π0,440=2π⋅0,1≈0,63T=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{40}}=2\pi\cdot0{,}1\approx0{,}63 с.
Жауабы ≈ 0,63 с
Есеп 3Тербеліс теңдеуі: x = 0,05 cos(4πt) (м). Амплитуданы, жиілікті, периодты және ең үлкен жылдамдықты табыңыз.
  1. xm=0,05x_m=0{,}05 м, ω=4π\omega=4\pi рад/с, ν=2\nu=2 Гц, T=0,5T=0{,}5 с.
  2. vm=xmω=0,05⋅4π≈0,63v_m=x_m\omega=0{,}05\cdot4\pi\approx0{,}63 м/с.
Жауабы 5 см; 2 Гц; 0,5 с; ≈ 0,63 м/с
Есеп 4Серіппелі маятник (k = 100 Н/м) 4 см амплитудамен тербеледі. Толық энергияны табыңыз.
  1. E=kxm22=100⋅0,00162=0,08E=\dfrac{kx_m^2}{2}=\dfrac{100\cdot0{,}0016}{2}=0{,}08 Дж.
Жауабы 0,08 Дж

ҰБТ-дағы жиі қателіктер

  • Математикалық маятник периоды жүк массасына тәуелсіз.
  • Серіппелі маятник периоды g-ге тәуелсіз.
  • Бір периодта дене 4 амплитуда жол жүреді, ал орын ауыстыру нөлге тең.
  • Кинетикалық және потенциалдық энергия 2ν жиілікпен өзгереді.
  • Периодты екі есе арттыру үшін ұзындықты 4 есе арттырады.

Есте сақта

T = 2π√(l/g), T = 2π√(m/k), ω = 2π/T, v_m = x_mω, a_m = x_mω². Резонанс: ν_сырт = ν_меншікті.

Өзіңді тексер

1. Жүк массасын 4 есе арттырса, математикалық маятник периоды қалай өзгереді?
  1. 2 есе артады
  2. Өзгермейді
  3. 2 есе кемиді
  4. 4 есе артады
Жауабын көрсету

Өзгермейді T m-ге тәуелсіз.

2. Тербелетін жүктің жылдамдығы қай жерде ең үлкен?
  1. Шеткі нүктелерде
  2. Тепе-теңдік күйінде
  3. Жарты жолда
  4. Барлық жерде бірдей
Жауабын көрсету

Тепе-теңдік күйінде Онда бүкіл энергия кинетикалық.

3. Серіппелі маятникті Айға апарды. Оның периоды:
  1. Артады
  2. Кемиді
  3. Өзгермейді
  4. Нөлге тең болады
Жауабын көрсету

Өзгермейді T = 2π√(m/k).

4. 5 Гц жиілікке сәйкес период:
  1. 5 с
  2. 0,2 с
  3. 0,5 с
  4. 2 с
Жауабын көрсету

0,2 с T = 1/ν.

5. Жиіліктер сәйкес келгенде амплитуданың күрт артуы аталады:
  1. Интерференция
  2. Резонанс
  3. Дисперсия
  4. Өшу
Жауабын көрсету

Резонанс Резонанстың анықтамасы.

Байланысты тақырыптар

16. Электромагниттік тербелістер. Айнымалы ток17. Толқындық қозғалыс4. Сақталу заңдары

Деңгейіңді біл: ҰБТ-ға тегін диагностика