Компьютердің логикалық негіздері

Тақырыпты талдау

Пікірлер және логикалық мәндер 10 сынып

Пікір — ақиқат немесе жалған болатын хабарлы сөйлем: «$2 + 2 = 4$» (ақиқат), «Күн Жерді айналады» (жалған).

Сұрақтар, лепті сөйлемдер, бұйрықтар («Есікті жабыңыз!») және белгісіз айнымалысы бар сөйлемдер пікір болып табылмайды: «$x > 3$» нақты $x$ қойғанда ғана пікірге айналады.

Ақиқатты 1 (True), жалғанды 0 (False) деп белгілейді. Қарапайым пікірлер A, B, C әріптерімен белгіленеді, ал олардан «және», «немесе», «емес», «егер…онда» байланыстырғыштары арқылы құрама пікірлер құрылады.

Негізгі амалдар: ЕМЕС, ЖӘНЕ, НЕМЕСЕ 10 сынып

Инверсия $\neg A$ (ЕМЕС, $\overline{A}$, not) мәнді қарама-қарсыға өзгертеді.

Конъюнкция $A \land B$ (ЖӘНЕ, $A \cdot B$, &, and) тек $A = 1$ және $B = 1$ болғанда 1-ге тең. Оны логикалық көбейту дейді: мәні $A\cdot B$ көбейтіндісімен сәйкес келеді.

Дизъюнкция $A \lor B$ (НЕМЕСЕ, $A + B$, |, or) тек $A = 0$ және $B = 0$ болғанда 0-ге тең. Логикалық қосу: $1 \lor 1 = 1$, 2 емес.

A B | not A | A and B | A or B
0 0 |   1   |    0    |   0
0 1 |   1   |    0    |   1
1 0 |   0   |    0    |   1
1 1 |   0   |    1    |   1

Өмірден мысал: «Жаңбыр жауып тұрмаса ЖӘНЕ сабағымды орындасам, серуенге шығамын» — $\neg D \land U$.

Импликация, эквиваленттік, қатаң НЕМЕСЕ 10–11 сынып

$A \to B$ импликациясы («егер A, онда B») жалғыз жағдайда жалған: ақиқаттан жалған шықса ($1 \to 0 = 0$). Жалғаннан кез келген нәрсе шығады: $0 \to 0 = 1$, $0 \to 1 = 1$. Ықшамдауға арналған формула: $A \to B = \neg A \lor B$.

$A \equiv B$ эквиваленттігі мәндер сәйкес келгенде 1-ге тең ($0 \equiv 0 = 1$, $1 \equiv 1 = 1$).

Қатаң НЕМЕСЕ $A \oplus B$ (XOR, 2 модулі бойынша қосу) — эквиваленттікке қарама-қарсы: мәндер әртүрлі болса 1. $1 \oplus 1 = 0$ — $1 + 1 = 10_2$ қосындысының соңғы цифры сияқты.

A B | A→B | A≡B | A⊕B
0 0 |  1  |  1  |  0
0 1 |  1  |  0  |  1
1 0 |  0  |  0  |  1
1 1 |  1  |  1  |  0

Амалдардың орындалу реті және ақиқат кестесін құру 10 сынып

Басымдық: жақшалар → ЕМЕС → ЖӘНЕ → НЕМЕСЕ → импликация → эквиваленттік. Демек, $\neg A \lor B \land C$ өрнегі $(\neg A) \lor (B \land C)$ болып оқылады.

Кестені құру алгоритмі: 1) айнымалылар санын $n$ анықтау, жолдар $2^n$ болады (2 айнымалы — 4 жол, 3 — 8, 4 — 16); 2) барлық жиындарды $0$-ден $2^n - 1$-ге дейінгі екілік сандар сияқты ретімен жазу (000, 001, 010, …, 111); 3) аралық амалдарға басымдық ретімен бағандар жасау; 4) қорытынды бағанды есептеу.

Мысал: $F = \neg A \lor B \land C$. Алдымен $\neg A$ бағаны, сосын $B \land C$, содан кейін олардың дизъюнкциясы. $A = 1, B = 1, C = 0$ үшін: $\neg A = 0$, $B \land C = 0$, $F = 0$.

«Кесте үзіндісі бойынша өрнекті анықтаңыз» есептерінде үзінді жолдарын әр жауап нұсқасына қойып, кемінде бір сәйкессіздік беретін нұсқаларды алып тастаңыз.

Логика алгебрасының заңдары және өрнектерді ықшамдау 10–11 сынып

Тұрақтылар: $A \land 1 = A$, $A \land 0 = 0$, $A \lor 0 = A$, $A \lor 1 = 1$. Идемпотенттік: $A \land A = A$, $A \lor A = A$.

Қайшылық және үшіншісі жоқ заңы: $A \land \neg A = 0$, $A \lor \neg A = 1$. Қос терістеу: $\neg\neg A = A$.

Ауыстырымдылық және терімділік заңдары — алгебрадағыдай. Үлестірімділік заңы екі жаққа да орындалады: $A \land (B \lor C) = A \land B \lor A \land C$ және $A \lor B \land C = (A \lor B) \land (A \lor C)$.

Де Морган заңдары: $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$, $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$ («терістеу ішке кіреді, ЖӘНЕ НЕМЕСЕ-ге ауысады»).

Жұтылу: $A \lor A \land B = A$, $A \land (A \lor B) = A$. Желімдеу: $A \land B \lor A \land \neg B = A$, $(A \lor B) \land (A \lor \neg B) = A$. Сондай-ақ пайдалы: $A \lor \neg A \land B = A \lor B$.

Ықшамдау реті: $\to$ және $\equiv$ амалдарын формулалар бойынша алып тастау, де Морган бойынша терістеуді ішке енгізу, содан кейін жұтылу мен желімдеуді қолдану. Нәтижені ақиқат кестесімен тексеріңіз.

Логикалық элементтер және сызбалар 10 сынып

Логикалық элемент (вентиль) — 0 және 1 сигналдарына бір логикалық амалды орындайтын электрондық схема. Негізгілері: конъюнктор (ЖӘНЕ, сызбада & белгісі), дизъюнктор (НЕМЕСЕ, 1 немесе $\geq 1$ белгісі), инвертор (ЕМЕС, шығысындағы дөңгелек).

Сондай-ақ ЖӘНЕ-ЕМЕС ($\neg(A \land B)$) және НЕМЕСЕ-ЕМЕС ($\neg(A \lor B)$) бар: тек ЖӘНЕ-ЕМЕС элементтерінен кез келген сызбаны құрастыруға болады.

Сызба → формула: кірістерден шығысқа қарай жүріп, әр элементтің шығысындағы өрнекті жазамыз. ЖӘНЕ элементінің кірістеріне A және B-ден инвертордың шығысы берілсе, шығыста $A \land \neg B$.

Формула → сызба: ең соңғы орындалатын амал — шығыстағы элемент; оның кірістері — ішкі өрнектер. $F = (A \lor B) \land \neg C$ үшін дизъюнктор (A, B), инвертор (C) және шығыста конъюнктор қажет.

Берілген кірістерде сызбаның шығысын табу үшін элементтерді ретімен есептеп, әр сымға 0 немесе 1 жазып отырыңыз.

Сумматор, триггер және процессор 10–11 сынып

Жартылай қосындылағыш (жартылай сумматор) екі A және B битін қосады: қосынды $S = A \oplus B$, тасымал $P = A \land B$. $1 + 1$ үшін: $S = 0$, $P = 1$, яғни $10_2$.

Толық (бір разрядты) сумматор кіші разрядтан келген тасымалды да ескереді: $S = A \oplus B \oplus P_{\text{кір}}$, $P = A \land B \lor (A \oplus B) \land P_{\text{кір}}$. $n$ сумматордан тұратын тізбек $n$ биттік сандарды қосады.

Триггер — кері байланысы бар логикалық элементтерден тұратын, 1 битті сақтайтын схема (екі тұрақты күйі бар). RS-триггердің S (1 орнату) және R (0-ге түсіру) кірістері бар. Триггерлерден процессордың регистрлері мен кэш-жады құрастырылады.

Процессорда арифметикалық-логикалық құрылғы (АЛҚ) есептеулер мен логикалық амалдарды орындайды (оның негізінде сумматорлар), басқару құрылғысы (БҚ) командалардың орындалуын үйлестіреді, регистрлер процессор жұмыс істейтін деректерді сақтайды.

Python-дағы логика және ҰБТ есептері 10–11 сынып

Операторлар: not, and, or; басымдығы not > and > or, ал салыстырулар (<, ==, !=) барлық логикалық амалдардан бұрын орындалады. not a > b дегеніміз not (a > b).

print(not True or True and False)   # False
print(True or False and False)       # True
print((True or False) and False)     # False

Қысқа есептеу: or бірінші ақиқат операндты, and бірінші жалған (немесе соңғы) операндты қайтарады: 0 or 5 → 5, 3 and 7 → 7. 0, бос жол және бос тізім жалған деп саналады.

0/1 және True/False үшін: a == b — эквиваленттік, a != b және a ^ b — XOR, (not a) or b — импликация. &, |, ^ операторлары бүтін сандармен разряд бойынша жұмыс істейді: 12 & 10 → 8.

ҰБТ-ның типтік есебі: «ЕМЕС(X > 5) ЖӘНЕ (X тақ) пікірі қандай X саны үшін ақиқат?» Аударамыз: $X \leq 5$ және $X$ тақ, содан кейін жауап нұсқаларын тексереміз.