Есептеу жүйелері

Тақырыпты талдау

Позициялық және позициялық емес жүйелер 10 сынып

Позициялық емес рим жүйесінде таңба әрқашан бір мәнді білдіреді: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Таңбалар қосылады, бірақ үлкен таңбаның алдындағы кіші таңба азайтылады: $XIV = 10 + (5 - 1) = 14$, $MCMXCIX = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999$.

Позициялық жүйеде цифр разрядтың «салмағына» — негіздің дәрежесіне көбейтіледі: $2024_{10} = 2\cdot10^3 + 0\cdot10^2 + 2\cdot10^1 + 4\cdot10^0$. Разрядтарды оңнан солға қарай нөлден бастап санаймыз.

Негіз төменгі индекспен жазылады: $101_2$, $101_8$, $101_{16}$ — бұл үш түрлі сан (5, 65 және 257). Сан жазбасында негізден үлкен немесе оған тең цифр болмайды: $1092_8$ жазбасы мүмкін емес, өйткені сегіздік жүйеде 8 және 9 цифрлары жоқ.

Он алтылық әріп-цифрлар: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Оларды жатқа білу керек.

Ондық жүйеге аудару 10 сынып

Разрядтарды оңнан солға қарай нөлден бастап нөмірлеңіз, әр цифрды разряд нөміріне тең дәрежедегі $q$-ге көбейтіп, қосыңыз.

$1011_2 = 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.

$375_8 = 3\cdot64 + 7\cdot8 + 5 = 192 + 56 + 5 = 253$. $2F_{16} = 2\cdot16 + 15 = 47$. $212_3 = 2\cdot9 + 1\cdot3 + 2 = 23$.

Екілік сандар үшін цифрлардың үстіне «салмақтарды» жазған ыңғайлы: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 — және бірлік тұрған жердегі салмақтарды қосу: $10011101_2 = 128 + 16 + 8 + 4 + 1 = 157$.

Горнер сұлбасы (ойша және программада ыңғайлы): цифрлар бойымен солдан оңға жүреміз, $n = n\cdot q + \text{цифр}$. $375_8$ үшін: $3 \to 3\cdot8+7 = 31 \to 31\cdot8+5 = 253$.

Ондық жүйеден кез келген жүйеге аудару 10 сынып

Санды $q$ негізіне қалдықпен бөлеміз, бөліндіні қайтадан бөлеміз, бөлінді 0 болғанша жалғастырамыз. Төменнен жоғары қарай (соңғысынан біріншісіне) жазылған қалдықтар — жауап.

25 : 2 = 12, қалдық 1
12 : 2 = 6,  қалдық 0
 6 : 2 = 3,  қалдық 0
 3 : 2 = 1,  қалдық 1
 1 : 2 = 0,  қалдық 1
Төменнен жоғары оқимыз: 11001

Демек, $25_{10} = 11001_2$. Тексеру: $16 + 8 + 1 = 25$.

Сегіздікке де солай: $100 : 8 = 12$ қалд. 4; $12 : 8 = 1$ қалд. 4; $1 : 8 = 0$ қалд. 1, жауабы $144_8$. Он алтылыққа аударғанда 10–15 қалдықтары әріппен жазылады: $157 : 16 = 9$ қалд. 13 (D), $9 : 16 = 0$ қалд. 9, жауабы $9D_{16}$.

Екілік жүйеге жылдам тәсіл — санды екінің дәрежелеріне жіктеу: $100 = 64 + 32 + 4$, демек бірліктер 6, 5 және 2 разрядтарда тұр: $1100100_2$.

2 ↔ 8 ↔ 16 жылдам аудару: триадалар мен тетрадалар 10 сынып

$8 = 2^3$ болғандықтан, әрбір сегіздік цифр дәл 3 бит (триада). $16 = 2^4$ болғандықтан, әрбір он алтылық цифр 4 бит (тетрада).

Екіліктен сегіздікке: санды оңнан солға қарай үштіктерге бөлеміз, қажет болса сол жағына нөл жазамыз, әр үштікті цифрмен алмастырамыз: $1101011_2 = 001\ 101\ 011 = 153_8$.

Екіліктен он алтылыққа: оңнан солға қарай төрттіктерге бөлеміз: $1101011_2 = 0110\ 1011 = 6B_{16}$.

Кері аудару: әр цифрды үш (8 үшін) немесе төрт (16 үшін) битпен алмастырамыз, сан ішіндегі алдыңғы нөлдерді ұмытпаймыз: $5A_{16} = 0101\ 1010 = 1011010_2$; $70_8 = 111\ 000 = 111000_2$.

8 бен 16 арасында екілік жүйе арқылы өтеміз: $753_8 = 111\ 101\ 011_2 = 1\ 1110\ 1011_2 = 1EB_{16}$.

dec bin  oct hex   dec bin  oct hex
 0  0000  0   0     8  1000 10   8
 1  0001  1   1     9  1001 11   9
 2  0010  2   2    10  1010 12   A
 3  0011  3   3    11  1011 13   B
 4  0100  4   4    12  1100 14   C
 5  0101  5   5    13  1101 15   D
 6  0110  6   6    14  1110 16   E
 7  0111  7   7    15  1111 17   F

Екілік арифметика: қосу, азайту, көбейту 10 сынып

Разрядтар бойынша оңнан солға қарай қосамыз: $0+0=0$, $0+1=1$, $1+1=10$ (0 жазамыз, 1 келесі разрядқа ауысады), $1+1+1=11$ (1 жазамыз, 1 ауысады).

   1011   (11)
 +  111   ( 7)
 ------
  10010   (18)

Азайту: $0-0=0$, $1-0=1$, $1-1=0$, $0-1$ — үлкен разрядтан бірлік аламыз, ол $10_2$ береді, және $10-1=1$. Мысал: $11101_2 - 1011_2 = 10010_2$ ($29 - 11 = 18$).

Көбейту — ондықтағы бағанмен көбейту сияқты, тек оңайырақ: 0-ге немесе 1-ге көбейтіп, жылжытылған жолдарды қосамыз. $101_2\cdot11_2 = 101 + 1010 = 1111_2$ ($5\cdot3=15$).

$2^k$-ға көбейту — оң жағына $k$ нөл жазу ($101_2\cdot 4 = 10100_2$); $2^k$-ға бүтін бөлу — соңғы $k$ цифрды алып тастау. Кез келген жүйеде де солай: $q$-ге көбейту нөл қосып жазады.

Өзіңізді ондыққа аударып тексеріңіз: ауыстырудағы қатені осылай байқау оңай.

Сандарды салыстыру және бірліктерді санау 10–11 сынып

Әртүрлі жүйедегі сандарды салыстыру үшін оларды бір жүйеге (әдетте ондық немесе екілік) аударыңыз. $1100100_2 = 100$, $143_8 = 99$, $66_{16} = 102$.

Негіз неғұрлым үлкен болса, сол жазба соғұрлым «ауыр»: $101_{16} > 101_{10} > 101_8 > 101_2$.

$q$ жүйесіндегі әртүрлі $n$ таңбалы жазбалар саны — $q^n$, ең үлкен $n$ таңбалы сан — $q^n - 1$: мысалы, $777_8 = 8^3 - 1 = 511$, $FF_{16} = 255$, $11111111_2 = 255$.

Бірліктер саны: санды екілікке аударып, санаңыз. Дәрежелері бар өрнектер үшін үлгілерді қолданыңыз: $2^n$ — бір бірлік; $2^n - 1$ — $n$ бірлік; $2^n - 2^m$ — $n-m$ бірлік. 4 және 8 дәрежелері екіге келтіріледі: $4^k = 2^{2k}$, $8^k = 2^{3k}$.

Жұптық: екілік сан 0-мен аяқталса, жұп. Негізі $q$ жүйеде соңғы цифр — санды $q$-ге бөлгендегі қалдық.

Теріс сандар және ұяшық ауқымы 10–11 сынып

Таңбасыз $n$ битке $0$-ден $2^n - 1$-ге дейінгі сандар сыяды: байтқа 0-ден 255-ке дейін.

Таңбалы санда үлкен бит таңбаны білдіреді (0 — плюс, 1 — минус), ауқымы $-2^{n-1}$-ден $2^{n-1}-1$-ге дейін: байтта $-128$-ден $127$-ге дейін.

Тура код — сан модулі және таңба биті. Теріс санның кері коды — модульдің барлық биттерін инверсиялау. Қосымша код — кері код плюс 1, немесе бірден $2^n - x$. Компьютер теріс бүтін сандарды дәл қосымша кодта сақтайды, өйткені сонда азайту қосуға келтіріледі.

Мысал: 8 биттегі $-45$. $45 = 00101101$, инверсия $11010010$, плюс 1: $11010011$. Тексеру: $256 - 45 = 211 = 11010011_2$.

Python-дағы санау жүйелері 10–11 сынып

bin(n), oct(n), hex(n) префиксі бар жолды қайтарады: bin(10) → '0b1010', oct(10) → '0o12', hex(255) → '0xff'. Префиксті [2:] қимасымен алып тастайды.

int(s, base) негізі 2-ден 36-ға дейінгі жүйедегі жолды бүтін санға аударады: int('ff', 16) → 255, int('212', 3) → 23.

format(n, '08b') алдыңғы нөлдері бар дәл 8 цифрлық екілік жазба береді; 'o' және 'X' — сегіздік және он алтылық (бас әріптер).

bin(n).count('1') — екілік жазбадағы бірліктер саны. Қолмен аудару — n % q және n // q бар цикл (код панелін қараңыз).